Otras carreras circuito críticamente amortiguado

[LauraLopez]

Encuentre R de modo que el circuito decaiga criticamente. Suponga estado estacionario en t= 0-

En estado estacionario re dibujo el circuito y tengo que $\dst v(0)= \frac{v_g}{R }$

y la corriente inicial sera $\dst i(0) = \frac{v}{10^3 }$
donde v es el voltaje en el capacitor

Esta bien esto?

LUego como tengo que seguir para eso de criticamente amortiguado?

[Breogan]

Re: cicrcuito criticamente amortiguado

Hola:

No queda claro si en el instante t0, se conecta o se desconecta la batería o como es la secuencia de funcionamiento del circuito, ya que no hay llaves en la figura.

Podras aclarar un poco el enunciado.

Gracias

Suerte

[LauraLopez]

Re: cicrcuito criticamente amortiguado

a decir verdad no puedo aclarar mas porque eso que puse es toda la informacion que brinda el enunciado. tengo que encontrar R de modo que el circuito decaiga criticamente

[Breogan]

Re: cicrcuito criticamente amortiguado

Hola:

En realidad ahora me doy cuenta que no es necesario saber lo que te dije en el anterior post.

El circuito del problema es:



Las corrientes y tensiones aparecen como funciones de t porque suponemos que el circuito esta fuera de su punto de equilibrio estacionario.

Planteamos la suma de corrientes en el nodo superior:

$$i_g(t)=i_C(t)+i_L(t)$$

Planteamos las ecuaciones de las tensiones:

$$\dst v_1(t)=V_g-i_g(t)\ R$$

$$\dst v_1(t)=i_L(t)\ R_1+L\ \frac {di_L(t)}{dt}$$

$$\dst v_1(t)=\frac 1 C\ \int i_C(t)\ dt\$$

Despejamos iL de la ecuación (1) y reemplazamos en la (3) tenemos:

$i_L(t)=i_g(t)-i_C(t)$

$$\dst v_1(t)=i_g(t)\ R_1-i_C(t)\ R_1+L\ \frac {di_g(t)}{dt}-L\ \frac {di_C(t)}{dt}$$

Si ahora sacamos la 1º y la 2º derivada de la ecuacion (4) y despejamos iC y su derivada:

$\dst \frac {dv_1(t)}{dt}=\frac 1 C\ i_C(t)\$

$$\dst i_C(t)= C\ \frac {dv_1(t)}{dt}$$

$\dst \frac {d^2v_1(t)}{dt^2}=\frac 1 C\ \frac {di_C(t)}{dt}\$

$$\dst \frac {di_C(t)}{dt}=C\ \frac {d^2v_1(t)}{dt^2}$$

reemplazamos (6) y (7) en (5):

$$\dst v_1(t)=i_g(t)\ R_1-C\ R_1\ \frac {dv_1(t)}{dt}\ +L\ \frac {di_g(t)}{dt}-L\ C\ \frac {d^2v_1(t)}{dt^2}$$

ahora derivamos la ecuacion (2) y despejamos la derivada de ig:

$\dst \frac {dv_1(t)}{dt}=-\ R\ \frac {di_g(t)}{dt}$

$$\dst \frac {di_g(t)}{dt}=-\frac 1 R\ \frac {dv_1(t)}{dt}$$

y la reemplazamos en la (8):

$$\dst v_1(t)=i_g(t)\ R_1-C\ R_1\ \frac {dv_1(t)}{dt}\ -\frac L R\ \frac {dv_1(t)}{dt}-L\ C\ \frac {d^2v_1(t)}{dt^2}$$

por ultimo despejamos ig de la (2) y reemplazamos en la anterior:

$$\dst i_g(t)=\frac {V_g-v_1(t)} R$$

$$\dst v_1(t)=\frac {V_g-v_1(t)} R\ R_1-C\ R_1\ \frac {dv_1(t)}{dt}\ -\frac L R\ \frac {dv_1(t)}{dt}-L\ C\ \frac {d^2v_1(t)}{dt^2}$$

Si no me equivoque, ahora lo que falta es re-ordenar y dejar prolija la ED del circuito.

A partir de la ecuación diferencial del circuito vas a hallar la ecuación característica, que en este caso es una ecuación cuadrática, y ete aqui el meollo del problema!!!

Cuando encontras las raíces de la ecuación característica se te pueden presentar tres situaciones distintas (ya lo viste en algún otro problema), que son:

Raíces reales distintas: circuito sobreamortiguado, el radicando $b^2-4ac$ de la ecuación de las raíces es mayor que cero.

Raíces reales iguales: circuito amortiguado critico, el radicando $b^2-4ac$ de la ecuación de las raíces es igual a cero, y este es el caso que te piden en este ejercicio. Solo tenes que encontrar el valor de R que haga este radicando igual a cero. No intervienen las condiciones iniciales.

Raíces complejas conjugadas: circuito oscilante amortiguado, el radicando $b^2-4ac$ de la ecuación de las raíces es menor que cero

El que el circuito pertenezca a una de estas clases es una característica del circuito, y no depende de condición inicial alguna.

Hasta aca llegue, espero no haberme equivocado. Mañana se sigue.

s.e.u.o.

Suerte

[LauraLopez]

Re: cicrcuito criticamente amortiguado

Hola Breogan perdon que yo siempre voy mas lenta , por ejemplo en tu ecuacion (4) estas diciendo que v_1 es igual al voltaje en el capacitor no? porque no le agregar el temrino del voltaje inicial?

O sea la ecuacion no seria :

$\dst v_1(t) = \frac{1}{ C} \int_0^t i_c(t) dt + v_c(0)$ ??

o sea si depende de la condicion inicial.... ademas creo que v_c(0) es un valor distinto de cero

Y porque decis que no intervienen las condiciones iniciales? si ya he resuelto otros ejercicios donde son alguno de estos 3 casos y en todos siempre debo recurrir a las condiciones iniciales para poder encontrar los valores de las constantes que forman la solucion de la ecuacion diferencial

Por ultimo luego de que me expliques estas dudas, si es que esta bien tu ecuacion (4) si re ordeno tu ecuacion (12) llego a que :

$\dst LC \frac{{d}^{2 } v_1(t)}{ d t^2 } + (\frac{L}{R } + C R_1) \frac{d v_1(t)}{d t } + (1+ \frac{R_1}{R }) v_1(t) = \frac{v_g R_1}{R }$

Cuya ecuacion caracteristica es :

$\dst (L C) S^2 + (\frac{L}{C } + C R_1) S + (1 + \frac{R_1}{R }) = 0$

$\dst {s}_{1,2 } = \frac{- (\frac{L}{C } + C R_1) \mp \sqrt{{(\frac{L}{C } + C R_1)}^{2 } - 4 (LC) (\frac{R + R_1}{R })}}{ 2 ( L C)}$

Luego tendria que encontrar R de esta ecuacion?

$\dst {(\frac{L}{R } + C R_1 )}^{2 } - 4 (LC) (\frac{R + R_1}{R }) = 0$

no logro resolverla...

PD: no me acuerdo si ya te lo pregunte una vez porque siempre que lo leo digo que te lo voy a preguntar y me olvido , que signiica " s.e.u.o " ?

[Breogan]

Re: cicrcuito criticamente amortiguado

Hola:

Hola Breogan perdon que yo siempre voy mas lenta , por ejemplo en tu ecuacion (4) estas diciendo que v_1 es igual al voltaje en el capacitor no? porque no le agregar el temrino del voltaje inicial?

O sea la ecuacion no seria :

$\dst v_1(t) = \frac{1}{ C} \int_0^t i_c(t) dt + v_c(0)$ ??

o sea si depende de la condicion inicial.... ademas creo que v_c(0) es un valor distinto de cero

Cuando estudie el tema me explicaron que era mas sencillo trabajar con integrales indefinidas y no lidiar con las condiciones iniciales y su signo, por lo menos para encontrar la ED del circuito.
Las condiciones iniciales solo las usas mas adelante para encontrar las constantes en la solución final.

Las dos formas de escribirlo son equivalentes, y ya ves que cuando encontras la ED del circuito las condiciones iniciales que vos pones desaparecen.

Hay una demostración matemática (y por que no física también) de esto a través de las propiedades de las integrales definidas e indefinidas.

Te diría, para que no te disperses y como este tema no es fundamental lo dejemos para el final del ejercicio; ahora creelo y una vez lo terminemos haceme acordar y te explico.

Y porque decis que no intervienen las condiciones iniciales? si ya he resuelto otros ejercicios donde son alguno de estos 3 casos y en todos siempre debo recurrir a las condiciones iniciales para poder encontrar los valores de las constantes que forman la solucion de la ecuacion diferencial

Por que en este ejercicio no te piden la solucion del circuito ( i(t) o v(t) o ...) donde si tenes que usar las condiciones iniciales. Aca te piden hallar el valor de R que satisfaga una condicion (b^2-4ac=0) de la ED del circuito donde no intervienen las condiciones iniciales.

Por ultimo luego de que me expliques estas dudas, si es que esta bien tu ecuacion (4) si re ordeno tu ecuacion (12) llego a que :

$\dst LC \frac{{d}^{2 } v_1(t)}{ d t^2 } + (\frac{L}{R } + C R_1) \frac{d v_1(t)}{d t } + (1+ \frac{R_1}{R }) v_1(t) = \frac{v_g R_1}{R }$

Cuya ecuacion caracteristica es :

$\dst (L C) S^2 + (\frac{L}{C } + C R_1) S + (1 + \frac{R_1}{R }) = 0$

$\dst {s}_{1,2 } = \frac{- (\frac{L}{C } + C R_1) \mp \sqrt{{(\frac{L}{C } + C R_1)}^{2 } - 4 (LC) (\frac{R + R_1}{R })}}{ 2 ( L C)}$

Luego tendria que encontrar R de esta ecuacion?

$\dst {(\frac{L}{R } + C R_1 )}^{2 } - 4 (LC) (\frac{R + R_1}{R }) = 0$

no logro resolverla...

La ecuación (4) esta bien, pero no tuve tiempo de revisar el como llegue a la ecuación (12) (de ahí el termino s.e.u.o.), te lo dejo para que vos lo revises y si hay algo mal me avises.

En cuanto a la ultima ecuación que pones hay un error en el 1º termino del 1º miembro, donde pusiste R va C (según lo que vos escribiste antes), y solo te queda despejar R, te ayudo un poco:

$\dst {(\frac{L}{C } + C R_1 )}^{2 } - 4 (LC) (\frac{R + R_1}{R }) = 0$

$$\dst {(\frac{L}{C} + C R_1 )}^{2 }\ R - 4 (LC) (R+R_1) = 0$$

Esto si la ED característica que pones esta bien.

Una forma rápida de verificar un resultado es verificar la consistencia en las unidades, es condición necesaria pero no suficiente. Te lo recomiendo, es una buena practica.


Yo no lo hice porque no me acuerdo nada de unidades, pero en la ecuación que marque como dudosa los dos términos deben tener las mismas unidades, verificalo.

PD: no me acuerdo si ya te lo pregunte una vez porque siempre que lo leo digo que te lo voy a preguntar y me olvido , que signiica " s.e.u.o " ?

Cuando no estoy seguro, o no tuve tiempo de revisar lo que hice, o tengo alguna duda (casi siempre !!!) pongo el acronimo de salvo error u omisión (s.e.u.o.), algo muy utilizado por los bancos.

Suerte

[LauraLopez]

Re: cicrcuito criticamente amortiguado

Bueno vamos a asumir que tu ecuacion (4) es correcta yo volvi a revisar mis cuentas y no me encuentro errores asi que si queres asumimos que esa ecaucion a la que llego es correcta... ( a menos que tengas ganas de hacer las cuentas por vos mismo )

En fin la ecuacion que tengo que resolver y despejar R es esta :

$\dst (\frac{L}{ R} + C R_1)^2 - 4 (LC) (\frac{R + R_1}{R }) = 0$

Resolviendo pude llegar a :

$\dst \frac{L^2}{R^2 } - \frac{2 L C R_1}{R } = 4 LC - C^2 R_1^2$

y sigo sin poder resolverla.....mas de aca no puedo seguir, es posible resolver esta ecuacion? porque tengo la variable R y tambien la variable R al cuadrado , nose si se podra despejar....

- - - Actualizado - - -

Eso que decis dond puse R va C en realidad va R como puse en la ultima ecuacion

[Breogan]

Re: cicrcuito criticamente amortiguado

Hola:

Tenes razon en la ED esta L/R, en la característica y en la de las raíces esta L/C. Antes de avanzar mas, por favor verifica la consistencia de las unidades en la formula:

$\dst (\frac{L}{ R} + C R_1)^2 - 4 (LC) (\frac{R + R_1}{R }) = 0$

que me parece que no cierran

Gracias

Suerte

[LauraLopez]

Re: cicrcuito criticamente amortiguado

me da todo en segundos , eso seria que verifica?
F = s/ohm

H = ohm . s

[Breogan]

Re: cicrcuito criticamente amortiguado

Hola:

Si es así esta bien, ya que el 2º termino también es s^2.

Avanzo con la ecuación:

$\dst (\frac{L}{ R} + C R_1)^2 - 4 (LC) (\frac{R + R_1}{R }) = 0$

$\dst \frac {(L + C R_1R)^2}{R^2} - 4 (LC) R(\frac{R + R_1}{R^2 }) = 0$

$\dst (L + C R_1R)^2 - 4 (LC) R(R + R_1) = 0$

$\dst L^2+2LCR_1R + C^2 R_1^2R^2 - 4 (LC) R^2-4 (LC) R R_1 = 0$

$\dst L^2+2LCR_1R -4 (LC) R R_1+ C^2 R_1^2R^2 - 4 (LC) R^2 = 0$

$\dst L^2-2LCR_1\ R + (C^2 R_1^2 - 4 LC) \ R^2 = 0$


$\boxed {\dst (C^2 R_1^2 - 4 LC) \ R^2-2LCR_1\ R +L^2= 0}$


$\dst R_{1,2}=\frac {-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$


$\dst R_{1,2}=\frac {-(-2LCR_1)\pm \sqrt{(-2LCR_1)^2-4(C^2 R_1^2 - 4 LC)\ L^2}}{2(C^2 R_1^2 - 4 LC)}$

$\dst R_{1,2}=\frac {2LCR_1\pm \sqrt{4L^2C^2R_1^2-4C^2 R_1^2 L^2+ 16 L^3C}}{2C^2 R_1^2 - 8 LC}$

$\dst R_{1,2}=\frac {2LCR_1\pm \sqrt{ 16 L^3C}}{2C^2 R_1^2 - 8 LC}$

Hasta aca llegue, por favor revisalo.

s.e.u.o.

Suerte

[LauraLopez]

Re: cicrcuito criticamente amortiguado

Ahi revise las cuentas el unico error que encuentro es cuando en esta ecuacion haces la multiplicacion de lo que seria 4ac





pasas a esta otra donde el ultimo termino que pones que es : $\dst 4 L^3 C$ en realidad deberia ser $\dst 16 L^3 C$ no?




Bueno cambiando ese detalles luego pongo los valores numericos y llego a que las 2 soluciones son

R= -1000
R= 333,33

Asi que debo quedarme con el valor positivo porque no puede haber resistencias negativas es asi no?

[Breogan]

Re: cicrcuito criticamente amortiguado

Hola:

Tenes razón en cuanto al error en la ecuación que puse, termino este y lo corrijo. Gracias.

En cuanto al valor de la resistencia que debes elegir también tenes razón, como no existen resistencias negativas el valor que tenes que elegir es $R=333,33\ \Omega$

Para estar completamente segura que esta todo bien, podes reemplazar dicho valor en la siguiente ecuación y confirmar que se verifica.

$\dst (\frac{L}{ R} + C R_1)^2 - 4 (LC) (\frac{R + R_1}{R }) = 0$

No sugiero nada mas. Termine

Suerte

[Al2000]

Re: cicrcuito criticamente amortiguado

...
$\dst R_{1,2}=\frac {2LCR_1\pm \sqrt{ 16 L^3C}}{2C^2 R_1^2 - 8 LC}$

Hasta aca llegue, por favor revisalo.
...

Sólo por poner el resultado mas bonito, simplificando el 2 que aparece como factor, factorizando $L$ y escribiendo el denominador como una suma por su diferencia, se tiene

$\dst R_{1,2}=\frac {2LCR_1\pm \sqrt{ 16 L^3C}}{2C^2 R_1^2 - 8 LC} = \frac {L\left(CR_1\pm 2 \sqrt{LC}\right)}{C^2 R_1^2 - 4 LC} = \frac {L\left(CR_1\pm 2 \sqrt{LC}\right)}{\left(C R_1 + 2 \sqrt {LC}\right)\left(C R_1 - 2 \sqrt {LC}\right)}$

$\dst \boxed {R_{1,2} = \frac L {C R_1 \pm 2 \sqrt {LC}}}$

Saludos,

Al

[Breogan]

Re: cicrcuito criticamente amortiguado

Hola:

La estética siempre es un buen indicador en esta clase de problemas.

Gracias Al, siempre un toque de distinción....

Suerte