Otras carreras combinacion de soluciones naturales y forzadas

[LauraLopez]

Para una ecuacion diferencial de segundo orden : $\dst \frac{d^2 x}{d t^2 } + a_1 \frac{dx}{dt } + a_0 x = f(t)$ , sean $\dst {x}_{n1 }$ y $\dst {x}_{n2 }$ las soluciones naturales y $\dst {x}_{f1 }$ , $\dst {x}_{f2 }$ dos soluciones forzadas distintas. De muestre que cualquier combinacin de $\dst {x}_{n1 }$ y $\dst {x}_{n2 }$ es tambien una solucion natural. ¿Que combinaciones lineales especificas de $\dst {x}_{f1 }$ y $\dst {x}_{f2 }$ seran soluciones forzadas?


Alguna ayuda?

Gracias

[arivasm]

Re: combinacion de soluciones naturales y forzadas

Simplemente haz la substitución $x=\alpha x_{n1}+ \beta x_{n2}$ (donde $\alpha$ y $\beta$ son dos constantes arbitrarias). El ejercicio te dice que las dos $x_{ni}$ satisfacen $\ddot x_{ni}+a_1\dot x_{ni}+a_0 x_{ni}=0$ entonces también se cumple que $\ddot x+a_1\dot x+a_0 x=0$, con la x que puse antes.

Para la segunda parte te dicen que las dos $x_{fi}$ satisfacen $\ddot x_{fi}+a_1\dot x_{fi}+a_0 x_{fi}=f(t)$. Ahora debes plantear una combinación lineal $x=\alpha x_{f1}+ \beta x_{f2}$ y comprobar que, a diferencia del caso anterior, $\alpha$ y $\beta$ no pueden tomar cualquier valor si se debe cumplir que $\ddot x+a_1\dot x+a_0 x=f(t)$. Deberás encontrar que ello sólo será posible si $\alpha+\beta=1$.

[LauraLopez]

Re: combinacion de soluciones naturales y forzadas

esta bien llego a lo que decis