Otras carreras Calcular flujo magnético

[darkles]

Compañeros, hace poco en mi redacción de ejercicios de la universidad me encontré con este ejercicio.


No comprendo nada. ¿El conductor rectilíneo es el de la izquierda y la espira lo de la derecha? ¿y que se supone que tengo que hacer y como influye? Solo se que el area es (b·h)/2.

Gracias de antemano

[sater]

Re: Calcular flujo magnético

sí, el conductor es lo de la izquierda y la intensidad está indicada hacia arriba por el conductor, lo que significa que el campo magnético va a ser tangencial a circulos concentricos desde el conductor en sentido antihorario. Justo por la espira estara entrando hacia el papel. El flujo magnetico es el producto escalar del campo magnetico por el vector que representa el area de la figura atravesada.
$\Phi=\vec{B}\vec{S}$

[ZYpp]

Re: Calcular flujo magnético

sí, el conductor es lo de la izquierda y la intensidad está indicada hacia arriba por el conductor, lo que significa que el campo magnético va a ser tangencial a circulos concentricos desde el conductor en sentido antihorario. Justo por la espira estara entrando hacia el papel. El flujo magnetico es el producto escalar del campo magnetico por el vector que representa el area de la figura atravesada.

$\Phi=\vec{B} \vec{S}$

El flujo magnético va a ser una integral de superficie:

$$\Phi = \oint_D \vec B \cdot \vec dS$$

Ya que el campo de inducción magnética no es constante en todo el área.

[sater]

Re: Calcular flujo magnético

es verdad, pero lo puedes separar en figuras geométricas, ¿no?

[arivasm]

Re: Calcular flujo magnético

El flujo magnetico es el producto escalar del campo magnetico por el vector que representa el area de la figura atravesada.
$\Phi=\vec{B}\vec{S}$

Eso sería así si el campo fuese uniforme, cosa que no sucede en este caso, pues depende de la distancia $r$ al conductor según $\dst B=\frac{\mu_0}{2\pi}\,\frac{I}{r}$.

Por tanto, el flujo debe calcularse mediante $\Phi=\int\vec B\cdot\dd\vec S$, donde la integral se extiende a toda la espira. Por supuesto, lo más sencillo es descomponer la integral según los diferentes tramos que definen la forma de la espira: $\Phi=\int_{r=a}^{r=2a}B\dd S+\int_{r=2a}^{r=3a}B\dd S+\int_{r=3a}^{r=4a}B\dd S$, teniendo en cuenta que en cada uno el diferencial de área puede ser dependiente de la distancia. Por ejemplo, en el primer sumando $\dd S=y(r)\dd r=(r-a)\dd r$, mientras que en el segundo $\dd S=a\dd r$.

[sater]

Re: Calcular flujo magnético

es verdad (lo triste es que me pilláis haciendo ejercicios de esto ahora mismo)

[darkles]

Re: Calcular flujo magnético

Gracias por vuestros aportes, pero estoy un poco liado con esta integral... ya que B no es uniforme al depender de la distancia.

Entonces, digamos que el primer a no cuenta porque al no estar la espira no hay flujo magnético.

En el primer tramo donde empieza la espira, la distancia es desde r=a hasta r=2a, y la superficie de la espira seria S=$\frac{(a*a)}{2}$ con lo que dS=a*dr (lo de r-a no me cuadra ) y tendríamos:

$\Phi=\frac{\mu*I}{2\pi }*a\int\frac{1}{r } *dr$... con lo que quedaría $\frac{\mu*a}{2\pi }*ln(2a-a)$)... y así con todos los tramos... (segundo S=2a y tercero S=a teniendo en cuenta el valor de la distancia)... me equivoco en algo??

[arivasm]

Re: Calcular flujo magnético

La primera de las tres integrales que te puse, y que corresponde al tramo entre a y 2a sería así: $\dst \int_{r=a}^{r=2a}B\dd S=\int_a^{2a}\frac{\mu_0}{2\pi}\,\frac{I}{r}(r-a)\dd r=\frac{\mu_0}{2\pi}I\int_a^{2a}\left(1-\frac{a}{r}\right)\dd r$
con lo que el resultado para esa integral es $\dst\frac{\mu_0}{2\pi}I\left(a-a\ln\frac{2a}{a}\right)=\frac{\mu_0}{2\pi}Ia(1-\ln 2)$

- - - Actualizado - - -

Lo de r-a es simplemente la ecuación que nos da la altura de la espira en función de r: para r=a vale 0, para r=2a vale a y la relación es lineal.

[darkles]

Re: Calcular flujo magnético

Vale, lo de la altura lo he entendido perfectamente pero no creo que sea lineal, ya que para 4a=0... entonces la altura en el tercer tramo sería 0 directamente, no?.

Mi siguiente problema esta en la integral.

Si la a es cte, ¿porque no la sacas antes de integrar también?

Así en el segundo tramo se me quedaría...

$\phi=\frac{\mu}{2\pi }*I \int a*dr$

Se saca la a, se integra el 1 y listo... no? la a siempre va a valer lo mismo

Lo siento si estoy siendo pesado...

[arivasm]

Re: Calcular flujo magnético

Me refería a que era lineal en el tramo que va de a a 2a. La dependencia de la altura con r es diferente en cada tramo. En el segundo tramo la integral es $\dst\frac{\mu_0}{2\pi}Ia\int_{2a}^{3a}\frac{\dd r}{r}=\frac{\mu_0}{2\pi}Ia\ln\frac{3}{2}$.

[darkles]

Re: Calcular flujo magnético

En el tercer tramo la ecuación de altura que he conseguido es a-(r-3a)

Al resolver la integral se me va la unica r que hay y me sale todo, ya que:

$(a/r) - ( r - 3a) = -a + 3a^2$...

Con lo que en el tercer tramo me queda que vale:

$\phi=\frac{\mu}{ 2\pi}*I*-a*3a^2$ ... en que me he equivocado ya?

[arivasm]

Re: Calcular flujo magnético

Como dices, la altura varía según 4a-r. La integral correspondiente es $\dst\frac{\mu_0}{2\pi}I\int_{3a}^{4a}\frac{4a-r}{r}\dd r=\frac{\mu_0}{2\pi}Ia\left(4\ln\frac{4}{3}-1\right)$.

[darkles]

Re: Calcular flujo magnético

Muchísimas gracias arisvasm, tenía errores de cálculo muy tontos en las integrales... deberías de matarme. Ya he podido completar el ejercicio entero.