Otras carreras circuito de segundo orden

[LauraLopez]

Encuentre i para t >0 si $\dst i_1(0)= 3 mA$ e $\dst i(0) = 1 mA$

Bueno lo que hice fue :

Llamo R1= 1 k, R2= 4 k y R3= 2 k , L1= 1 H , L2= 2 H y plateno las ecuaciones de malla :

$\dst R_1 i_1 + L_1 \frac{d i_1}{dt } + R_2 i_1 - R_2 i = 0$ (1)

$\dst L_2 \frac{d i}{dt } + R_3 i + R_2 i - R_2 i_1 = 0$ (2)

De (2)

$\dst L_2 \frac{d i }{dt } + (R_2 + R_3) i = R_2 i_1$

$\dst i_1 = \frac{L_2}{R_2 } \frac{d i}{dt } + \frac{R_2 + R_3}{R_2 } i$ (3)

derivo y tengo

$\dst \frac{d i_1}{dt } = \frac{L_2}{R_2 } \frac{{d}^{2 } i}{d t^2} + \frac{R_2 + R_3}{R_2 } \frac{d i}{dt }$ (4)

Uso esto en (1) y tengo :

$\dst \frac{R_1 L_2}{R_2 } \frac{d i}{dt } + \frac{R_1}{R_2 } (R_2 + R_3) i + \frac{L_1 L_2}{R_2 } \frac{{d}^{2 }i}{ d t^2 } + \frac{L_1}{R_2 } (R_2 + R_3) \frac{d i}{dt } + L_2 \frac{d i}{dt } + (R_2 + R_3) i - R_2 i = 0$

Pongo valores y tengo que :

$\dst \notcien{5}{-4} \frac{{d}^{2 }i}{d t ^2} + \frac{1}{2 } \frac{d i}{dt } + 1500 i + 1.5 \frac{d i}{dt } + 2 \frac{d i}{ dt} + 6000 i - 4000 i = 0$

$\dst \notcien{5}{-4} \frac{{d}^{2 }i}{d t^2 } + 4 \frac{d i}{dt } + 3500 i = 0$

$\dst \frac{{d}^{2 }i}{d t^2 } + \notcien{8}{3} \frac{di}{ dt} + \notcien{7}{6} i = 0$

Esta ultima seria mi ecuacion diferencial de segundo orden

Cuya ecuacion caracteristica es

$\dst S^2 + \notcien{8}{3} S + \notcien{7}{6} = 0$ (5)

Las raices son

$\dst S_1 = -7000$

$\dst S_2 = -1000$

Las raices son realies y distintas entonces estamos en el caso sobreamortiguado y la respuesta natural viene dada por

$\dst i_n(t) = K_1 {e}^{ s_1 t} + K_2 {e}^{s_2 t } = K_1 {e}^{ -7000 t} + K_2 {e}^{-1000 t }$ (6)

Derivando tengo

$\dst \frac{ d i_n}{dt } = -7000 K_1 {e}^{-7000 t } - 1000 K_2 {e}^{-1000 t }$ (7)

Usando (6) y (7) en (3) tenemos :

$\dst i_1(t) = \notcien{5}{-4} \left( -7000 K_1 {e}^{-7000 t} - 1000 K_2 {e}^{-1000 t }\right) + 1,5 \left(K_1 {e}^{-7000 t } + K_2 {e}^{-1000 t } \right)$

$\dst i_1(t) = - 2 K_1 {e}^{-7000 t } + K_2 {e}^{-1000 t }$ (8)

Usando las condiciones iniciales en (6) y (8) tenemos :

$\dst i(0) = K_1 + K_2 = 0,001$ (9)

$\dst i_1(0) = -2 K_1 + K_2 = 0,003$ (10)

De (9) y (10)

$\dst K_1 = - \frac{1}{1500 }$

$\dst K_2 = \frac{1}{600 }$

Finalmente tenemos

$\dst i_n(t) = - \frac{1}{1500 } {e}^{-7000 t } + \frac{1}{600 } {e}^{-1000 t }$

Bueno perdon por poner tantos pasos detallados pero me interesa saber si la forma de resolverla fue correcta y por otro lado como mis resultados numericos son tan raros me da a desconfiar de si lo hice bien alguien encuentra algun error?

Gracias!!

[arivasm]

Re: circuito de segundo orden

He hecho los pasos hasta llegar a (7). Reconozco que ahí ya me entró la pereza y me limité a verificar si lo que ponías tenía o no errores, aparentemente (es decir, en caso de haberlos serían numéricos, que no creo).

No encuentro ningún error, y además me parecen unos valores de lo más razonables: recuerda que en un RL la constante de tiempos es R/L. Aunque éste no es un RL las resistencias son del orden de 1000 ohm y los coeficientes de autoinducción son del orden de 1. Por tanto, no es extraño que los exponentes tengan factores cuyo orden de magnitud es 1000 s^-1. Con respecto a los coeficientes de las exponenciales también son razonables teniendo en cuenta que las intensidades en el instante t=0 son del orden de mA.

Sólo una cosa: debes dar la solución explícita para las funciones $i(t)$ (ésta ya lo haces) e $i_1(t)$ (te falta escribirla, es decir substituir las K).

[LauraLopez]

Re: circuito de segundo orden

Bueno gracias por la paciencia de verificar un poco las cuentas, si el proceso esta bien eso es lo mas importante.

poruqe la solucion para i_1(t) ? si el enunciado pide que encuentre la i nada mas

[arivasm]

Re: circuito de segundo orden

Tienes razón. Fruto de las prisas...