2o ciclo Laplaciano de V

[leo_ro]

Se plantea la ecuación de laplace: ${\nabla}^{2} V =\frac{{\partial}^{2} V }{\partial{x}^{2} } \hat{\imath} +\frac{{\partial}^{2} V }{\partial{y}^{2} } \hat{\jmath} +\frac{{\partial}^{2} V }{\partial{z}^{2} }\hat{k}=0$

Es evidente que no hay variación de $V$ con $x$ y con $y$. Y esto se debe a que las placas son equipotenciales. Por lo que

${\nabla}^{2} V= \frac{{\partial}^{2} V }{\partial{z}^{2} } = 0$

Pero en vez de buscar una solución a la ecuación diferencial ciegamente, lo que quiero es ver el significado físico. El laplaciano del potencial es:

${\nabla}^{2} V = \nabla . \nabla V = \nabla . E= - \frac{Q}{\epsilon }$

Ahora decir que ${\nabla}^{2} V = 0$ implica que no existen cargas, es decir, cargas eléctricas en los planos y eso me resulta difícil de entender. ¿Cómo puede darse un potencial entre las placas sin que existan cargas? Quizás alguien puede despejar mi duda.

Saludos.

[Al2000]

Re: Laplaciano de V

Una pequeña corrección a la ecuación que pones, debería decir $\dst \nabla^2 V = \nabla \cdot \nabla V = - \nabla \cdot \boldsymbol E= - \frac \rho \epsilon$.

La ecuación $\boldsymbol \nabla ^2 V = 0$ es aplicable al espacio (vacío) que existe entre los planos cargados, que pasan a ser fronteras en el problema en cuestión. Lo que te dice la ecuación de Laplace es que, en ausencia de cargas, el potencial no puede tener una "forma" arbitraria, sino solamente aquella que satisfaga $\boldsymbol \nabla ^2 V = 0$, aún siendo cierto de que existen cargas fuera de la región considerada que producen el campo eléctrico (y su potencial asociado) bajo estudio.

Saludos,

Al

[leo_ro]

Re: Laplaciano de V

La solución a la ecuación de laplace para este caso es:

$V= \frac{{V}_{1}-{V}_{0}}{d }z + {V}_{0}$

Es decir: La variación de potencial es lineal con respecto a la distancia. Igualmente expresado como:

$V= k \frac{Q}{d}$

[arivasm]

Re: Laplaciano de V

Se plantea la ecuación de laplace: ${\nabla}^{2} V =\frac{{\partial}^{2} V }{\partial{x}^{2} } \hat{\imath} +\frac{{\partial}^{2} V }{\partial{y}^{2} } \hat{\jmath} +\frac{{\partial}^{2} V }{\partial{z}^{2} }\hat{k}=0$

El laplaciano aplicado a una magnitud escalar es un escalar y no un vector: ${\nabla}^{2} V =\frac{{\partial}^{2} V }{\partial{x}^{2} } +\frac{{\partial}^{2} V }{\partial{y}^{2} } +\frac{{\partial}^{2} V }{\partial{z}^{2} }=0$

En este caso, por la simetría del problema $\partial V/\partial x=0$ e igualmente para y.

Igualmente expresado como:

$V= k \frac{Q}{d}$

Eso es erróneo y además improcedente, pues sería el potencial correspondiente a una carga puntual y con referencia en el infinito y ni aquí hay una carga (hay dos), ni son puntuales, ni se puede situar la referencia en el infinito (pues le corresponden dos valores: el del infinito "por encima" de las placas y el del infinito "por debajo")