2 amp operacional primer orden

[Alriga]

Encuentre v para todo t si :

a) $\dst v_g = 2 u(t)$

b) $\dst v_g = 2 \left[ u(t) - u(t-1) \right]$

En el inciso (a) entonces la respuesta a la que llego es :

$\dst v(t) = 4 \left ( \ee^{-2t} -1 \right ) u(t)$

Y acá en el inciso (b) tengo que :

$\dst v(t) = 4 \left ( \ee^{-2t } -1 \right ) u(t) - 4 \left (\ee^{-2 (t-1)} -1 \right ) u(t-1)$

¿Estaría bien esta respuesta?

La respuesta es correcta y ahora adjuntamos un método alternativo de hallar la solución: analizar el circuito en el dominio operacional (transformada de Laplace)

En primer lugar, hallamos la impedancia equivalente de la asociación en paralelo del condensador y la resistencia:

$Z=\dfrac{1\cdot \dfrac 2 s}{1+\dfrac 2 s}$

$Z=\dfrac 2{s+2}$

1) En el Amplificador Operacional ideal de la izquierda (impedancia de entrada infinita) usamos la 1ª ley de Kirchhoff en el nodo del terminal inversor:

$\dfrac{V_g-V^-}2=\dfrac{V^- -V_1}Z$

$\dfrac{V_g-V^-}2=\dfrac{V^- -V_1}{\dfrac 2{s+2}}$

Por ser el OpAmp ideal y tener la entrada no inversora a masa:

$V^- =V^+ =0$

Sustituyendo y despejando:

$$V_1=-\dfrac{V_g}{s+2}$$

2) En el Amplificador Operacional ideal de la derecha usamos "divisor de tensión"

$V^- =\dfrac 1{1+3} \ V$

Por ser el OpAmp ideal:

$V^- =V^+ =V_1$

Sustituyendo y despejando:

$$V=4 V_1$$

Sustituyendo (1) en (2) deducimos:

$$V=-\dfrac{4 V_g}{s+2}$$

a)

$v_g(t)=2 u(t)$

Su Transformada de Laplace es:

$V_g(s)=\dfrac 2 s$

Sustituyendo en (3)

$V=-\dfrac{8}{s(s+2)}$

$V(s)=-\dfrac 4 s+\dfrac 4{s+2}$

La transformada inversa de Laplace

$$v(t) = \left ( -4 +4\ee^{-2t} \right ) u(t)$$

b)

$v_g(t) = 2 \big [ u(t) - u(t-1) \big ]$

Su Transformada de Laplace es:

$V_g(s)=\dfrac 2 s-\dfrac{2\ee^{-s}}s$

Sustituyendo en (3) y operando

$V=-\dfrac{8}{s(s+2)}+\dfrac{8 \ee^{-s}}{s(s+2)}$

$V(s)=-\dfrac 4 s+\dfrac 4{s+2}+\dfrac{4\ee^{-s}}s-\dfrac{4\ee^{-s}}{s+2}$

La transformada inversa de Laplace

$$v(t) =\left (-4+4\ee^{-2t }\right ) u(t)+\left (4-4\ee^{-2(t-1)} \right ) u(t-1)$$

Saludos.

[LauraLopez]

Re: 2 amp operacional primer orden

buenisimo!!! digamos que la forma en que proponia yo era una intuicion mia yo no tenia mucho fundamento para creer que sea la solucion correcta por eso te la pregunte , la mio fue mas de suerte jaja pero sirvio para ahora saber 2 formas de llegar a lo mismo

[nature]

Re: 2 amp operacional primer orden

bueno ahi entendi un poco mas, igualmente cual es el error conceptual que tenia en mi resolucion del inciso b? para saber la razon de porque eso es incorrecto y no volver a cometer el mismo error

De nuevo me disculpo porque me equivoqué Laura . Estuve revisando (menos mal) lo que tu apuntabas sobre el inciso (b) y es correcto! lo fascinante es que es igual al que yo planteo, claro que el tuyo es mas elegante ... Me costó verlo ya que la forma como tu lo planteas es menos intuitiva a la teoría de lo que sucede. Lo tuve que plantear en una forma mas larga y cómoda para mi, para ahora ver que son iguales. Bueno gracias! aprendí mucho. Dicho esto, veamos:

(1) $\dst v(t) = 4 ({e}^{-2t } -1) u(t) - 4 ({e}^{-2 (t-1) } -1 ) u(t-1)$

(2) $\dst v(t) = 4 ({e}^{-2t } -1) u(t) + \left[-4 ({e}^{-2t}-1) + (4 ({e}^{-2}-1)){e}^{-2(t-1) }\right]u(t-1)$

Si desarrollo (2)

$\dst v(t) = 4 ({e}^{-2t } -1) u(t) + \left[-4 ({e}^{-2t}-1) + (4 ({e}^{-2-2(t-1)}-{e}^{-2(t-1) }))\right]u(t-1)$

$\dst v(t) = 4 ({e}^{-2t } -1) u(t) + \left[-4 ({e}^{-2t}-1) + (4 ({e}^{-2t}-{e}^{-2(t-1) }))\right]u(t-1)$

Que claramente es igual a (1).

Disculpa tanto rollo pero para mi era imposible entenderlo de una vez simplificado, primero debia ver que a partir de 1 se anula la función de salida y se reemplaza por otra que sigue donde quedó la primera.

[LauraLopez]

Re: 2 amp operacional primer orden

bueno ahi entendi un poco mas, igualmente cual es el error conceptual que tenia en mi resolucion del inciso b? para saber la razon de porque eso es incorrecto y no volver a cometer el mismo error

[nature]

Re: 2 amp operacional primer orden

lo que yo decia porque es incorrecto?

No del todo, solo cuando tratas de plantear el inciso (b).

porque la funcion vale cero cuanto t > 1?

$\dst v_g = 2 \left[ u(t) - u(t-1) \right]=2 u(t) - 2 u(t-1)$

Esto es que desde 0<t<1 u(t-1) no existe por lo tanto 2u(t)-0, para t>=1 tenemos 2u(t)-2u(t)=0.

porque el valor de v(1) hay que multiplicarlo por esa exponencial?

Aqui necesito que trates de entender el enunciado y el circuito. El valor de la salida para t=1 esto es v(1) es -3.4586 V. Pero como v_g=0 para todo t>=1 entonces esa salida debe disminuir hasta cero a partir de ese instante, solo que no lo hará abruptamente sino al ritmo de descarga del capacitor quien aun mantiene en el primer AO un nivel de tensión ya que este fuerza que la ddp entre la entrada y la salida sea la misma que en sus bornes.

No se puede expresar la solucion en terminos de u(t) como intente hacer?

Si solo que sería redundante ya que como lo estoy expresando estan bien definidos los intervalos de cada función. Para expresarlo en terminos de u(t) sería así:

$\dst v(t) = 4 ({e}^{-2t } -1) u(t) + \left[-4 ({e}^{-2t}-1) + \underbrace{(4 ({e}^{-2}-1)){e}^{-2(t-1) }}_{v_2(t)}\right]u(t-1)$

Donde he llamdo $v_2(t)$ a la función en la salida que resulta al resolver la ED según las nuevas condiciones iniciales:
$v_g=0$ V
$v_c=\frac{1}{4}v(1)={e}^{-2}-1= -0.86466$ V

Donde v_c es el voltaje en bornes del capacitor. Esto se deduce a partir del hecho que la tensión en la salida del primer AO es 1/4 de la salida del segundo.




PD: modifiqué un error en mi post anterior, no es 3.4586{e}^{-2t } sino -3.4586{e}^{-2(t-1) }.

[LauraLopez]

Re: 2 amp operacional primer orden

mmmm no comprendi lo que hiciste, lo que yo decia porque es incorrecto? porque la funcion vale cero cuanto t > 1? y porque el valor de v(1) hay que multiplicarlo por esa exponencial? No se puede expresar la solucion en terminos de u(t) como intente hacer?

[nature]

Re: 2 amp operacional primer orden

Que tal Laura, de nuevo me disculpo, ya que mi respuesta por lo corta y apresurada, en vez de ayudar creo que te confundió más.

El hecho es que en realidad no está tan dificil porque el inciso (b) dice que:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

luego puedes plantear la salida como una función definida a trozos así:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Esto ultimo considerando que al poner la entrada v_g a cero, la unica entrada será el voltaje al que esté cargado el capacitor, luego he puesto $3.4586{e}^{-2t }$ debido a que la condición inicial es que en $v(1)=4 ({e}^{-2 } -1)=3.4586$

Aqui tienes una grafica de como sería la salida:

[LauraLopez]

Re: 2 amp operacional primer orden

empecemos por la forma que decis que es facil, como seria en ese caso? supongo que la respuesta sera similar a la del inciso a no? o sea se va a ver afectada por la funcion escalon? pero no me doy cuenta de como seria la respuesta.

En el inciso (a) entonces la respuesta a la que llego es :

$\dst v(t) = 4 ({e}^{-2t } -1) u(t)$

Y aca en el inciso b tengo que :

$\dst v_g= 2 u(t) - 2 u(t-1)$

Donde el primer termino es exactamente igual que la v_g del inciso (a) y el segundo termino seria igual pero con el signo cambiado y cambiando la t por t-1 entonces mi respuesta seria :

$\dst v(t) = 4 ({e}^{-2t } -1) u(t) - 4 ({e}^{-2 (t-1) } -1 ) u(t-1)$

Estaria bien esta respuesta?

Gracias

[nature]

Re: 2 amp operacional primer orden

Esta bien resuelto este inciso?

Me parece que está correcto.

y luego mi pregunta es para el inciso b hay alguna forma sencilla de usar mi solucion del inciso (a) y adaptarla para el inciso (b) o tengo que hacer todas las cuentas de nuevo?

Depende de si te piden una expresión general que explique todo el comportamiento incluida la conmutación en la fuente a partir de t=1, en ese caso no está fácil. Ahora si lo puedes plantear como una función no continua expresada por intervalos, es mas fácil y solo tendrías que decir que la función vale tanto de 0<t<1 y otro tanto para t>1.

Me dices cual de las dos es y ahora que llegue a mi casa me siento con mas calma...

[LauraLopez]

Encuentre v para todo t si :

a) $\dst v_g = 2 u(t)$

b)$\dst v_g = 2 \left[ u(t) - u(t-1) \right]$

A)

en t= 0- v_g(0-) = 0 entonces v(0-) = 0

En t= 0+

$v_g = 2$

llamo v_1 al voltaje que hay a la salida del primer amp op

$\dst \frac{2 - 0 }{2 } = -\frac{v_1}{ 1} - C \frac{d v_1}{dt }$

De aca la ecuacion diferencial a la que llego es :

$\dst \frac{d v_1}{dt } + \frac{1}{C } v_1 = - \frac{1}{C }$

Solucion forzada:

A = -1

Solucion natural :

llego a que s= -2 y entonces

$\dst v_n(t)= k {e}^{-2t }$

Luego $\dst v(t)= k {e}^{-2t } -1$

y usando la condicion inicial encuentro que k= 1 asi que

$\dst v_1(t)= {e}^{-2t } -1$

Despues planteando divisor de voltaje con las resistencias de 1 y 3 ohm tengo que :

$v= 4 v_1$

Asi que la solucion final es : $\dst v(t)= 4 ({e}^{-2t } -1 ) u(t)$

Esta bien resuelto este inciso?

y luego mi pregunta es para el inciso b hay alguna forma sencilla de usar mi solucion del inciso (a) y adaptarla para el inciso (b) o tengo que hacer todas las cuentas de nuevo?

Gracias