Secundaria Movimiento parabólico

[luiseduardo]

Las dos partículas son idénticos, tienen la misma carga eléctrica +Q y la masa M. Ellos son liberados de la posición que se muestra en la siguiente figura. Encontrar la distancia mínima entre las cargas.

[arivasm]

Re: Movimiento parabólico

Lo más sencillo es recurrir al sistema de referencia del centro de masas, pues en él las partículas simplemente se aproximan hasta detenerse, para después invertir su camino.

Por tanto, la distancia d de máxima aproximación es la que cumple que

$\dst k\frac{Q^2}{d}=\frac{1}{2}M({u^*}^2+{v^*}^2)+k\frac{Q^2}{L}$

donde u* y v* son las velocidades de ambas cargas pero en el sistema de referencia del centro de masa. Para obtenerlas simplemente hay que restar (vectorialmente) la velocidad del centro de masas a las del enunciado.

Otra alternativa más cómoda consiste en tener en cuenta que la energía cinética que aparece en la fórmula anterior sumada con $\dst \frac{1}{2}(2M)v_m^2$ (donde $v_m$ es la velocidad del centro de masas) es igual a $\frac{1}{2}M(u^2+v^2)$.

En definitiva, se cumple que

$\dst k\frac{Q^2}{d}=\frac{1}{2}M(u^2+v^2)-Mv_m^2+k\frac{Q^2}{L}$.

Dejo para ti que calcules $v_m$, pues es muy sencillo.

[luiseduardo]

Re: Movimiento parabólico

Como si no tenemos d encontrar el valor de Vm ?
¿Por qué debemos utilizar el sistema de referencia del centro de masas ?
No entiendo: "Otra alternativa más cómoda consiste en tener en cuenta que la energía cinética que aparece en la fórmula anterior sumada..."

[arivasm]

Re: Movimiento parabólico

No es imprescindible usar el sistema de referencia del centro de masas, pero sí es lo más cómodo.

Recuerda que la velocidad del centro de masas cumple que $M\vec u+M\vec v=2M\vec v_m$, con lo que en este caso es $\vec v_m=\frac{1}{2}(\vec u+\vec v)$.

Imagínate el proceso desde el centro de masas, que en este caso es el punto medio del segmento que definen las dos masas. Desde él lo que se ve es las dos masas aproximándose, hasta pararse completamente (máxima aproximación), para después retroceder.

Como la fuerza entre ellas es conservativa, podemos usar la conservación de la energía mecánica. En la fórmula que te puse antes, $d$ es la distancia de máxima aproximación, que te piden. Cuando escribí

$$\dst k\frac{Q^2}{d}=\frac{1}{2}M({u^*}^2+{v^*}^2)+k\frac{Q^2}{L}$$

estaba expresando la conservación de la energía mecánica: el lado izquierdo es la energía mecánica en la máxima aproximación, y el derecho es la energía mecánica inicial.

De todos modos, para encontrar $d$ aún falta conocer las velocidades iniciales de las partículas, $\vec u^*$ y $\vec v^*$, en el sistema de referencia del centro de masa. Como

$\vec u^*=\vec u-\vec v_m$

y

$\vec v^*=\vec v-\vec v_m$

puedes resolver el problema, pues

$\vec u^*=\frac{1}{2}(\vec u-\vec v)$

y

$\vec v^*=-\vec u^*$

Si quieres ver la otra expresión que te puse, simplemente sustituye estas fórmulas en (1) y verás por qué se cumple que

$\frac{1}{2}M{u^*}^2+\frac{1}{2}M{v^*}^2=\frac{1}{2}M{u}^2+\frac{1}{2}M{v}^2-\frac{1}{2}2M v_m^2$

[luiseduardo]

Re: Movimiento parabólico

Excellent !!