Secundaria Campo eléctrico en el cubo

[luiseduardo]

No se pudo resolver este problema, si alguien puede resolver gracias:

Imagine un cubo con carga eléctrica distribuida uniformemente con un volumen de carga de densidad $\rho$. La intensidad del campo eléctrico en el punto A es la E. Determinar el valor del campo eléctrico cuando se corta y se extirpa un pequeño cubo de lado igual a la mitad del cubo original.




Answer:
E/2

[Al2000]

Re: Campo eléctrico en el cubo

Usa el principio de superposición. El campo que produce el cubo incompleto será igual al que produciría un cubo completo menos el campo que produce el cubito extirpado. Sólo faltaría considerar que, si el campo que produce el cubo completo es E, entonces el cubito extirpado produce 1/2 de E (1/8 de la carga a una distancia 1/2).

Saludos,

Al

[luiseduardo]

Re: Campo eléctrico en el cubo

How to prove that is 1/8 of the charge?

[arivasm]

Re: Campo eléctrico en el cubo

Si $V=L^3$, $V'=(L/2)^3$. Como $Q=\rho V$, $Q'=\rho V'=Q/8$

[Al2000]

Re: Campo eléctrico en el cubo

How to prove that is 1/8 of the charge?

Ya te respondió arivasm. Abundando un poco, puedes calcular el campo en un vértice de un cubo de densidad de carga $\rho$ constante y lado $a$ haciendo

$$\boldsymbol E = \frac \rho {4 \pi \epsilon_0} \int_{0}^{a}\!\! \int_{0}^{a}\!\! \int_{0}^{a}\!\! \frac {-x\, \boldsymbol i - y \, \boldsymbol j - z \, \boldsymbol k}{\left(x^2 + y^2 + z^2\right)^{3/2}}\,dx\, dy\, dz$$

(calculando el campo en el origen por comodidad en la notación)

La expresión anterior la puedes escribir mostrando el factor de escala del lado del cubo si haces el cambio $x = a u,\,y = a v,\,z = a w$. Quedaría entonces

$$\boldsymbol E = \frac \rho {4 \pi \epsilon_0} \int_{0}^{1}\!\! \int_{0}^{1}\!\! \int_{0}^{1}\!\! \frac {a (-u\, \boldsymbol i - v \, \boldsymbol j - w \, \boldsymbol k)}{a^3 \left(u^2 + v^2 + w^2\right)^{3/2}}\,a^3 \,du\, dv\, dw$$

$$\boldsymbol E = a \left[\frac \rho {4 \pi \epsilon_0} \int_{0}^{1}\!\! \int_{0}^{1}\!\! \int_{0}^{1}\!\! \frac {-u\, \boldsymbol i - v \, \boldsymbol j - w \, \boldsymbol k}{\left(u^2 + v^2 + w^2\right)^{3/2}}\,du\, dv\, dw\right]$$

De la expresión anterior puedes concluir que si calculas un cubo de lado mitad, el campo que obtendrás será la mitad.

Saludos,

Al

[luiseduardo]

Re: Campo eléctrico en el cubo

Gracias !!