Oscilaciones de una carga

[[Beto]]

Hola tengo algunos problemas con el siguiente ejercicio, se trata de dos cargas del mismo signo, una de ellas fija en el fondo de un tubo y la posición en la que se muestra la otra es la de equilibrio.

Se pide calcular el periodo para las pequeñas oscilaciones alrededor de ese punto, yo lo he hecho más o menos así:

El potencial en ese punto es la suma del gravitatorio más el electrostático, esto es:

$$V_{(z)}=mgz+\frac{qQ}{z}$$

Para encontrar el valor del punto de equilibrio, lo que se hace es derivar respecto a $z$ e igualar a cero.

La pregunta que tengo es si haciendo un desarrollo de Taylor al rededor de ese punto se puede obtener el periodo para esas pequeñas oscilaciones. Normalmente yo lo que hago en estos casos es tratar de encontrar una expresión a partir de un diagrama de cuerpo libre y formar una ecuación diferencial que sea de un movimiento armónico; pero usando el potencial ¿Cómo se hace?

Gracias de antemano.

[Entro]

Re: Oscilaciones de una carga

Suponiendo que sea un movimiento armónico, te basta con ir hasta la segunda derivada. Sustituyes en ella el valor de la posición de equilibrio y entonces tendrás el valor de la constante elástica.

Conocida la constante elástica y la masa podrás determinar la frecuencia de oscilación.

[[Beto]]

Re: Oscilaciones de una carga

Listo, entonces me queda algo así:

$$V_{(z)}\approx mgz_0+\frac{1}{2}2\pi\sqrt{\frac{z_0}{2g}}(z-z_0)^2$$

de donde la constante elástica es la que acompaña a $\dst \frac{1}{2}(z-z_0)^2$

¿Esta bien?

Pd: ¿Por qué hasta el segundo término, porque los demás son muy chiquitos o otro motivo?

[Entro]

Re: Oscilaciones de una carga

Para que sea oscilador armónico el potencial debe ir como x^2 (o variable análoga), si metes más términos en el desarrollo ya estas permitiendo anarmonicidades. En realidad da igual el orden del desarrollo, es el coeficiente de la derivada segunda lo que determina la constante elástica.

Y si, en este caso es el 2*pi*....

[[Beto]]

Re: Oscilaciones de una carga

Gracias

[Rolo]

Re: Oscilaciones de una carga

$$V_{(z)}\approx mgz_0+\frac{1}{2}2\pi\sqrt{\frac{z_0}{2g}}(z-z_0)^2$$

Un par de comentarios nomás...
Este potencial me parece a mi que está mal dimensionalmente...
Me parece que se arregla con el factor $$\frac{1}{4\pi\epsilon_o}$$ que al parecer le falta al potencial anterior...

Lo mismo vale para el valor de la constante elástica que debería tener unidades de N/m... De forma de poder dividirlo entre un cierto valor con unidades de masa y se pueda obtener un valor para w^2... De nuevo creo que se arregla con el factor anterior, pero así a vuelo de pajaro no me doy mucha cuenta de las unidades...

Saludos,
Rolo

[[Beto]]

Re: Oscilaciones de una carga

Ahora que me fijo el error es el siguiente, he tomado como constante eléctrica a "1" por costumbre (no está en el S.I.), y cierto esta mal dimensionalmente el resultado final, y esto se debe a que la constante elástica es $k=2mg/z_0$, yo había anotado el periodo de la oscilación en vez de la constante al momento de transcribirlo.