1r ciclo La expresión de la energía en capacitor

[leo_ro]

La energía está dada por:

$U=Vq$

Para el caso del capacitor tenemos que usar la capacitancia como factor por lo que tenemos que expresar una de las variables y la capacitancia. Si expresamos con la carga, como

$q=CV$

entonces

$U=C {V}^{2}$

si usamos la diferencia de potencial

$U= \frac{{q}^{2}}{C}$

entonces tenemos dos expresiones para la energía en un capacitor

$U= \frac{{q}^{2}}{C}$ y $U=C {V}^{2}$

Pero en encuentro que la energía para un capacitor es

$U=\frac{{q}^{2}}{2C}$ y $U=\frac{C {V}^{2}}{2}$

Entiendo que es porque está desarrollado mediante cálculo integral pero no entiendo porque el desarrollo anterior no da lo mismo, si el desarrollo para llegar a la expresión está bien.

saludos.

[arivasm]

Re: La expresión de la energía en capacitor

Antes de nada, veo que Al está viendo el hilo... Apuesto que habrá más de una respuesta...

La energía está dada por:

$U=Vq$

Esa es la expresión para la energía potencial de la fuerza de Coulomb que actúa sobre una carga puntual. Un condensador son dos cargas opuestas y no necesariamente (es más, rarísimamente) puntuales.

PD: ¿Habré disparado antes?

[Al2000]

Re: La expresión de la energía en capacitor

La expresión $U = Q V$ representa el trabajo necesario para mover una carga $Q$ a través de una diferencia de potencial $V$. En un condensador, para almacenar una carga $Q$ bajo una diferencia de potencial $V$, no se transporta toda la carga a través de toda la diferencia de potencial, sino que la diferencia de potencial va aumentando en la medida en que transportas la carga. Para obtener el trabajo total, debes resolver una ecuación diferencial muy sencilla; como necesitas hacer un trabajo

$$dW = V \,dq$$

para mover una pequeña cantidad de carga $dq$ a través de una diferencia de potencial $V$, entonces para cargar un condensador desde cero hasta cierta carga $Q$ necesitas hacer un trabajo

$$W = \int_{0}^{Q}\!\! V\, dq = \int_{0}^{Q}\!\! \frac q C \, dq = \frac 1 2 \frac {Q^2} C = \frac 1 2 C V^2$$

Saludos,

Al

PD. Hey, no se vale andarme espiando

[leo_ro]

Re: La expresión de la energía en capacitor

Pero en vez de hacer un análisis de cada instantánea ¿no es lo mismo analizar la situación final? Digo cuando el capacitor alcanza la diferencia de potencial de la fuente (circuito sin resistencia eléctrica), ya que las placas y el conductor son ideales. Como conocemos la constante de proporcionalidad entre la diferencia de potencial y la cantidad de carga almacenada total.

$V=\frac{U}{q}$

$U= V {q}_{total}$

$U$ es el trabajo sobre las cargas que hace $\vec{E}$ para llevarlas al equilibrio y eso es lo que queda guardadito en el capacitor. No veo por qué hay que considerar las sumas de cada contribución de trabajo si la energía potencial es una variable de estado.

saludos

[Al2000]

Re: La expresión de la energía en capacitor

Déjame ponerte un ejemplo de un área completamente diferente. Supongamos que deseas determinar el trabajo necesario para armar una torre de 10 ladrillos partiendo de 10 ladrillos que están regados por el piso. Para poner el primer ladrillo no tienes que hacer nada pues ya está en el piso; para poner el segundo ladrillo encima del primero deberás hacer el trabajo necesario para levantarlo hasta el tope del primer ladrillo; para poner un tercer ladrillo deberás hacer el trabajo necesario para subirlo hasta el tope de los dos primeros... y así sucesivamente. Debería ser claro que el trabajo total no es el trabajo de subir los 10 ladrillos hasta el tope de la torre completa.

Lo mismo ocurre con el condensador. Para mover los primeros electrones no necesitas vencer ninguna fuerza electrostática pues el condensador está descargado (y el campo es nulo), pero por cada electrón que muevas el campo a vencer irá siendo cada vez mayor, siendo proporcional a la cantidad de carga ya movida. El trabajo total realizado, como lo pones en tu primer mensaje, es justamente la mitad del trabajo que tendrías que hacer para mover toda la carga a través del potencial total.

Gráficamente, el trabajo realizado es el área bajo la curva en un diagrama de Q vs V, el cual, como bien sabes, es una recta que pasa por el origen y de pendiente C. Calcula el trabajo...

Saludos,

Al

[leo_ro]

Re: La expresión de la energía en capacitor

Pero por ejemplo. Tengo un bloque de 1[Kg] y lo levanto un metro, el trabajo que hago es $mgh=9.8[N]$. En esa altura le sumo un 1[Kg] a la masa y la levanto un metro más, por lo que el trabajo de 1[m] a 2[m] = $2mg{h}_{2}=19.6$ y si le sumo a los 2 [m], 1[Kg] mas, el trabajo de 2[m] a 3[m] es $29.4$.

La suma de los 3 trabajos es 58.8 [N] y si calculase la energía potencial en el último punto sería $U=3[Kg]*9.8 [m/{s}^{2}]*3[m]= 88.2 [N]$

¿cómo es posible que tenga más energía que el trabajo que realicé? Porque la energía potencial depende de la fuerza conservativa y de la posición. Y en ese último punto (a los 3[m]) tengo una fuerza de $3[Kg]*9.8[m/{s}^{2}]$ y 3[m] hasta el punto de referencia, el cual nunca cambié cuando hice el trabajo. Por lo que tengo disponible para hacer un trabajo de $3[Kg]*9.8[m/{s}^{2}]*3[m]=88.2[N]$ aunque yo halla hecho un trabajo menor.

saludos.

[arivasm]

Re: La expresión de la energía en capacitor

Antes de nada, N es unidad de fuerza, no de trabajo (en el SI sería J).

¿cómo es posible que tenga más energía que el trabajo que realicé?

Porque el peso de las masas que has ido añadiendo ya aportaba energía al sistema, previamente a que las desplazases.

De todos modos, el ejemplo que acabas de poner no se corresponde con el problema del condensador, pues mientras aquí la energía potencial procede de la existencia de un campo externo, en el condensador el campo es el creado por las propias cargas que se separan.