Secundaria Espira como motor CC - concepto

[Trantidon]

Hola a todos, recientemente he estado estudiando el funcionamiento del motor de corriente continua, pero no he llegado a entender todo lo que está pasando y de qué forma ocurre, me explico, evidentemente cuando el motor se enciende se acelera hasta cierta velocidad angular estable, este proceso aunque me lo puedo imaginar no consigo plasmarlo matemáticamente, además al trabajar con motores de varias espiras distribuidas por todo el rotor es difícil apreciar lo que pasa en cada espira individual, así que me he propuesto intentar entender como funcionaría un motor de una sola espira pero me han surgido algunos problemas y por eso pido ayuda.


Mi motor consiste en lo siguiente:

- una sola espira de forma creo irrelevante (simétrica, yo me la imagino como un cuadrado), la espira tiene una resistencia R.

- un conmutador que cada media vuelta de la espira cambiara el sentido de la corriente continua.

- una fuente de alimentación que alimenta la espira con corriente continua de tensión V.

- un campo magnético invariable que teniendo en cuenta las características de la espira, produce un flujo máximo \phi max. (cuando la espira está orientada de forma perpendicular al campo).

- la espira tiene un determinado momento de inercia I y una masa m esto hace el se tenga que vencer un par M. (esto no lo tengo demasiado claro, ¿está bien así?).


Lo que me gustaría saber es lo siguiente:

- al estar el motor formado por una sola espira, mantendrá una velocidad angular constante? yo creo que no pero agradecería si alguien me lo pudiera demostrar matemáticamente (función \omega(t)), de ser esto correcto, significa que los motores CC en realidad no mantienen una velocidad angular constante, pero que estar compuestos por varias espiras separadas un determinado ángulo, esto hace que la fluctuación sea menor e incluso despreciable?

- la espira evidentemente acelerara durante un determinado periodo de tiempo, esta aceleración sera constante? también creo que no, me gustaría conocer la función aceleración angular \alpha en función del tiempo.

- Esto creo que corresponde al primer punto, por si acaso no es así lo pondré por separado. Será la intensidad constante en el tiempo como en un motor CC ordinario? (con muchas espiras distribuidas). También me inclino a pensar que no y me gustaría conocer la función intensidad respecto del tiempo.


Estos son los cálculos que de momento he conseguido realizar que de momento no conducen a casi nada, de ser erróneos agradecería si alguien pudiera corregirlos.

- en la espira se creará una fuerza contra-electromotriz de sentido contrario a la tensión de alimentación por tanto V - \varepsilon = IR

esta fuerza contra-electromotriz no será constante, que es como estoy acostumbrado a verla, \varepsilon = - d(\phi)/dt.

\phi = \phi max * cos (\omega t) - > \varepsilon = \phi max * \omega * sen (\omega t).

Aquí ya me atasco, puedo despejar la I en la primera ecuación y parece que me indica que la intensidad depende del tiempo, también puedo igualar la potencia ( V I ) al momento por la velocidad angular \omega * M pero tampoco puedo sacar nada en claro.


Agradecería mucho si alguien pudiera ayudarme, aunque solo fuera en algunos apartados, simplemente contestado a alguna de las tres preguntas sin las matemáticas o incluso corrigiendo algún error que seguramente haya cometido. También me gustará saber de alguna web o libro donde por algún casual resuelvan algún problema similar a este puesto que solo he encontrado problemas mucho mas conceptuales que este, o problemas mucho mas técnicos que no dan apenas importancia al principio básico.

Muchísimas gracias por adelantado a cualquier alma caritativa que me eche una mano con este cacao mental que llevo.

PD soy nuevo en esto de los foros y creo que no estoy utilizando correctamente los comandos LATEX, intentaré buscar información y arreglarlo, pero si alguien es tan amable de decirme como antes de que este solucionado se lo agradecería.

[arivasm]

Re: Espira como motor CC - concepto

Voy a jugar un poco...

Se me ocurre el siguiente enfoque. En él llamaré $\theta$ al ańgulo que forma el plano de la espira con la perpendicular al campo magnético, es decir, el que forman los vectores superficie con la dirección del campo. Éste lo supondremos uniforme y de valor B. La espira será cuadrada, de lado L, y resistencia R. Externamente se aplica una fem $\varepsilon_0$, que se invierte cuando $\theta=0$ o $\theta=180^o$. I representará el momento de inercia de la espira. Por último, supondremos que no hay rozamiento. Usaré $i$ para representar la intensidad de la corriente que circula por la espira.

El momento de las fuerzas magnéticas sobre la espira es

$$\dst 2 F_m \frac{L}{2}\sin\theta=i L^2 B\sin\theta$$

De acuerdo con el principio fundamental de la dinámica de rotación,

$$I\ddot\theta=i L^2 B\sin\theta$$

Ahora bien, la inversión del sentido de la corriente cada vez que la espira pasa por una posición horizontal o bien obliga a manejar intensidades cuyo signo dependerá de si $0<\theta<180^o$ o no, o bien recurrir al valor absoluto del seno. Mi propuesta es recurrir a este último:

$$I\ddot\theta=i L^2 B|\sin\theta|$$

Por tanto, la clave del análisis estará en la intensidad de la corriente. Si pudiésemos prescindir de los fenómenos de inducción, sería $i=\varepsilon_0/R$. Sin embargo, está claro que el giro de la espira en el campo magnético causará que ésta actúe como un generador de corriente que, de acuerdo con la ley de Faraday-Lenz, tendrá como efecto una corriente que se superpone a la que origina la fem exterior, de manera que

$$\dst i=\frac{1}{R}(\varepsilon_0-\dot\Phi)=\frac{1}{R}\left(\varepsilon_0-BL^2\dot\theta\sin\theta \right)$$

donde nos sucede lo mismo de antes, de manera que en realidad debemos escribir

$$\dst i=\frac{1}{R}\left(\varepsilon_0-BL^2\dot\theta|\sin\theta| \right)$$

Llevando (5) a (3) tenemos

$$\dst I\ddot\theta+\frac{B^2L^4}{R}\dot\theta\sin^2\theta-\frac{\varepsilon_0}{R}BL^2|\sin\theta|=0$$

que parece más adecuado escribir introduciendo la resistencia por unidad de longitud

$$\dst\lambda=\frac{R}{4L}$$

con lo que toma la forma

$$\dst I\ddot\theta+\frac{B^2L^3}{4\lambda}\dot\theta\sin^2\theta-\frac{\varepsilon_0}{4\lambda}BL|\sin\theta|=0$$

El problema ahora es integrar esta ecuación, agravado por la presencia de los valores absolutos. Aunque resulta evidente que las respuestas a las preguntas acerca de la uniformidad de la velocidad y aceleraciones angulares son negativas, quizá sea interesante tratar de buscar un comportamiento promedio. Por tanto, vamos a reemplazar el cuadrado del seno y el valor absoluto del seno por sus promedios a lo largo de un ciclo. Como

$$\dst<\sin^2\theta>=\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}\sin^2\theta\dd\theta=\frac{1}{2}$$

$$\dst<|\sin\theta|>=\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}|\sin\theta|\dd\theta=\frac{1}{\pi}\int_0^{\pi}\sin\theta\dd\theta=\frac{1}{\pi}$$

aproximaremos (8) por

$$\dst I\ddot\theta+\frac{B^2L^3}{8\lambda}\dot \theta-\frac{\varepsilon_0}{4\pi\lambda}BL\approx 0$$

cuya solución, en términos de $\dot\theta$ es

$$\dst\dot\theta(t)=\dot\theta_0\ee^{-\alpha t}+\frac{2\varepsilon_0}{\pi B L}\left( 1-\ee^{-\alpha t}\right)$$

donde $\dot\theta_0=\dot\theta(t=0)$ y

$$\dst \alpha=\frac{B^2L^3}{8\lambda I}$$

Introduciendo como expresión para el momento de inercia

$$\dst I=2\frac{m}{4}\left(\frac{L}{2}\right)^2+2\frac{1}{12}\frac{m}{4}L^2=\frac{1}{6}mL^2$$

(13) toma la forma

$$\dst \alpha=\frac{3B^2L}{4\lambda m}$$

que también podemos escribir introduciendo la densidad lineal de masa

$$\dst\mu=\frac{m}{4L}$$

de manera que

$$\dst\alpha=\frac{3B^2}{16\lambda\mu}=\frac{3B^2L^2}{mR}$$

Con respecto a (12) vemos que la velocidad angular límite, de acuerdo con este enfoque, sería

$$\dst\dot\theta_{max}=\frac{2\varepsilon_0}{\pi B L}$$

¿Tiene sentido? ¿Alguien opina?

[Breogan]

Re: Espira como motor CC - concepto

Hola:

Del resultado final:

parece surgir la conclusión de que para aumentar el numero de revoluciones del motor, con una tensión de alimentación constante, basta con disminuir la intensidad del campo magnético, a mi este resultado por lo menos me sorprende, y no me parece congruente con la realidad.

Una cosa que me genera muchas dudas, no se si esta mal, es cuando pasas de:

$\dst I\ddot\theta+\frac{B^2L^3}{4\lambda}\dot\theta\sin^2\theta-\frac{\varepsilon_0}{4\lambda}BL|\sin\theta|=0$

a

$\dst I\ddot\theta+\frac{B^2L^3}{8\lambda}\dot \theta-\frac{\varepsilon_0}{4\pi\lambda}BL\approx 0$

sustituyendo $\left\vert{sen \theta} \right\vert{}$ y $sen^2 \theta$ directamente por sus promedios

$\dst<\sin^2\theta>=\frac{1}{2}$

$\dst<|\sin\theta|>=\frac{1}{\pi}$

Suerte

PD: si se resuelve la ecuación diferencial original (sin el modulo) entre 0º y 180º, no se puede usar la función de la velocidad angular hallada sucesivamente para cada semiciclo, con las condiciones iniciales en cada semiciclo igual a las finales del semiciclo anterior. Y de esta forma hallar una sucesión de valores, de la cual el valor limite (si lo tiene) es el valor de la velocidad angular buscado.

Suerte

[arivasm]

Re: Espira como motor CC - concepto

Sí, tienes razón. También me llamó la atención. La interpretación que hago acerca de si eso es posible o no es la siguiente: la fuerza contraelectromotriz que se genera en la espira aumenta con el campo magnético; como el momento de las fuerzas magnéticas es afectado por el campo magnético del mismo modo tanto para la corriente aplicada como para las inducidas, parece razonable que la velocidad límite esté condicionada, y de manera inversa, por el campo magnético, pues cuanto más intenso sea más grande es la resistencia magnética al giro.

De todos modos, como ya no es la primera vez que cometo errores de peso, en cuanto tenga tiempo para ello revisaré el problema completo.

Con respecto a la substitución del seno y su cuadrado por los promedios, desde luego es un salto en el vacío, y ciertamente es mucho mejor el enfoque que señalas. Para implementarlo se podría recurrir a obtener una sucesión de valores de la velocidad angular al final de cada semiciclo (y así simplemente cambiamos el valor absoluto del seno por éste). Pero, si no me equivoco, la ecuación diferencial resultante no tiene una solución analítica, con lo que no quedaría más remedio que recurrir a un método numérico, perdiéndose entonces, cierta capacidad de análisis del problema.

De todos modos, la substitución anterior parece razonable si cambiamos el problema original por este otro: en vez de una espira tenemos una colección de espiras planas, cuyo número es suficientemente grande como para poder decir que todos los ángulos están presentes. Puesto que todas ellas comparten la aceleración y velocidad angular, la división del momento total entre el número de espiras conducirá a una expresión semejante a la que resulta al hacer la substitución por los promedios de las funciones trigonométricas.

[Breogan]

Re: Espira como motor CC - concepto

Hola:

Tomo las mismas convenciones y características del mensaje anterior de arivasm.

La ecuación dinámica de la rotación es:

$\vec \tau=I\ \vec {\alpha}$

El momento en toda la espira es igual a la suma de los momentos individuales de las fuerzas que actúan sobre cada rama de la espira que es paralela al eje y, ya que las fuerzas sobre las otras dos ramas no producen momento respecto del eje de giro (z)

$\vec \tau=\ \vec r_1\times \vec F_{m1}+\vec r_2\times \vec F_{m2}$

en esta cada fuerza esta dada por la ley de Lorentz

$\vec F_{mi}=q\ \vec v_i\ \times\ \vec B$

donde:

$\vec B=B\ \hat{\jmath}$

y

$\vec v_1=v\ \hat{k}$ y $\vec v_2=-v\ \hat{k}$

por lo cual las fuerzas resultan:

$\vec F_{m1}=q\ v\ \hat{k}\ \times\ B\ \hat{\jmath}=-q\ v\ B\ \hat{\imath}$

$\vec F_{m2}=q\ (- v\ \hat{k})\ \times\ B\ \hat{\jmath}=q\ v\ B\ \hat{\imath}$

los vectores posición r1 y r2 son:

$\dst \vec r_1=\frac L 2\ cos \theta\ \hat{\imath}+\frac L 2\ sen \theta\ \hat{\jmath}$ y $\dst \vec r_2=-\frac L 2\ cos \theta\ \hat{\imath}-L\ sen \theta\ \hat{\jmath}$

y el momento queda:

$\dst \vec \tau=\ (\frac L 2\ cos \theta\ \hat{\imath}+\frac L 2\ sen \theta\ \hat{\jmath}) \times (-q\ v\ B\ \hat{\imath})+(-\frac L 2\ cos \theta\ \hat{\imath}-L\ sen \theta\ \hat{\jmath}) \times (q\ v\ B\ \hat{\imath})$

$\dst \vec \tau=q v \frac L 2 B sen \theta \hat{k}+q v \frac L 2 B sen \theta \hat{k}$

$\dst \vec\tau=q v L B sen \theta \hat{k}$

La corriente que circula por la espira se puede expresar como:

$\dst i=\frac {qv}{L}$

Por o cual el momento queda:

$\dst \vec\tau=i L^2 B sen \theta \hat{k}$

y la corriente que circula por la espira es funcion de la tension aplicada y de la fuerza contra electromotriz inducida por el giro de la espira.

$\dst i=\frac {V-\varepsilon} R$

donde, or la ley de Faraday, se cumple que:

$\dst \varepsilon=-\frac {d\phi_B}{dt}$

$\dst \phi_B=\int_S \vec B\ d\vec S=\vec B\ \vec S=(B\ \hat{\jmath})\ (S\ cos \theta\ \hat{\jmath})=BL^2cos\theta$

$\dst \frac {d\phi_B}{dt}=BL^2(-sen\theta) \frac {d\theta}{dt}=-BL^2\ \dot \theta\ sen\theta$

$\dst \varepsilon=BL^2\ \dot \theta\ sen\theta$

Por lo cual la corriente queda:

$\dst i=\frac V R - \frac {BL^2\ \dot \theta\ sen\theta} R$

Volviendo a la ecuacion dinamica de la rotacion:

$\vec \tau=I\ \vec {\alpha}$

y considerando que:

$\dst \vec \alpha=\ddot \theta \ \hat{k}$

la ecuacion queda:

$\dst i L^2 B sen \theta \hat{k}=I\ \ddot \theta \hat{k}$

reemplazando el valor de la corriente, por la expresion hallada:

$\dst \left(\frac V R - \frac {BL^2\ \dot \theta\ sen\theta} R \right) L^2 B sen \theta \hat{k}=I\ \ddot \theta \hat{k}$

$\dst \left(\frac {VL^2 B sen \theta} R - \frac {B^2L^4\ \dot \theta\ sen^2\theta} R \right) \hat{k}=I\ \ddot \theta \hat{k}$

$\dst {I\ \ddot \theta - \frac {VL^2 B } R sen \theta+ \frac {B^2L^4} R \dot \theta\ sen^2\theta=0}$

Reordenando:

$\dst \boxed {I\ \ddot \theta + \frac {B^2L^4} R \dot \theta\ sen^2\theta - \frac {VL^2 B } R sen \theta=0}$

La ecuación diferencial para el movimiento de la espira, con $0<\theta<\pi$, me dio igual que a arivasm.

Pido disculpas por el chorizo, pero como estoy algo oxidado en todo esto, me sirve para repasar conceptos y adquirir algo de confianza en su resolución; por otra parte, si esta bien, puede servirle a alguien.

La ecuación diferencial por ahora no intente resolverla.



Ahora siguiendo con el razonamiento de arivasm, si tenemos n espiras conectadas simultáneamente a la tensión de alimentación V, y que abarcan un angulo de 180º, para cada una de ellas se debe verificar la ecuación diferencial anterior, es decir:

Para cada espira:

$\dst I_i\ \ddot \theta_i + \frac {B^2L^4} R \dot \theta_i\ sen^2\theta_i - \frac {VL^2 B } R sen \theta_i=0$

Si sumamos las ecuaciones diferenciales para las n espiras, queda:

$\dst \sum_{i = 1}^n I_i\ \ddot \theta_i + \sum_{i = 1}^n \frac {B^2L^4} R \dot \theta_i\ sen^2\theta_i - \sum_{i = 1}^n \frac {VL^2 B } R sen \theta_i=0$

Con la condicion que todas las espiras son solidarias entre ellas podemos decir que: $\dot \theta_1=\dot \theta_2=...=\dot \theta_i=\dot \theta$ y $\ddot \theta_1=\ddot \theta_2=...=\ddot \theta_i=\ddot \theta$, la ecuacion anterior queda:

$\dst \ddot \theta\ \sum_{i = 1}^n I_i\ + \frac {B^2L^4} R \dot \theta\ \sum_{i = 1}^n \ sen^2\theta_i - \frac {VL^2 B } R\ \sum_{i = 1}^n sen \theta_i=0$

Si el numero de espiras es suficientemente grande, podríamos decir (podríamos?) que por cada espira que supera los 180º e invierte su polaridad se produce un corrimiento de todas las espiras, que ocupan de esta forma las mismas posiciones que las anteriores no produciéndose una variación de los $\theta_i$ correspondientes y ya no serian variables, como en una fotografía estroboscopica donde lo que gira puede aparecer como quieto.

Por esto podriamos decir que $\dst \theta_i=i\ \frac {\pi}{n}$ y entonces:

$\dst \ddot \theta\ I\ + \frac {B^2L^4} R \dot \theta\ \sum_{i = 1}^n \ sen^2 \left(i \frac {\pi}{n} \right) - \frac {VL^2 B } R\ \sum_{i = 1}^n sen \left( i \frac {\pi}{n} \right)=0$

Bueno hasta acá llegue, no estoy seguro de varias cosas, sobre todo lo ultimo que puse, sera bien recibida una idea.
Si esta bien después lo sigo y si no, ajo y agua !!. Gracias.

Suerte

[arivasm]

Re: Espira como motor CC - concepto

A lo que me refería al final de mi post anterior, es que si n es suficientemente grande, las sumas se pueden aproximar mediante integrales

$\dst \frac{1}{n}\sum_{i = 1}^n \ sen^2 \left(i \frac {\pi}{n} \right)=<\sin^2\theta>\approx \frac{1}{\pi}\int_0^\pi \sin^2\theta\ \dd\theta$

donde la aproximación se vuelve igualdad en el paso al límite $n\to\infty$. Con respecto del seno, la idea sería análoga.

Por último, la división por n estaría justificada porque $I\approx n I_i$ (es decir, si se acepta que todos los momentos de inercia serán semejantes $I_i\approx I_j$). De todos modos, simplemente bastaría por manejar el momento de inercia medio de las espiras, $I=n<I_i>$.