Otras carreras Circuito de primer orden

[LauraLopez]

Encuentre i(t) para t > 10 s si v(10-) = 2 V

Alguna ayuda para resolverlo? nose como hacerlo , lei algo de que cuando hay fuentes se plantea una solucion natural y una forzada, nose si este es el caso.

Bueno espero alguien me ayude a resolverlo

Gracias

[arivasm]

Re: Circuito de primer orden

Yo lo he enfocado con las leyes de Kirchoff, tratando de poner todo en función de i. Usando corrientes de malla en sentido horario y numerando de izquierda a derecha (y tomando los rectángulos pequeños), las ecuaciones serían éstas:

$\dst 4I_1=2i-v$
$\dst 2I_2-i=v$
$\dst -I_2+I_3=i$
$\dst i+3I_3=0$

De esta manera se encuentran las intensidades de malla y la v en función de i. [Atención! de aquí en adelante están mal los valores, como se señala en mensajes posteriores; sólo es válido el procedimiento] Yo obtengo $\dst I_1=\frac{1}{12}i$, $\dst I_2=\frac{4}{3}i$, $\dst I_3=-\frac{1}{3}i$ y $\dst v=\frac{5}{3}i$.

Como la corriente de carga del condensador es $\dst I_1-I_2=-\frac{15}{12}i$ y también es $\dst C\frac{\dd v}{\dd t}=\frac{5}{3}C\frac{\dd i}{\dd t}$ tenemos la ecuación diferencial

$\dst\frac{\dd i}{\dd t}=-\frac{3}{4C}i$

que se debe integrar entre t=10 y y teniendo en cuenta que $i(10)=\frac{3}{5}v(10)=\frac{6}{5}\,\rm A$.

Lo he hecho quizá con demasiada prisa, con lo que es posible que haya cometido algún error. Quédate con la idea del proceso, y revisa si hay errores.

[LauraLopez]

Re: Circuito de primer orden

me pierdo un poco con las cuentas que haces

Planteando las corrientes de mallas esas que decis yo llego a resultados muy distintos tengo :

$\dst I_1 = \frac{17}{12 } i$

$\dst I_2 = - \frac{4}{3 } i$

$\dst I_3 = - \frac{1}{3 } i$

$\dst v = - \frac{11}{3} i$

- - - Actualizado - - -

tus siguientes pasos tampoco los entiendo cuando ahces la derivada del v respecto al tiempo como sabes cuanto dara? sino tenes una expresion de v en funcion del tiempo...

[arivasm]

Re: Circuito de primer orden

Como te dije, resolví el sistema con demasiada prisa. Confirmo los valores que acabas de poner. Ten en cuenta que, en consecuencia, también estarán mal los demás valores que puse (pero no el procedimiento).

- - - Actualizado - - -

cuando haces la derivada del v respecto al tiempo como sabes cuanto dara? sino tenes una expresion de v en funcion del tiempo...

La intensidad de carga en el condensador es la que circula de arriba a abajo por su rama, es decir, $I_1-I_2=\frac{11}{4}i$. Pero esa intensidad es igual al ritmo al que cambia la carga del condensador:

$$\dst \frac{\dd Q}{\dd t}=\frac{11}{4}i$$

.

Como $\dst Q=C v=-\frac{11}{3}C i$, derivando tenemos

$$\dst \frac{\dd Q}{\dd t}=-\frac{11}{3}C\,\frac{\dd i}{\dd t}$$

Si igualas (1) y (2) tienes la ecuación diferencial que te permite encontrar i(t).

[LauraLopez]

Re: Circuito de primer orden

mmm a ver el dato del capacitor me lo dan y es C= 1 F asi que veo que se llega a la ecuacion diferencial :

$\dst \frac{di}{dt } + \frac{3}{4 } i = 0$ no?

La solucion a esta ecuacion diferencial es :

$\dst i(t)= k {e}^{st }$

entonces reemplazando esa solucion en la ecuacion original llego a que :

$\dst (s + \frac{3}{4 }) k {e}^{st } = 0$ entonces s= - 3/4

Ademas tenemos $\dst v= - \frac{11}{3 } i$ entonces $\dst i= - \frac{3}{11 } v$

$i(10) =- \frac{3}{11 } v(10)= - \frac{6}{11 }$

Asi que

$\dst i(t) = - \frac{6}{11 } {e}^{-\frac{3}{4 }t }$

Esta bien?

[arivasm]

Re: Circuito de primer orden

Te has "comido" el $\mu=10^{-6}$...

[LauraLopez]

Re: Circuito de primer orden

en donde hay un mu?

[arivasm]

Re: Circuito de primer orden

Acabo de ver otro error: no has tenido en cuenta que te han dado el valor para t=10. Lo has manejado como si fuese el correspondiente a t=0. Tienes varias posibilidades para manejar esto. Una es determinar k teniendo en cuenta que en la t debes poner 10. Otra es hacer el cambio de variable t'=t-10. Otra es recurrir a integrar la ecuación (que es lo que yo te recomendaría, mejor que partir de un resultado esperado, como has hecho).

- - - Actualizado - - -

en donde hay un mu?

Tienes razón. No hay ningún mu.

[LauraLopez]

Re: Circuito de primer orden

nose si se hacerlo... como seria? la forma en que lo hice es la forma en que lo hace el libro por eso creo que la idea es que lo haga de esa manera pero nose como es la diferencia en este caso que t= 10 , lo que yo hice es para t= 0 ? como sabes eso? como me doy cuenta que tengo que cambiar algo?

- - - Actualizado - - -

lo unico que tengo que cambiar es el exponente? en vez de t poner t-10?

[arivasm]

Re: Circuito de primer orden

Como te dije, se me ocurren tres maneras.

La primera es tener en cuenta que $i(10)=-6/11$ y que $i(t)=k\ee^{-3t/4}$. Por tanto, $-\frac{6}{11}=k\ee^{-30/4}$, luego $k=-\frac{6}{11}\ee^{30/4}$. (Dejaré siempre el 30/4 para que se vea mejor las equivalencias).

La segunda (ya sé que es el típico "a mí no se me ocurriría") es hacer el cambio $t'=t-10$, con lo que $i(t'=0)=-6/11$. Como la ecuación diferencial para t es la misma que para t', pues $\dd t=\dd t'$, de manera que $i(t')=k\ee^{-3t'/4}$, está muy claro que k es lo mismo que la i(t'=0) (basta con poner t'=0 para verlo), de modo que $i(t')=-\frac{6}{11}\ee^{-3t'/4}$. Ahora simplemente deshacemos el cambio: $i(t)=-\frac{6}{11}\ee^{-3(t-10)/4}=-\frac{6}{11}\ee^{30/4}\ee^{-3t/4}$

La tercera es la que te recomiendo: tratar de integrar la ecuación. La escribiré de nuevo, pero de esta manera:

$\dst \frac{di}{dt }=- \frac{3}{4 } i$

Como la i aparece un par de veces, despejamos la dt (lo haré multiplicado por constantes, que no estorbarán), pues está claro que eso nos permitirá integrar de manera inmediata, como veremos:

$\dst \frac{\dd i}{i}=-\frac{3}{4}\dd t$

Ahora integramos, teniendo en cuenta que si en el lado derecho pongo t=10 en el izquierdo debo poner i=-6/11:

$\dst\int_{-6/11}^i \frac{\dd i}{i}=-\frac{3}{4}\int_{10}^t \dd t$

Es decir

$\dst \ln i-\ln\frac{-6}{11}=-\frac{3}{4}(t-10)=\frac{30}{4}-\frac{3}{4}t$

Antes de dejarnos llevar por el pánico de tener el logaritmo de un número negativo, observemos que una resta de logaritmos es un cociente, de manera que en realidad tenemos

$\dst \ln\frac{-11 i}{6}=\frac{30}{4}-\frac{3t}{4}$

Tomando exponenciales finalmente obtenemos lo mismo de antes

$\dst i=-\frac{6}{11}\ee^{30/4}\ee^{-3t/4}$

[LauraLopez]

Re: Circuito de primer orden

ahhh ok si la primera forma es la que yo intente hacer qe es la que sigue el libro siempre las demas las entendi aunque veo que son mas complejas tratare de seguir manejando la primera forma por ahora ya que el libro suele resolver los ejercicios asi.

Luego el enunciado me dice Repetir para v(10-) = 0 V

Entonces aca tendria que i(10-) = 0 con lo cual k= 0 y enotnces la solucion para este caso es i(t)= 0 seria asi? no es medio raro que de cero?

[arivasm]

Re: Circuito de primer orden

No es raro. Si el condensador está sometido a una ddp nula, además de indicar que no tiene energía almacenada en él, tenemos que la serie formada por el generador dependiente y la resistencia de 4 ohm también estará sometida a una ddp nula. Pero eso significa que no circula corriente por la resistencia de 4 ohm y que 2i=0, luego es i=0 (como has señalado), de ahí seguimos, al fijarnos es las otras dos resistencias, que todas las intensidades son 0.

Pero si el circuito "está muerto" se mantendrá muerto, pues no hay ninguna fuente independiente que aporte energía y así "revivirlo".