Ejercicio de potencial electrico en un cono, no sé si lo realicé de manera adecuada.

[ferne17]

Re: Ejercicio de potencial electrico en un cono, no sé si lo realicé de manera adecuada.

Muchisimas gracias, resulta ser que sí son lo mismo porque yo dije $r=R*\frac{(H-z)}{H}$ que vendría resultar exactamente lo mismo que
$r=\tan(\alpha)*(H-z)$, pero el límite de integración no debo cambiarlo, ya que si te fijas lo que solicita es el potencial máximo y por eso el limite superior de mi integral para z debería ser ${z}_{p}$ y no z como dije yo antes (acabo de darme cuenta de este error) para luego mediante algún software encontrar las soluciones para $V({z}_{p})$

$\dst\dst \frac{1}{ 4\pi\varepsilon}{{\int}_{ 0}}^{2\pi }{{\int}_{ 0}}^{{z}_{p}}\frac{R*\frac{(H-z)}{H}}{cos(\alpha)}*({\frac{R*\frac{(H-z)}{H}}{ L}})^{2 }*{{\theta}_{0}}*\frac{1}{\sqrt{{({R*\frac{(H-z)}{H}}})^{2 }+{({z}_{p}-z})^{2 }} }\dd\text{z}\dd\theta\dst\dst$

Y sí me faltaba elevaar al cuadrado a mi L, muchísimas gracias por tu ayuda, bastante intrincado el ejercicio
Saludos!!

[Breogan]

Re: Ejercicio de potencial electrico en un cono, no sé si lo realicé de manera adecuada.

Hola:

Te tengo que dar una mala noticia, intente varias veces resolver dicha integral y parece que es irresoluble. Por lo cual hay dos posibilidades o el ejercicio termina ahí, o hay algún error en mi planteo.
Yo me inclino por la segunda opción, no creo que te den un problema que no tenga solución.

Ahora no creo poder, pero mañana lo reviso o lo intento hacer con un planteo diferente.

En cuanto a los limites de integración de la variable z van de 0 hasta H, pensa que la integral es como una suma de las contribuciones de cada dq que pertenece al cono en el potencial final, y para que estén todas las cargas del cono tenes que integrar (sumar) desde las cargas que están mas abajo hasta las que están en el vértice; igual el resultado final te va a quedar como una función de zp, de la cual tenes que averiguar el máximo.

Suerte

[Breogan]

Re: Ejercicio de potencial electrico en un cono, no sé si lo realicé de manera adecuada.

Hola:

En este post vuelvo a mi propuesta inicial del hilo, que consiste en dividir el cono en aros de ancho infinitesimal, e integrar en toda la altura del cono la contribucion de cada uno de ellos al potencial total.

La formula para el potencial sobre un punto sobre el eje de un anillo cargado es:

imagen de :http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/el...llo/anillo.htm

$\dst V=\ \frac 1 {4\pi\varepsilon_0}\ \frac q {\sqrt{a^2+z^2}}$

En nuestro caso la figura de este procedimiento sobre el cono es:

Y el potencial producido por el dq del anillo ciruclar en el punto zp es:

$\dst dV=\ \frac 1 {4\pi\varepsilon_0}\ \frac {dq} {\sqrt{\rho^2+(z_p-z)^2}}$

El diferencial de carga del anillo es:

$\dst dq=\sigma(\rho)\ dS$
con
$\dst \sigma(\rho)=\sigma_0\ \left(\frac {\rho}{L}\right)^2$

y el dS es el producto del perimetro del anillo por su ancho:

$\dst dS=(2\pi\rho)\ dL$

$\dst dL=\frac {dz}{cos\alpha}$

por lo tanto:

$\dst dq=\frac {2\pi\sigma_0}{L^2cos\alpha}\ \rho^3\ dz$

ahora falta relacionar el radio del anillo con su coordenada z, esta relacion es:

$\dst \rho=(H-z)tan\alpha$

y por fin el dq queda:

$\dst dq=\frac {2\pi\sigma_0tan^3\alpha}{L^2cos\alpha}\ (H-z)^3\ dz$

y el diferencial de potencial queda:

$\dst dV=\ \frac 1 {4\pi\varepsilon_0}\ \frac {\dst \frac {2\pi\sigma_0tan^3\alpha}{L^2cos\alpha}\ (H-z)^3\ dz} {\sqrt{(H-z)^2tan^2\alpha+(z_p-z)^2}}$

$\dst dV=\ \frac {\sigma_0tan^3\alpha} {2 \varepsilon_0 L^2cos\alpha}\ \frac {(H-z)^3} {\sqrt{(H-z)^2tan^2\alpha+(z_p-z)^2}}\ dz$

Como se ve es el mismo valor que con el procedimiento anterior.

s.e.u.o.

Suerte

PD: incluyo un dibujo aclaratorio en el post Nº 8 para entender mejor el planteo.

[ferne17]

Re: Ejercicio de potencial electrico en un cono, no sé si lo realicé de manera adecuada.

Amigo, lo que logramos antes de que dijieras que no convergía está correcto, prueba con un software computacional y veras que si converge, el problema queda resuelto con lo que discutimos hasta antes que dijieras que no convergía saludos!