Otras carreras solucion total segundo orden

[LauraLopez]

Encuentre la solucion total para t >0 para la variable indicada. Suponga el estado estacionario en t= 0-

Bueno la fuente de voltaje es de 8 V.

Luego en la primera fila vertical luego de la fuente de voltaje tenemos :

- Resistencia de 1 ohm
-Inductancia de 1 H
-Capacitor de 2 F ( por aca circula la corriente i)

y el la ultima columna tenemos :

-Resistencia de 2 ohm
-Inductancia de 2
-capacitor de 1 F

El interruptor se abre t=0

Entonces en el estado estacionario tenemos un circuito abierto (los capacitores se comportan como circuitos abiertos ) entonces i(0) = 0 y $\dst v=v_1 = 8$ donde llamo v al voltaje en el primer capacitor y v_1 al voltaje en el segundo capacitor ( el de mas a la derecha)

Luego en t= 0+ tengo una malla en donde aplico KVL y seria :

$\dst i + \frac{d i}{dt } + \frac{1}{2 } \int_0^t i(t) dt + v(0) + 1 \int_0^t i(t) dt + v_1(0) + 2 \frac{d i}{dt } + 2 i = 0$

De aca tengo que $\dst 3i + 3 \frac{d i}{dt } + \frac{3}{2 } \int_0^t i(t) + 16 = 0$

Derivo y tengo que:

$\dst \frac{{d}^{2 } i}{d t^2 } + \frac{d i}{d t } +\frac{1}{2 } i = 0$

cuya ecuacion caracteristica es $\dst s^2 + s + \frac{1}{2 }$

cuyas soluciones son :

$\dst s_1 = - \frac{1}{2 } + \frac{1}{2 } j$

$\dst s_2 = - \frac{1}{2 } - \frac{1}{2 } j$

Entonces la solucion tentativa es :

$\dst i(t) = B_1 {e}^{- \frac{1}{2 } t } \cos \frac{1}{2 }t + B_2 {e}^{- \frac{1}{2 } t } \sin \frac{1}{2 }t$

Esta seria la solucion total porque la solucion forzada es cero no?

Usando la condicion inicial de que i(0)=0 tengo que :

$\dst B_1 = 0$

Hasta aca hay errores o hice bien?

Luego nose como hacer para encontarra B_2 ....

gracias

[arivasm]

Re: solucion total segundo orden

Permíteme que no revise las ecuaciones y que responda directamente a tu última pregunta. Apliquemos esta ecuación que has escrito, para t=0:
$\dst 3i(0) + 3 \frac{d i}{dt} + \frac{3}{2 } \int_0^0 i(t) + 16 = 0$
es decir, en t=0, tienes que $\dd i/\dd t =-16/3$, pues i(0)=0 y cualquier integral entre 0 y 0 es 0.

[Breogan]

Re: solucion total segundo orden

Hola:

No se si estoy meando fuera del tarro al hacer el siguiente análisis.

En estado estacionario la corriente por ambas ramas son nulas, por lo cual la tensión en ambos capacitores es igual a la tensión de la fuente (8V), y las caídas de potencial en las resistencias e inductancias son nulas.

Cuando se abre la llave la corriente que circula en la malla que queda no debería ser nula?.

Creo

Suerte

[LauraLopez]

Re: solucion total segundo orden

porque decis que deberia ser cero esa corriente? al abrir el interruptor tengo que los capacitores comenzaran a descargarse a traves de las resistencias por ende circulara una corriente...o capaz no entendi que es lo que queres decir

[Breogan]

Re: solucion total segundo orden

Hola:

El análisis que hice, no se si correcto o no, estaba basado en que al abrir la llave ambos capacitores tienen la misma ddp entre bornes pero de sentido opuesto durante la circulación, por lo cual no hay diferencia de tensión que genere una corriente, sumado al echo de que tampoco hay corriente en las inductancias cuando se abre la llave, hacen que la corriente cuando la llave esta abierta sea cero.

Por otro lado en tu ecuación:

$\dst i + \frac{d i}{dt } + \frac{1}{2 } \int_0^t i(t) dt + v(0) + 1 \int_0^t i(t) dt + v_1(0) + 2 \frac{d i}{dt } + 2 i = 0$

creo que los términos $v(0)$ y $v_1(0)$ deben tener distinto signo, en el sentido de circulacion uno es una subida de potencial y el otro una caida de potencial.

Asi que la ecuacion de la circulacion (que no revise) deberia quedar:

$\dst i + \frac{d i}{dt } + \frac{1}{2 } \int_0^t i(t) dt + 1 \int_0^t i(t) dt + 2 \frac{d i}{dt } + 2 i = 0$

esto no afecta a la ED del circuito, pero la di/dt que indica arivasm en su mensaje ahora seria igual a cero, y esto implica que B2 es igual a cero, segun tu resultado del 1º mensaje:

$\dst i(t) = B_2 {e}^{- \frac{1}{2 } t } \sin \frac{1}{2 }t$

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] $\ \Rightarrow\ \$ $\ B_2=0$

Suerte.

PD: trabaje con lo que hiciste, sin revisarlo a fondo todavía. Todo esta sujeto a revision

[LauraLopez]

Re: solucion total segundo orden

mmmm bueno nose que hacer entonces porque los 2 me dicen 2 formas distintas de hacerlo, no comprendo porque puede llegar a ser posible que los voltajes iniciales de los capacitores sean con distitno signo...por eso que me decis vos de que cambie y ponga en uno 8 y en otro -8....

Bueno espero que arivasm de su opinion asi me dicen como es la forma correcta de hacerlo

- - - Actualizado - - -

O sea las condiciones iniciales yo habia puesto que es i(0)= y v_1(0)= v(0) = 8 eso esta bien ? o deberia ser v_1(0)= 8 y v(0)= - 8 ? si es esto ultimo no me doy cuenta como saber que es asi

Si hago esto que dice Breogan llegaria a que B_1=B_2=0 entonces la corriente seria cero no es muy raro eso? si inicialmente estaban los capacitores cargados como es que no circulara corriente mientras se descargan? si no circula corriente seria que no se descargan....

[arivasm]

Re: solucion total segundo orden

Lo que dice Breogán es correcto. Cuando en tu primer mensaje escribiste

Luego en t= 0+ tengo una malla en donde aplico KVL y seria :

$\dst i + \frac{d i}{dt } + \frac{1}{2 } \int_0^t i(t) dt + v(0) + 1 \int_0^t i(t) dt + v_1(0) + 2 \frac{d i}{dt } + 2 i = 0$

De aca tengo que $\dst 3i + 3 \frac{d i}{dt } + \frac{3}{2 } \int_0^t i(t) + 16 = 0$

No tuviste en cuenta que al recorrer la malla en el sentido que marca i el voltaje del segundo condensador en t=0 tiene su + en la placa de arriba, de modo que v_1(0)=-8 V

Por tanto, la segunda expresión que cito debería ser así: $\dst 3i + 3 \frac{d i}{dt } + \frac{3}{2 } \int_0^t i(t) = 0$

Sobre el problema de los dos coeficientes cero, confieso que llevo varias horas dándole vueltas al problema y no sé cómo salir de él.

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Por si ayuda a alguien, yo lo he pensado de esta otra manera: cuando se abra el interruptor el circuito que nos queda, que será sólo la malla de la derecha, equivale a una sola resistencia R=3 ohm, conectada en serie a una única inducción con L=3 H y en serie con dos condensadores, de 2 F y 1 F, cuyas cargas iniciales son, en sentidos opuestos, 16 C y 8 C (con lo que la ddp en uno es 8 V y en el otro -8 V). Por cierto, estos dos condensadores equivalen a uno solo de 3/2 F, cuya carga o voltaje inicial no sé determinar...

No debería introducir ruido al problema, pero lo haré.

Pondré los + de los potenciales en los condensadores en la placa superior. Haré como Laura, $v$ es el voltaje en el condensador de 2 F y $v_1$ el del condensador de 1 F.

Si no me equivoco, las ecuaciones del circuito serían

$$\dst v-v_1+3\,{\rm H}\frac{\dd i}{\dd t}+3\,\Omega\,i=0$$

$$\dst 2\,{\rm F}\frac{\dd v}{\dd t}=i$$

$$\dst 1\,{\rm F}\frac{\dd v_1}{\dd t}=-i$$

donde en la última expresión tuve en cuenta que el condensador de la derecha disminuye su carga (recordemos que tomé + en la placa superior) si i>0.

Derivando (1) y substituyendo (2) y (3) tengo una bonita ecuación diferencial

$$\dst \frac{3}{2}i+3\frac{\dd i}{\dd t}+3\frac{\dd^2 i}{\dd t^2}=0$$

que es exactamente la misma que cité antes al corregir la segunda de Laura.

En principio parece que no debería haber grandes problemas: la solución general es

$$\dst i(t)=A\ee^{-t}\cos t+B\ee^{-t}\sin t$$

El problema está en las condiciones iniciales: Aparentemente, en t=0 no hay corriente, luego i(0)=0 y entonces A=0; por otra parte, como la ddp en las inducciones es 0 tenemos que en t=0 $\dd i/\dd t=0$ con lo que también B=0.

¡Hala! no hay corriente en ningún instante! Instantáneamente el circuito se descarga! Además parece muy lógico: como los condensadores, que son los que tienen energía inicial almacenada, tienen sus voltajes en oposición equivalen a una fuente de voltaje nulo y por eso no hay corriente en ningún instante.

Mi problema está en que tengo una colección de neuronas haciéndole un escrache a las que han dicho lo anterior y que les están gritando:

Inicialmente había 96 J almacenados en los dos condensadores. Esa energía sólo puede disiparse por las resistencias. Es imposible que se volatilicen instantáneamente!

Puedo ponerme incluso peor... Si combinamos (2) y (3) tenemos que $\dd v_1=2 \dd v$ y la integral de esa expresión es realmente fácil: $v_1=2 v+K$. Como en t=0 tenemos que -8=16+K, entonces deberá cumplirse que

$v_1=2 v-24$

Y entonces las neuronas del escrache saltan con esto:

Al final el circuito se quedará inevitablemente sin energía, luego deberá suceder que $v(\infty)=v_1(\infty)=0$ y ésa expresión no lo satisface!

¡Qué $\mu \vec\imath \epsilon r\delta\alpha$ falla en mis razonamientos no escracheros!!

[LauraLopez]

Re: solucion total segundo orden

.....y entonces que hago? jajaaja yo sigo sin entender como serian las condiciones iniciales entonces..... en las condiciones iniciales un condensador tendra +8 y el otro -8 ? como te das cuenta que tienen distinto signo? cyal tiene signo positivo y cual negativo y porque?

- - - Actualizado - - -

los 2 capacitores no estan en paralelo? no tienen la misma diferencia de potencial aplicada entonces? si en ambos estaria el signo positivo arriba y el negativo abajo no seria eso que la condicion inicial de ambos es +8 ? no logro ver como se dan cuenta de que no sera +8 y el otro -8 en la condicion inicial

[Al2000]

Re: solucion total segundo orden

Según mi modo de ver el asunto, que creo concuerda con lo que ve Breogan, los condensadores están en equilibrio electrostático al momento de abrir el interruptor y seguirán en equilibrio electrostático hasta que algún entrometido venga y lo perturbe . En otras palabras, i(t) = 0, t > 0.

Saludos,

Al

[LauraLopez]

Re: solucion total segundo orden

Sigo sin entender como es el procedimiento para resolver el ejercicio....

Para mi lo primero que tengo que hacer es plantear el circuito en t=0- asi que lo que hice fue re dibujar el circuito con el interruptor cerrado y reemplazo los capacitores por circuitos abiertos, donde llamo v al voltaje en el primer capacitor y v_1 al voltaje en el capacitor de la derecha. En ambos dibujo los singos + arriba y los signos - abajo .

Como es un circuito abierto tengo que i(0)= 0 y v_1= v = + 8

Esto esta bien? o aca ya esta mal porque deberia ser v_1= -v ? si asi no entiendo porque esto es asi.

Igualmente luego cual es el siguiente paso apra resolver el ejercicio? ya estoy confundida y nose como continuar

[Al2000]

Re: solucion total segundo orden

Los voltajes de los condensadores son iguales. Lo que es distinto es la diferencia de potencial que atraviesas cuando recorres la malla... en un caso atraviesas el condensador de (+) a (-) y en el otro caso lo atraviesas de (-) a (+).

Saludos,

Al

[LauraLopez]

Re: solucion total segundo orden

si eso si al atraversarlos si, pero cuando lanteo las condiciones iniciales no estoy atravesando ningun condensador entonces debo decir que la condicion inicial es v=v_1 0 v= -v_1 ? esto es lo que estoy confundida y no se como debe ser

- - - Actualizado - - -

y porque cambia el signo cuando recorro?

la formula de la corriente en un capacitor es :

$\dst \frac{1}{C } \int_0^t i(d) dt + v(0)$

esa formula es la que se corresponde cuando la corriente va de la placa positiva a la negativa del capacitor?

y entonces en el capacitor de la derecha que la corriente va desde la plata negativa a la positiva como es la formula?

es asi?

$\dst - \frac{1}{C } \int_0^t i(d) dt + v(0)$

o asi?

$\dst - \frac{1}{C } \int_0^t i(d) dt - v(0)$

[arivasm]

Re: solucion total segundo orden

Según mi modo de ver el asunto, que creo concuerda con lo que ve Breogan, los condensadores están en equilibrio electrostático al momento de abrir el interruptor y seguirán en equilibrio electrostático hasta que algún entrometido venga y lo perturbe . En otras palabras, i(t) = 0, t > 0.

Saludos,

Al

Desde luego eso es compatible con *todas* las ecuaciones del circuito...

¡Claro! La intensidad es 0 porque los condensadores quedarán cargados. La energía, simplemente, no se disipa!

la formula de la corriente en un capacitor es :

$\dst \frac{1}{C } \int_0^t i(d) dt + v(0)$

esa formula es la que se corresponde cuando la corriente va de la placa positiva a la negativa del capacitor?

La clave está en que tienes que asignarle un signo para la medida del potencial. Por ejemplo, pongámosle a $v_1$ el signo + en la placa inferior y el - en la inferior. Fíjate que con ese criterio, $v_1(0)=-8\,\rm V$.

La corriente i estaría definida en el sentido de entrar en la placa + y salir por la -, luego $\dst i=+\frac{\dd Q}{\dd t}=C\frac{\dd v_1}{\dd t}$.

¿Y si quisiésemos poner el + en la placa de arriba y el - en la de abajo?. En primer lugar, el $v_1(0)$ serían +8V. Pero ahora la i entraría por la placa - y saldría por la +, de manera que $\dst i=-\frac{\dd Q}{\dd t}=-C\frac{\dd v_1}{\dd t}$.

¿Cómo llevar todo esto a la ecuación del circuito? Es decir, cómo usarlo cuando aplicamos lo que llamas KVL. Si le pones el + en la placa de abajo al condensador de la derecha, al recorrer la malla en sentido antihorario, la ecuación en potenciales será $1i+1i'+v+v_1+2i'+2i=0$. Si le pones el + en la placa de arriba sería $1i+1i'+v+v_1+2i'+2i=0$.

No escribo las integrales porque finalmente derivaremos. En el primer caso (el + en la placa de abajo) aparecerá $+{v_1}'=i/C$. En el segundo aparecerá $-{v_1}'=-{-i/C}$. Por tanto, la ecuación diferencial será la misma.

[LauraLopez]

Re: solucion total segundo orden

mmm nose si te entendi se me siguen mezclando las cosas , empezado nuevamente d enuevo como es en el estacio estacionario sigo con la duda si en el estado estacionario sera v(0)= v_1(0) = 8 o si sera uno igual a +8 y el otro igual a -8. Priero quiero sacarme esta duda a ver si sabiendo esto puedo entender lo de tu mensaje anterior. Cual es la respuesta a esto entonces y porque?

- - - Actualizado - - -

los signos mas y menos no los pone la fuente de voltaje en el estado estacionario? o sea no puedo yo ponerlos donde quiera...no deberia ser si o si los mas arriba y los menos abajo y que v_1(0)= v(0)= 8 ?

[Breogan]

Re: solucion total segundo orden

Hola:

¡Hala! no hay corriente en ningún instante! Instantáneamente el circuito se descarga! Además parece muy lógico: como los condensadores, que son los que tienen energía inicial almacenada, tienen sus voltajes en oposición equivalen a una fuente de voltaje nulo y por eso no hay corriente en ningún instante.

Que no halla corriente lo que te dice es que ninguno de los capacitores se descarga, y que la energía no desaparece. Si por curiosidad planteas la conservación de la carga eléctrica, te vas a dar cuenta que la tensión en los capacitores, por lo menos en este ejemplo, nunca va a ser cero aunque hubiera una diferencia de tension entre ellos al abrir la llave; ya que la carga en ellos no se anula nunca.

Puedo ponerme incluso peor... Si combinamos (2) y (3) tenemos que $\dd v_1=2 \dd v$ y la integral de esa expresión es realmente fácil: $v_1=2 v+K$. Como en t=0 tenemos que -8=16+K, entonces deberá cumplirse que

$v_1=2 v-24$

Creo que esta ecuación esta mal, mientras la tensión en un capacitor crezca va a tener que bajar en el otro en forma proporcional al cociente de sus capacidades.
Si lo planteas por conservacion de carga tenes:

$q_1=C_1\ v_1$

$q_2=C_2\ v_2$

si lo sumas obtenes la carga total que debe ser constante

$q_1+q_2=C_1\ v_1+C_2\ v_2=cte$

si ahora derivas esta respecto de t queda:

$\dst 0=C_1\ \frac {dv_1}{dt}+C_2\ \frac {dv_2}{dt}$

Creo que mas o menos es asi.

Suerte