1r ciclo divergencia del vector polarización

[leo_ro]

Se define

$\vec{P}= \frac{1}{V } \int d\vec{p}$ en donde $\vec{p}= q.\vec{d}$

Es decir, $\vec{P}$ se define como el momento dipolar por unidad de volumen.

$- \nabla . \vec{P}= {\rho}_{p}$

en donde ${\rho}_{p}$ es la densidad volumetrica de las cargas de polarización.

Mi pregunta es ¿por qué es el inverso de la divergencia?

[arivasm]

Re: divergencia del vector polarización

La demostración la tienes, por ejemplo, en la página 4 de este pdf: http://www.esi2.us.es/DFA/CEMI/Teoria/Tema7.pdf

[leo_ro]

Re: divergencia del vector polarización

Pero ese nivel de cálculo me supera

[arivasm]

Re: divergencia del vector polarización

Entiendo que entonces estás más interesado en el significado físico.

Pensemos en un caso sencillo: la polarización está dirigida según el eje X y en sentido positivo de éste, lo que quiere decir que, como dibujamos usualmente los ejes, las cargas negativas de los dipolos están a la izquierda y las positivas a la derecha (algo así como ...[-+][-+][-+]...). También supongamos que la polarización es uniforme al desplazarse según Y o Z, pero no según X. En concreto, supongamos que aumenta con X. De esa manera tenemos que $\dst\vec\nabla\vec P=\frac{\partial P_x}{\partial x}>0$.

¿Cómo podrá ser que la polarización aumente con x? Una posibilidad es que los dipolos sean más intensos, pero nos resultará más sencillo si pensamos que los dipolos son iguales, pero que su densidad va a aumentando hacia la derecha.

Tomemos un pequeño volumen infinitesimal y prestemos atención a la carga que encierra. Si contiene dipolos enteros (es decir, las dos cargas que los forman) éstos no contribuirán nada a la carga total. Por tanto, sólo tenemos que prestar atención a lo que sucede con aquéllos que la frontera del volumen "atrapa" a una de las cargas.

Como los dipolos están orientados en el sentido -+, en el lado izquierdo tendremos "atrapadas" cargas positivas (marcando con | a la frontera izquierda, será algo así como ...[-|+][-+][-+]...), mientras que en el derecho son negativas (...[-+][-+][-|+]...). Pero hemos dicho que hay más dipolos en ese lado que en el izquierdo: la conclusión es que la carga neta de polarización que contiene nuestro pequeño volumen es negativa.

Por supuesto, si fuese al revés y $\vec\nabla\vec P<0$ "ganarían" las positivas de la izquierda a las negativas de la derecha, y entonces la carga neta de polarización en el elemento de volumen sería positiva.

[leo_ro]

Re: divergencia del vector polarización

Pensemos en un caso sencillo: la polarización está dirigida según el eje X y en sentido positivo de éste, lo que quiere decir que, como dibujamos usualmente los ejes, las cargas negativas de los dipolos están a la izquierda y las positivas a la derecha (algo así como ...[-+][-+][-+]...). También supongamos que la polarización es uniforme al desplazarse según Y o Z, pero no según X. En concreto, supongamos que aumenta con X. De esa manera tenemos que

Eso sería como lo muestra la imagen

Como los dipolos están orientados en el sentido -+, en el lado izquierdo tendremos "atrapadas" cargas positivas (marcando con | a la frontera izquierda, será algo así como ...[-|+][-+][-+]...), mientras que en el derecho son negativas (...[-+][-+][-|+]...). Pero hemos dicho que hay más dipolos en ese lado que en el izquierdo: la conclusión es que la carga neta de polarización que contiene nuestro pequeño volumen es negativa.

¿no tendría que ser alrevez? La carga negativa en el lado izquierdo y la positiva en el derecho. como lo muestra la imagen.

[arivasm]

Re: divergencia del vector polarización

Se trata de computar la carga que hay dentro del elemento. Modifiqué un poco tu dibujo para que se vea a qué me refiero: hay que prestar atención a las cargas como las que marco con las dos flechas, pues son los dipolos que aportan un valor no nulo a la carga neta *en* el elemento de volumen:

[leo_ro]

Re: divergencia del vector polarización

Listo, gracias arivasm. Conrespecto a los campos $\vec{E}$, $\vec{D}$ y $\vec{P}$. El campo eléctrica cuantifica la fuerza sobre unidad de carga, más que nada la interacción en si y los campos $\vec{D}$ y $\vec{P}$ cuantifica el efecto del campo eléctrico en las cargas. $\vec{D}$ es para cargas libres y $\vec{P}$ para las cargas fijas. Pero sigo sin entender hacia adonde apuntan. Supongo que hacia donde la densidad de carga sea menor. ¿no?

[arivasm]

Re: divergencia del vector polarización

La polarización apunta en el sentido que tengan (en promedio) los dipolos: en medios lineales, tiene la misma dirección y sentido que el campo eléctrico aplicado, pues éste o bien tiende a alinear consigo los dipolos permanentes existentes o bien polariza el material, causando dipolos inducidos, en su misma dirección y sentido. En consecuencia, con respecto a D, en medios lineales también tiene esa misma dirección y sentido; piensa en $\vec D=\epsilon_0\vec E+\vec P=\epsilon \vec E$.

[leo_ro]

Re: divergencia del vector polarización

Claro. En el ejemplo que dimos, $\vec{D}$ ¿no tendría que tener la dirección opuesta que $\vec{P}$? ya que intentaría estabilizar el desequilibrio de cargas de polarización y de esa manera mantener la neutralidad eléctrica. Salvo que el efecto de $\vec{E}$ sea mayor a la polarización pero en ese caso sería $\vec{D}= \varepsilon \vec{E} - \vec{P}$.

[arivasm]

Re: divergencia del vector polarización

Lo que dices es incorrecto, comenzando por la afirmación final: *siempre* es $\vec{D}= \varepsilon_0 \vec{E} + \vec{P}$. Lo mejor respecto de D es que pienses que se trata de un campo auxiliar que facilita el tratamiento de los medios materiales.