1r ciclo Ejercicio sobre energía potencial

[Masakre]

El enunciado es el siguiente:

Dos cargas puntuales se localizan en el eje x, q1=-e en x=0 y q2=+e en x=a.
a) Determine el trabajo que debe realizar una fuerza externa para llevar una tercera carga puntual q3=+e del infinito a x=2a.
b) Determine la energía potencial total del sistema de tres cargas.

Sobre el iniciso (a)...
¿Siempre que se mencione "fuerza externa" se estará hablando de una fuerza igual en magnitud pero de dirección opuesta a una fuerza de Coulomb?

Por ejemplo, para calcular el trabajo realizado por una fuerza $F = q_0 E$ para desplazar una carga $q_0$ usaría la siguiente fórmula:
$W_{a\tob} = Kqq_0 (\frac{1}{r_a}-\frac{1}{r_b})$
donde $r_a$ y $r_b$ son las distancias de q al punto a y al punto b respectivamente.

Pero en este caso me piden calcular el trabajo efectuado por una fuerza externa... es decir, ¿y la carga que genera el campo eléctrico para que se efectúe la fuerza Coulomb y de allí pueda considerar a una fuerza externa como su opuesto?

Además hay otra forma de calcular el trabajo, usando las energías potenciales. El trabajo para desplazar la carga q3 sería la diferencia que se obtiene de restar la energía potencial en el infinito menos la energía potencial en x=2a.
Entonces: $W = 0 - U_b$
Ahora, cuando debo resolver dicha energía potencial: $U_b = \frac{Kqq3}{r_b}$
Pero no hay datos sobre la carga q generadora del campo...

He estado leyendo mucha teoría pero cuando es la hora de resolver ejercicios no consigo relacionar los conceptos con términos matemáticos, siempre se me escapa algo.
¿Debería suponer una superficie gaussiana que encierre a q1 y q2? Tal vez deba ser una esfera con centro en a/2 y tener una carga encerrada de q1+q2. Entonces eso actuaría como si fuese una sola carga generadora del campo...

En realidad este es un ejemplo de Sears-Zemansky.
En el desarrollo menciona que el trabajo es igual a la diferencia entre dos cantidades: la energía potencial U asociada a q3, cuando está en x=2a y la energía potencial que tiene cuando está infinitamente lejos. Pero veo que está tomándose Ub-Ua, la variación de energía como el trabajo, y no el negativo como supuestamente debería de ser.

Sobre el iniciso (b) por lo que veo es sólo aplicar una fórmula.
Gracias de antemano.

[arivasm]

Re: Ejercicio sobre energía potencial

Como dices, el trabajo que realiza la fuerza externa es simplemente el opuesto del que realice la fuerza de Coulomb, y este último se puede calcular restando energía potencial inicial menos final (con lo que el trabajo que te piden es la resta energía potencial final menos inicial).

Para un sistema de más de dos cargas la energía potencial es la suma de las de los pares de cargas. Es decir, para tres cargas

$\dst U=k\frac{q_1q_2}{r_{12}}+k\frac{q_1q_3}{r_{13}}+k\frac{q_2q_3}{r_{23}}$

Eso sí, en este ejercicio hay dos cargas que conservan su posición, con lo que al hacer la resta el primer sumando se te marchará, de manera que no necesitas calcularlo.

0Por supuesto, cuando la carga 3 esté en el infinito la suma anterior será simplemente el sumando al que me acabo de referir. Por tanto, si quieres puedes aplicar de un golpe que el trabajo que te piden calcular será directamente

$\dst W_{ext}=k\frac{q_1q_3}{r_{13}}+k\frac{q_2q_3}{r_{23}}$

con las distancias finales entre la carga 3 y las otras dos.

Para el apartado b) aplica simplemente la primera expresión que puse, incluyendo los tres sumandos, y aplicada a la situación final.

[Masakre]

Re: Ejercicio sobre energía potencial

Muchas gracias, ahora lo entiendo mejor.

Sobre el signo del trabajo realizado:
q1 y q2 tienen la misma magnitud pero signo diferente. Uno de ellos atrae a q3 y el otro lo repele. El infinito se considera como el $+\infty$ de +x, ¿o no se puede asumir esto?
Luego, como q2 está más cerca a q3, predomina esta carga y su signo positivo hace que el campo eléctrico vaya de izquierda a derecha.
El desplazamiento va en contra del campo eléctrico por lo tanto la energía potencial aumenta y el trabajo es negativo (considerando a la fuerza de Coulomb).
Pero como me preguntan por el trabajo realizado por la fuerza externa, el trabajo queda positivo y la energía potencial disminuye.
Inicialmente q3 estaba en el infinito y ahora no lo está, eso quiere decir que si su energía potencial disminuyó siendo 0, ahora la energía potencial que efectúan q1 y q2 sobre q3 es negativa.
Aunque... esto último es lo expresado por la fórmula que usted escribió al final, la del trabajo (por cierto, ¿escribió "est" en vez de "ext" o hace referencia a otra palabra?), y antes dije que el trabajo debe ser positivo si es efectuado por la fuerza externa (me estoy contradiciendo tratando de darle sentido al signo).

Se puede hablar de la energía potencial ocasionada por un conjunto de cargas sobre otra carga (la energía potencial sobre q3 sería la energía potencial entre q1 y q3 más la que existe entre q2 y q3), y además de la energía potencial total de un sistema que no se ejerce sobre una carga en específico sino entre todas las presentes (y esto sería lo que en el libro aparece como $K\sum_{i<j}^n \frac{q_i q_j}{r_{ij}})$. ¿Es así?

[arivasm]

Re: Ejercicio sobre energía potencial

El infinito se considera como el $+\infty$ de +x, ¿o no se puede asumir esto?

No tiene porqué ser una situación unidimensional. De hecho no importa. La idea es que las distancias entre esa carga y las demás sean infinitas. Incluso en una situación estrictamente unidimensional tanto podría ser $x=\infty$ como $x=-\infty$

Inicialmente q3 estaba en el infinito y ahora no lo está, eso quiere decir que si su energía potencial disminuyó siendo 0, ahora la energía potencial que efectúan q1 y q2 sobre q3 es negativa.
Aunque... esto último es lo expresado por la fórmula que usted escribió al final, la del trabajo (por cierto, ¿escribió "est" en vez de "ext" o hace referencia a otra palabra?), y antes dije que el trabajo debe ser positivo si es efectuado por la fuerza externa (me estoy contradiciendo tratando de darle sentido al signo).

Antes de nada lo del est: sí era una errata. Por si acaso, ya la corregí. Ya de paso, mejor nos tratamos de tú.

Yo no soy amigo de hablar de "energía potencial de una partícula" (aunque es un abuso del lenguaje que se emplea con excesiva frecuencia). La razón es que la energía potencial es un concepto asociado a fuerzas, y éstas requieren de la participación de pares de partículas.

De todos modos, si nos quedamos sólo con la parte de la energía potencial relacionada con la fuerza sobre q3, algo que está justificado además porque q1 y q2 mantienen sus posiciones relativas, está claro que de las dos contribuciones presentes, la q1-q3 y la q2-q3 siendo la primera favorable y la segunda desfavorable (entiendo estos términos como que la primera contribuye a la aproximación de las partículas mientras que la segunda lo hace a su separación), como las cargas son de igual magnitud (prescindiendo de sus signos) y distancia q1-q3 es mayor que la q2-q3 es obvio que la situación final tendrá una energía potencial mayor que la inicial, con q3 en el infinito. Eso significa que las fuerzas de Coulomb realizarán un trabajo neto negativo, y entonces que la externa lo hará positivo, como bien dices.

El único matiz es que no necesariamente el desplazamiento irá en contra del campo eléctrico (será así si la carga procede de $x=+\infty, y=0$, pero ya comenté antes que no necesariamente deberá ser de esa manera). Sí es cierto que, sea cual sea la trayectoria seguida, el valor neto de $\int q_3\vec E\cdot\dd\vec r$ será positivo (pero podrá haber tramos donde el integrando sea negativo, según cuál sea la trayectoria seguida).

Un aspecto muy importante del carácter conservativo de las fuerzas de Coulomb es que no importa la trayectoria seguida por las partículas, es decir, la ruta seguida en la evolución del sistema. Sólo importan cuáles sean los estados (posiciones de las partículas) entre los que se evoluciona.

Por tanto, mi consejo es que evites recurrir a razonamientos en la línea de los que has puesto. Están bien como ejercicio para entender evoluciones concretas, pero en algún momento deberás prescindir de ellos y comenzar a pensar en términos de "cómo es la situación de partida?", "cómo es la final?". Como te comenté en el mensaje anterior, la magnitud que da respuesta a las preguntas que nos formulan es la energía potencial, de modo que la línea de pensamiento anterior sería "cuál es la energía potencial en la situación de partida?", "cuál es la de la final?"

Se puede hablar de la energía potencial ocasionada por un conjunto de cargas sobre otra carga (la energía potencial sobre q3 sería la energía potencial entre q1 y q3 más la que existe entre q2 y q3), y además de la energía potencial total de un sistema que no se ejerce sobre una carga en específico sino entre todas las presentes (y esto sería lo que en el libro aparece como $K\sum_{i<j}^n \frac{q_i q_j}{r_{ij}})$. ¿Es así?

Sí (a lo último que has puesto). Como te dije antes, la energía potencial es un concepto asociado a las fuerzas conservativas presentes en el sistema y por eso se computa para los pares de partículas.

La condición para que a veces podamos "aislar" los términos que afectan a una sola partícula es entonces evidente: las demás partículas deben mantener sus posiciones relativas, de manera que sus sumandos sean una cantidad fija que podemos restar a la energía potencial, lo que equivale a cambiar la referencia para ésta. Para que se entienda esto último: usualmente tomamos el 0 de la energía potencial eléctrica para la situación en la que *todas* las cargas están infinitamente alejadas entre sí. La resta a la que me acabo de referir significaría tomar un 0 diferente: sólo *una* de las cargas debe estar en el infinito, mientras que las otras deben ocupar unas posiciones (relativas) muy determinadas.

Repito que esto último sólo será útil si dichas posiciones se mantienen. De no ser así es más sencillo recurrir al 0 usual, con todas las cargas en el infinito.

En definitiva, se puede manejar como U sólo la que corresponde a los pares q1-q3 y q2-q3, pero sólo conviene hacerlo si tenemos garantía de que q1-q2 mantienen su distancia relativa, como sucede en este ejercicio.

No obstante, el apartado b) te pide el cálculo de U con la referencia usual, de las tres cargas en el infinito.