Otras carreras Ejercicio de potencial electrico en un cono, no sé si lo realicé de manera adecuada.

[ferne17]

Hola, es primera vez que escribo en el foro y espero no equivocarme, pese a que leí las normas antes de escribir.
Bueno quiero plantear un problema y mi resolución para ver si está correcto y sino para que alguien me guíe en que conceptos estoy utilizando mal.

El problema dice:
Existe un cono de altura h= P*cos(o) y de radio basal R=P*sin(o) y tiene una densidad de superficie que está dada por σ(r)= σ₀*(R/P)²
Si P, el ángulo o y σo son conocidos y están en metros, grados y Culombio por metro cuadrado respectivamente.


Cual la distancia desde la base del cono hasta un punto dentro del mismo cono y en su eje de simetría donde se produce el máximo del potencial.

Bueno ese es el problema y aquí va mi resolución.

Lo primero que pensé fue que el campo eléctrico que había dentro del cono sólo se debía al efecto de la base del cono. Ahora bien como la fórmula de potencial para un disco es relativamente sencilla procedí a utilizarla resultando me lo siguiente:

V(z)=1/(4*pi*E₀)*DOBLEINTEGRAL(σ₀(r/P)²*(r dr dσ)/raizcuadrada(z²+r²)) con limites de integracion 0 hasta R y 0 hasta 2pi, para dr y dσ respectivamente.


Una vez resuelto obtengo la siguiente expresión:

V(z) =σ₀/(3*2*E₀*L² )*(R²-2z²)*raizcuadrada(R²+z²)
Ahora esto lo grafiqué para poder ver la existencia de los mínimos y máximos y encontre que el gráfico crece desde los negativos hasta z=0 y luego comienza a decrecer y como no tiene sentido un z negativo ni que sea mayor que la altura del cono, el único resultado posible es que z=0, lo que me parece muy extraño y por lo mismo dudo de que esté bueno.

Tengo 2 hipótesis sobre que pudo salir mal.
1) No entiendo bien como se comporta el campo electrico del manto y tengo todo desde un comienzo errado

2) Había que sacar una relación para σ<sub>0 y el disco, es decir ver cuanta carga existía y luego divirla en la superficie en que esta distribuida.

Ojalá me puedan ayudar, ya que estoy estudiando para un certamen que tengo y me gustaría quedar con estos conceptos claros.
Saludos estaré atento a sus respuestas.


Disculpen que no haya escrito las ecuaciones con simbolos, pero no supe utilizar los comados, pues no me aparecian.</sub>

[Breogan]

Re: Ejercicio de potencial electrico en un cono, no sé si lo realicé de manera adecuada.

Hola:

Si el cono no tiene base, el campo E en un punto en su interior es igual a la integral desde cero hasta la altura del cono de los diferenciales de campo que produce cada anillo resultante de cortar al cono con un plano perpendicular a su eje.

Donde:

Supongo el cono apoyado en el plano xy y con su altura en z

$\dst dE=\frac 1 {4\pi\varepsilon_0}\frac {dq \ z_p}{(r^2+z_p^2)^\frac 3 2}$

donde z_p es la coordenada del punto de evaluación del campo sobre el eje del cono
r es el radio del anillo, que va a depender de la altura z donde se corta el cono

y el diferencial de carga es igual a la densidad superficial por el largo de la circunferencia del anillo por dz que es la altura del anillo.

$dq=\sigma 2\pi r \ dz$

Por lo menos yo lo haría así.

Suerte

[ferne17]

Re: Ejercicio de potencial electrico en un cono, no sé si lo realicé de manera adecuada.

Gracias por tu respuesta, pero eso es en el caso de que el cono se macizo y no tenga base cierto?

Pues por lo que entendí del problema, como me daban la densidad superficial, pensé que se debía tratar de un cono vacío en su interior, pero muchísimas gracias por tu respuesta. Ojalá me puedas aclarar esto que te comento y de ser un cono hueco ( y suena lógico que tenga tapa en ese caso) estaría bien lo que hice o tendría que sacar una relación de la densidad de carga que tiene solamente la tapa? Todo dentro del caso en que sea un cono hueco.

Saludos

[Breogan]

Re: Ejercicio de potencial electrico en un cono, no sé si lo realicé de manera adecuada.

Hola:

Si es un cono hueco sin disco base, si lo queres con base cargada lo unico que hay que hacer es sumarle al anterior la contribución al campo que hace la base.

En tu 1º post, aunque no lo llegue a ver a fondo, sin LaTex se me hace dificil, parece que lo que hiciste fue integrar la formula del campo para un disco cargado desde la base hasta la punta, que resulta ser un cono con densidad volumetrica de carga, puede ser?.

Suerte

[ferne17]

Re: Ejercicio de potencial electrico en un cono, no sé si lo realicé de manera adecuada.

Sabes que tengo una duda con lo que señalas, pues se supone que si no tiene base el cono, no debería existir campo electrico en su interior, pues las lineas de campo salen desde la superficie como es el caso de una esfera, por lo que no entiendo, por qué debería existir campo en su interior si este carece de base, ojalá me lo puedas aclarar.
Saludos

[Breogan]

Re: Ejercicio de potencial electrico en un cono, no sé si lo realicé de manera adecuada.

Hola:

Sabes que tengo una duda con lo que señalas, pues se supone que si no tiene base el cono, no debería existir campo electrico en su interior, pues las lineas de campo salen desde la superficie como es el caso de una esfera, por lo que no entiendo, por qué debería existir campo en su interior si este carece de base, ojalá me lo puedas aclarar.
Saludos

No se si me voy a poder explicar bien, pero imaginate (o mejor dibujalo) un punto en el eje del cono cerca del plano xy (donde esta apoyado el cono sin base) y por encima del plano xy, es decir dentro del cono sin base. Cuanto mas cerca del plano xy esta el punto, tanto mayor sera la carga que esta por encima de este punto que la que esta por debajo, es mas si el punto esta justo en el plano xy toda la carga del cono estaría por encima y nada por debajo y evidentemente el campo no seria nulo.

El caso de una esfera es especial, ya que tiene la misma simetría esférica que el campo eléctrico.
Se demuestra que en un punto interior de una esfera homogénea la cual dividís en dos por un plano cualquiera que contenga el punto, el campo que producen ambos casquetes esféricos en el punto son iguales en modulo y de sentido contrario. Esto se debe a la simetría esférica.

Suerte

[ferne17]

Re: Ejercicio de potencial electrico en un cono, no sé si lo realicé de manera adecuada.

Hola, mira después de pensar mucho el problema creo tener lo que dices, si digo $\tan(\alpha)=\frac{R}{H }=\frac{r}{H-z}$
y los vectores posición serán $\vec{r}=z\hat{z}$ (para la posición del punto)
y $\vec{r'}=r\hat{r}(\theta)$ (posición del diferencial de carga dq)

Ahora $dq'=r dr d\theta$

Ahora si quiero el potencial será de la forma

$V(z)=\frac{1}{4\pi {\varepsilon}_{0}}{{\int}_{0 }}^{2\pi }{{\int}_{0 }^{\frac{R(H-z)}{H } }}\frac{{\theta}_{0}*{r}^{2}}{ {L}^{2 }}*r dr d\theta*\frac{1}{\sqrt{{r}^{ 2}+{z}^{2 }} }$

Ahora integro y obtengo el siguiente resultado :

$V(z)=\frac{1}{2{\varepsilon}_{0}}*\frac{{\theta}_{0}}{{L}^{ 2} }}\frac{1}{3}*({r}^{ 2}-2{z}^{2 }})*\sqrt{{r}^{ 2}+{z}^{2 }}}$ + Constante con r evaluado entre R(H-z)/H y 0
pero la Constante vendría siendo el potencial en algún punto que tome como referencia y puedo decir que ahí será igual a cero para evitar complicaciones.
No obstante, usando maple lo resolvi para z = 0 hasta 0.76 que es la altura máxima del cono y resulta ser que el máximo esta en z=0, lo que probablemente este erróneo.
No entiendo que pasa, no me parece correcto lo que obtengo ojalá me puedas ayudar a ver mi error.
(Corregí lo que había dicho antes, porque me di cuenta de que pasaba lo que acabo de escribir)
Adjunto una imagen del cono y los datos del problema de nuevo
$H=L*\cos(\alpha)\text{ ; } R=L*\sin(\alpha)\text{ ; } \theta(r)={\frac{r}{L }}^{2 }*{\theta}_{0} \text{ con L } , {\theta}_{0} \text{ y } \alpha$ conocidos y $\theta(r)$ es una densidad superficial.

[Breogan]

Re: Ejercicio de potencial electrico en un cono, no sé si lo realicé de manera adecuada.

Hola:

Aunque no lo dices, asumo que estas usando coordenadas cilíndricas $(\rho,\theta,z)$ con origen en el centro de la base del cono para resolver el problema.
Es bueno ser ordenado en la resolución de estos problemas, y hacer las declaraciones pertinentes al problema.

Agrego una figura para el problema:

El vector posición en estas coordenadas es: $\vec r=\rho\ \hat \rho+z\ \hat z$

Por lo cual el vector de posición del punto de prueba esta bien: $\vec r_p=z_p\ \hat z$


pero el vector posición de nuestro dq sera: $\vec r=\rho\ \hat \rho+z\ \hat z$

El potencial eléctrico de una carga diferencial esta dado por:

$\dst dV=\frac 1 {4 \pi \varepsilon_0}\ \frac {dq} d$

donde d es la distancia entre el punto de prueba y el diferencial de carga:

$d=\left\vert{}\vec r_p-\vec r \right\vert{}=\sqrt{\rho^2+(z_p-z)^2}$

Llamamos:

H: altura del cono
L: largo del lado del cono
R: radio de la base del cono
$\alpha$: angulo entre el eje del cono y su lado


El diferencial de carga sera:

$\dst dq= \sigma(\rho) dS_c$ donde $\dst \sigma(\rho)=\sigma_0\ \left(\frac {\rho} L \right)^2$ y dS_c es el diferencial de superficie sobre la superficie del cono.

El diferencial de superficie, sobre la superficie de un cilindro de radio genérico $\rho$, es:

$dS=\rho d\theta dz$

pero el diferencial de superficie en la superficie del cono sera:

$\dst dS_c=\frac {\rho}{cos\alpha} d\theta dz$

por lo cual el diferencial de carga queda:

$\dst dq= \sigma(\rho) \frac {\rho}{cos\alpha} d\theta dz$

$\dst dq= \sigma_0\left(\frac {\rho} L \right)^2 \frac {\rho}{cos\alpha} d\theta dz$

$\dst dq=\sigma_0\frac {\rho^3}{L^2\ cos \alpha}d\theta\ dz$

Aca podemos aplicar una proporcionalidad similar a la que vos planteaste:

$\dst \frac R H=\frac {\rho}{H-z}=tan \alpha$

$\rho=(H-z)tan \alpha$

por lo cual tendremos:

$\dst dq= \sigma_0\ \frac {tan^3 \alpha}{L^2\ cos\alpha} (H-z)^3 d\theta dz$

y

$d=\sqrt{(H-z)^2 tan^2 \alpha+(z_p-z)^2}$

Por lo cual el diferencial de potencial sera:

$\dst dV=\frac 1 {4 \pi \varepsilon_0}\ \frac { \sigma_0 tan^3 \alpha} {L^2\ cos\alpha \sqrt{(H-z)^2 tan^2 \alpha+(z_p-z)^2}}(H-z)^3 d\theta dz$

Bueno, hasta acá llegue, es tarde y puede haber algún error, mañana con tiempo lo revisamos. Gracias

Suerte

[ferne17]

Re: Ejercicio de potencial electrico en un cono, no sé si lo realicé de manera adecuada.

Hola, muchisimas gracias por responder y tienes razón olvide mencionar que utilicé coordenadas cilindricas y por lo que veo en tú resolución también olvidé mencionar que la densidad superficial no depende de R, sino que depende de r de las coordenadas cilindricas :/

Ahora resolviendo tal como debería ser me da:

$\frac{1}{ 4\pi\varepsilon}{{\int}_{ 0}}^{2\pi }{{\int}_{ 0}}^{z }\frac{r}{cos(\alpha)}*{\frac{r}{ L}}^{2 }*{{\theta}_{0}}*\frac{1}{\sqrt{{r}^{2 }+{({z}_{p }-z})^{2 }} }\dd\text{z}\dd\theta$

Donde $r$ esta dado por la condición siguiente : $\tan(\alpha)=\frac{R}{ H}=\frac{r}{ H-z}\to\text{r=}\frac{R*(H-z)}{H }$

No obstante no entiendo algunas cosas como por ejemplo el diferencial de superficie del cono

$\dd{S}_{ c}=\frac{r}{cos(\alpha)}\dd\theta\dd\text{r}$ Por qué se divide el r que representa la posición en el manto del cono por el coseno de alfa?

Además que es ese P que llamas tu? Porque si es la altura hacia el punto P, la relación para hacer triángulos no es correcta según mi parecer y sería más adecuado usar lo que dije yo $\tan(\alpha)=\frac{R}{ H}=\frac{r}{ H-z}\to\text{r=}\frac{R*(H-z)}{H }$

Ahora con todo esto supongo que tendríamos la solución del problema no es así? Pero tengo otra pregunta que tiene que ver con el enunciado de mi problema y quiero ver si me ayudas a interpretarlo:

Existe un cono que tiene una altura H y un radio R
y densidad superficial σ(r)=σo(r/L)^2
Si L, alfa y σo son conocidos
Calcule la distancia desde la base hasta el punto P donde se produce un potencial máximo

Aquí en este enunciado yo interpreto que no tiene una base con carga, porque no lo dicen de manera explícita, pero que piensas tú? es así?
Ojalá podamos resolverlo

[ccarrillo]

Re: Ejercicio de potencial electrico en un cono, no sé si lo realicé de manera adecuada.

Hola, sabes, yo estoy con el mismo ejercicio y algo preocupado por el , ya que lo necesito pronto. Pero si, el cono no tiene base y he estado intentando este ejercicio por mucho rato.
La otra duda que tengo es que si para el potencial, también se debe considerar el potencial que hay en el exterior, o sea r>R, el cual es una constante.
Qué dicen?

[Breogan]

Re: Ejercicio de potencial electrico en un cono, no sé si lo realicé de manera adecuada.

Hola:

Disculpa pero todavía no tuve tiempo de revisar mi post de ayer, así que solo me voy a limitar a responderte un par de tus preguntas

Además que es ese P que llamas tu? Porque si es la altura hacia el punto P, la relación para hacer triángulos no es correcta según mi parecer y sería más adecuado usar lo que dije yo

Lo que puse lo saque del enunciado del problema que pusiste en tu 1º post, el cual copio a continuación:

El problema dice:
Existe un cono de altura h= P*cos(o) y de radio basal R=P*sin(o) y tiene una densidad de superficie que está dada por σ(r)= σ₀*(R/P)²
Si P, el ángulo o y σo son conocidos y están en metros, grados y Culombio por metro cuadrado respectivamente.

De donde se ve que P es el lado del cono, y $\alpha$ es la mitad del angulo de apertura del cono, es decir que es el angulo entre un lado y la vertical

Por qué se divide el r que representa la posición en el manto del cono por el coseno de alfa?

Este dS que pones no es correcto, los dS del tipo $dS=\rho\ d\rho\ d\theta$ solo son validos para dS sobre planos normales al eje z, que en este caso es el eje del cono

En cuanto al diferencial de superficie en coordenadas cilíndricas es $dS=\rho\ d\theta\ dz$ donde $\rho\ d\theta$ es la base del diferencial de superficie y $dz$ es su altura. Pero este dS, así como esta definido, pertenece a un cilindro cuyo eje es el eje z; en conclusión este dS es paralelo al eje z, pero el dS que nosotros tenemos que usar tiene que estar sobre la superficie del cono, es decir esta inclinado un angulo $\alpha$ con respecto al eje z, la relacion entre ambos dS es el $cos\alpha$.

Otra forma de verlo, es dibujandolo y comprobando que el dS sobre la superficie del cono tiene una base igual a $\rho\ d\theta$ y una altura, que llamaremos dh, igual a $\dst \frac {dz}{cos\alpha}$

Espero se entienda

Suerte

[ferne17]

Re: Ejercicio de potencial electrico en un cono, no sé si lo realicé de manera adecuada.

Ok, pero creo que tienes un confusión porque dices $\frac{R}{P }=\sin=\frac{\rho}{P-z }(\alpha)$ siendo que R = P*$sin(\alpha)$ y que H=P*$cos(\alpha)$


Pero para evitar confusiones no hagas caso del primer post, porque lo he corregido varias veces lo que realmente pasa es lo de la imagen y el supuesto "P" en realidad es L", lamento no haber aclarado eso antes y como te repito la densidad sueperficial depende del r que hace referencia a la posicion del diferencial de carga en el manto.

A ver si podemos hacer algo con estas aclaraciones

Y respecto al $\dd{S}_{c}$ tienes razón en que está mal, me equivoqué al escribir y en vez de $\dd\text{r}$ debería ser $\dd\text{z}$

[Breogan]

Re: Ejercicio de potencial electrico en un cono, no sé si lo realicé de manera adecuada.

Hola:

Para aclarar, y antes de hacer alguna modificación en mi post anterior (yo uso $\rho$ como coordenada cilíndrica en vez de r para no tener confusiones con el vector posición y su modulo):

L: lado del cono

R: radio de la base del cono

H: altura del cono

$H=L\ cos\alpha$ ; $R=L\ sen \alpha$

En el 1º post pusiste que $\dst \sigma=\sigma_0\ \left(\frac R P \right)^2$, pero releyendo me parece que no tiene sentido expresarlo así por que no dejaría de ser una constante.

La expresión de la densidad de carga no sera?:

$\dst \sigma=\sigma_0\ \left(\frac {\rho} L \right)^2$

Ok, pero creo que tienes un confusión porque dices siendo que R = P* y que H=P*

Tenes razón, el planteo se debe hacer por la tangente: $\dst \frac R H=\frac {\rho}{H-z}$

Cuando me aclares esto hago los cambios en mi post

Suerte

[ferne17]

Re: Ejercicio de potencial electrico en un cono, no sé si lo realicé de manera adecuada.

Si la densidad superficial es esa que mencionas, me equivoqué al escribir en un inicio, pero en las respuestas siguientes lo había usado como tú dices. Fue un error mío lo siento

Ahora el resultado que yo presumo correcto es este que te parece:
$\frac{1}{ 4\pi\varepsilon}{{\int}_{ 0}}^{2\pi }{{\int}_{ 0}}^{z }\frac{r}{cos(\alpha)}*{\frac{r}{ L}}^{2 }*{{\theta}_{0}}*\frac{1}{\sqrt{{r}^{2 }+{({z}_{p }-z})^{2 }} }\dd\text{z}\dd\theta$

Con $\rho$ = r como tu bien lo dijiste

[Breogan]

Re: Ejercicio de potencial electrico en un cono, no sé si lo realicé de manera adecuada.

Hola:

Ya edite mi post anterior y ahora lo voy a revisar. Pero en principio a mi me dio:

$\dst dV=\frac 1 {4 \pi \varepsilon_0}\ \frac { \sigma_0 tan^3 \alpha} {L^2\ cos\alpha \sqrt{(H-z)^2 tan^2 \alpha+(z_p-z)^2}}(H-z)^3 d\theta dz$

que hay que comparar con tu resultado:

$\dst \frac{1}{ 4\pi\varepsilon}{{\int}_{ 0}}^{2\pi }{{\int}_{ 0}}^{z }\frac{r}{cos(\alpha)}*{\frac{r}{ L}}^{2 }*{{\theta}_{0}}*\frac{1}{\sqrt{{r}^{2 }+{({z}_{p }-z})^{2 }} }\dd\text{z}\dd\theta$

en tu ecuacion se debe reemplazar r por su funcion de z, para hacer explicita esta dependencia de r respecto a las variables de integracion. Supongo que lo que lamaste $\theta_0$ es lo que yo llame $\sigma_0$
Así que la única diferencia que veo es la potencia de L en el denominador del integrando. Y los limites de integracion para la variable z van de 0 a H.

En principio el potencial, con mi desarrollo quedaria:

$\dst V=\iint dV=\frac 1 {4 \pi \varepsilon_0}\ \frac {\sigma_0 tan^3 \alpha}{L^2\ cos\alpha}\ \int_0^H \int_0^{2 \pi}\frac {(H-z)^3 } { \sqrt{(H-z)^2 tan^2 \alpha+(z_p-z)^2}}d\theta dz$

Si esta bien solo quedaría resolver la integral.

Suerte