2o ciclo Máximo potencial

[leo_ro]

Mi pueden ayudar con el siguiente ejercicio, estoy muy confundido con respecto a la forma de abordarlo.



Sé que el campo eléctrico para esa configuración es:

$E= \frac{q}{4\pi \varepsilon {r}^{2} }$

La capacitancia de un capacitor eférico está dado por: $C= 4\pi \varepsilon \frac{ab}{b-a }$

En ese caso cada capa de dieléctrico sería como un capacitor separado en donde la capacitancia total es la configuración en paralelo de las dos.

${C}_{1}= 4\pi 4.5 \varepsilon \frac{ab}{b-a }= 1.25*{10}^{-12} [F]$

${C}_{2}= 4\pi \varepsilon \frac{cb}{c-b }= 3.37*{10}^{-12} [F]$

Por lo que ${C}_{t}=\frac{{C}_{1}{C}_{2}}{{C}_{1}+{C}_{2} }= 9.1*{10}^{-13} [F]$

La riguidez eléctrica de la porcelana (que es el material en donde el campo eléctrico es mas fuerte por lo que la precaución la tomamos con respecto a esta) es $E=45[Kv/cm] = 4500 [Kv/m]$

No sé a partir de acá como seguir, Porque supongo que como el potencial mayor está en la esfera del interior y la masa en la esfera exterior. Como el campo varía con el inverso del cuadrado de la distancia, el máximo valor del campo eléctrico estará justo en la frontera de la esfera interior. Pero no sé como seguir ni expresar matemáticamente. ¿Alguna ayuda con respecto a como encaminarme?

Saludos.

Lo pensé un poco y si la condición lo tengo con respecto a la porcelana, sé que el campo eléctrico está dado por:

$E= \frac{q}{4\pi \varepsilon {r}^{2} }$

Como el campo eléctrico máximo es $E=4500 [Kv/m]$ puedo calcular la carga de la esferá que será

$q= E 4 \pi 4.5 {\varepsilon}_{0} {a}^{2}$ pero no estoy seguro si la distancia es $a$ (radio de la esfera interior) o .

Bueno siguiendo, ya como tenemos la carga $q$ y la capacitancia total, el potencial máximo será $V=q/C$
¿Qué me dicen?

[Al2000]

Re: Máximo potencial

Un par de tips:

- Kilovoltio se simboliza kV y no Kv como escribiste.

- Los condensadores, caso de que quieras resolver el problema de esa manera simple, se encuentran en serie y no en paralelo, como escribiste (sin embargo, el cálculo de Ct está bien).

- No puedes saber a ciencia cierta si fallará primero la porcelana, tienes que probarlo. Como se trata de dos condensadores en serie, entonces la carga en cada condensador vale Q = Ct V. Con esta carga y cada una de las constantes dieléctricas, determina los máximos valores del campo en cada dieléctrico.

- Escribe las dos inecuaciones que se deben cumplir y determina V.

Saludos,

Al

[leo_ro]

Re: Máximo potencial

No puedes saber a ciencia cierta si fallará primero la porcelana, tienes que probarlo. Como se trata de dos condensadores en serie, entonces la carga en cada condensador vale Q = Ct V. Con esta carga y cada una de las constantes dieléctricas, determina los máximos valores del campo en cada dieléctrico.

Gracias, Al. Si sé que existe la misma cantidad de carga en cada esfera. Pero para esa configuración de cargas y según la ley de gauss, el campo eléctrivo está expresado como:
$E=\frac{Q}{4 \pi \varepsilon {r}^{2}}$

Por lo que el valor del campo en un extremo es máximo y disminuye hasta llegar a cero en la frontera de la otra esfera. Por lo que a mi parecer solamente un material tendrá que "aguantar" un campo eléctrico cercano a la rigidez eléctrica, ya que el valor del campo en el extremo de la otra esfera será cero. Pero no sé (que tampoco no me dice) cual esfera tiene carga positiva o negativa.
En mi planteo tomo que la esfera interior tiene un potencial mayor a la exterior, por lo que el campo eléctrico tiene dirección que va de la esfera interior a la exterior y como disminuye con el cuadrado de la distancia en el extremo de la esfera exterior el valor del campo es cero. Así que el valor máximo del campo será en la frontera que delimita la esfera interior con el material de la porcelana.

[Al2000]

Re: Máximo potencial

Despreocúpate de dónde está aplicado el voltaje mayor; el sentido del campo no tiene importancia, sólo te interesa el módulo. Sólo compara el campo en "a" con la rigidez del dieléctrico 1 y el campo en "b" con la del dieléctrico 2 y usa el menor de los voltajes.

Saludos,

Al

[leo_ro]

Rigidez eléctrica en capacitor esférico

Un capacitor concéntrico está compuesto por dos capas dieléctricas concéntricas, la interior es de porcelana (${\varepsilon}_{r}=4.5$, ${E}_{max1}=45[KV/cm]$) y la exterior es de aire (${\varepsilon}_{r}=1$, ${E}_{max2}=30[KV/cm]$), si a=2mm, b=1cm y c=3cm. ¿Cuál será la máxima tensión aplicable sin ruptura?

El campo eléctrico para una configuración esférica es:

$E=\frac{q}{4 \pi \varepsilon {r}^{2} }$

Supongo que lo primero que tengo que hacer es encontar la carga que genere el campo eléctrico máximo que soporte el material. Supongo que tengo que tomar la intensidad máxima de riguidez eléctrica de los materiales. En este caso tomo la rigidez eléctrica del primer material, el de porcelana porque es el mayor (creo que es lo lógico). Su intensidad máxima será en la parte más cercana (ya que disminuye con el cuadrado de la distancia) por lo que:

$q=4500 [KV/m] 4 \pi 4.5 {\varepsilon}_{0}{(0.002 [m])}^{2}= 9[nC]$

Ahora veo si esa carga genera una intensidad de campo mayor que lo que soporta el aire:

$E= 9[nC]/(4 \pi {\varepsilon}_{0} {(0.01[m])}^{2}=809.262[KV/m]=8,092[KV/cm]<30[KV/cm]$

bien lo soporta.

$V=\frac{q}{4 \pi \varepsilon r }$

${V}_{2}= \frac{ 9[nC]}{4 \pi 4.5 {\varepsilon}_{0}0.002[m] } =8.9918 [KV]$

${V}_{2}= \frac{ 9[nC]}{4 \pi {\varepsilon}_{0}0.03[m] } = 2.6975[KV]$

$V={V}_{1}+{V}_{2}=8.9918[KV]+2.6975[KV]=26.983 [KV]$

¿Es correcto?

Saludos.

[Al2000]

Re: Máximo potencial

Te pongo una solución posible, en este caso usando el teorema de Gauss.

Con las apropiadas consideraciones de simetría y bla bla bla, obtienes el desplazamiento eléctrico (sólo pondré módulos, todos los campos son radiales):

$$D = \frac q {4 \pi r^2}$$

Los campos eléctricos en la porcelana y en el aire son:

$$E_p = \frac D {\epsilon_r \epsilon_0} = \frac q {4 \pi \epsilon_r \epsilon_0 r^2}$$

$$E_a = \frac D {\epsilon_0} = \frac q {4 \pi \epsilon_0 r^2}$$

La diferencia de potencial entre las armaduras del condensador vale

$$V = \int_{a}^{c}\!\! E\, dr = \frac q {4 \pi \epsilon_r \epsilon_0} \int_{a}^{b}\!\! \frac {dr}{r^2} + \frac q {4 \pi \epsilon_0} \int_{b}^{c}\!\! \frac {dr}{r^2} = \frac q {4 \pi \epsilon_0} \left(\frac {b-a}{\epsilon_r a b} + \frac {c-b}{bc}\right)$$

Despejando $q$ y sustituyendo en (2) y (3), tienes que

$$E_p (r)= \frac V {\dst \epsilon_r \left(\frac {b-a}{\epsilon_r a b} + \frac {c-b}{bc}\right) r^2}$$

$$E_a (r)= \frac V {\dst \left(\frac {b-a}{\epsilon_r a b} + \frac {c-b}{bc}\right) r^2}$$

Sólo resta poner que $\dst E_p(a) < E_{max1}$ y $\dst E_a(b) < E_{max2}$, despejar $V$ de ambas y quedarse con el menor valor. Si no me he equivocado, eso debería dar 12.6 $\mathrm{kV}$.

Saludos,

Al

[leo_ro]

Re: Máximo potencial

1- La primer duda que me surge es ¿por qué planteaste primero el desplazamiento eléctrico? He visto en problemas que se plantea está condición en los límites pero no sé el por qué.

2- Lo que hiciste (dejando de lado el planteo del desplazamiento) es plantear la expresión del campo eléctrico en una configuración esférica. Luego con eso desarrollaste mediante el proceso de integración la expresión de la diferencia de potencial en una configuración esférica. Supongo que de manera de despejar la carga y suplantarla en la ecuación del campo eléctrico. Despejaste V y evaluaste E con la magnitud de la rigidez eléctrica de cada material. Luego adicionaste las dos diferencias de potencial.
Pero no veo la diferencia con mi resolución, yo directamente lo hice numéricamente en vez de hacerlo primero en forma general y luego sustituir los datos. Supongo que mi error debe estar desde que planteo la expresión de la diferencia de potencial.

Saludos.

[Al2000]

Re: Máximo potencial

El cálculo que haces de los potenciales que llamaste $V_1$ y $V_2$ no es correcto, estás usando la fórmula del potencial para una carga puntual que no es aplicable en este caso. Aceptando el cálculo que hiciste para la carga, tendrías que calcular las diferencias de potencial para cada dieléctrico usando precisamente las expresiones que aparecen en la ecuación (4) de mi mensaje anterior. Los dos sumandos dentro de los paréntesis corresponden a las diferencias de potencial en la capa de porcelana y la de aire, respectivamente.

Saludos,

Al

[leo_ro]

Re: Máximo potencial

Si tienes razón, tiene la pinta del potencial de cargas puntuales. Pero resultad de integrar el campo eléctrica para la configuración de una esfera. Que es:

$E=\frac{q}{4 \pi \varepsilon {r}^{2}}$ (que justamente tiene la misma forma que el campo de cargas puntuales)

si calculamos a partir de este el potencial:

$V= \int E dr = \frac{q}{4 \pi \varepsilon} \int \frac{dr}{{r}^{2}}=\frac{q}{4 \pi \varepsilon r}$

Y tiene la misma forma. Quizás lo que hice mal es no integrar con los límites.

[Al2000]

Re: Máximo potencial

En el cálculo así como lo estás poniendo, se considera que el potencial es cero a una distancia infinita, lo que está bien para una carga puntual o para una esfera aislada, pero no para un condensador esférico, donde la armadura externa tiene un radio finito.

Debes tomar una de dos posibles formas de resolver... o incluyes los límites en la integral, o añade una constante de integración la cual debes ajustar para que el potencial valga cero en la armadura que tu elijas.

Puntualizando, para un condensador esférico de radio interno $a$ y radio externo $b$, el potencial en un punto a cualquier distancia $r$ en su interior (asumiendo el cero en la armadura externa, $r = b$), vale $\dst V(r) = \frac Q {4 \pi \epsilon_0} \left(\frac 1 r - \frac 1 b\right)$.

Saludos,

Al

[leo_ro]

Re: Máximo potencial

Una pregunta. En el cálculo que hiso Al, para calcular el potencial utilizó la expresión:

$V= {\int}_{a}^{c} E dr$

pero ¿la expresión no está equivocada? no tendría que ser:

$V= - {\int}_{a}^{c} E dr$

Saludos.

[Al2000]

Re: Máximo potencial

En realidad el cálculo debió decir, en forma mas estricta, que

$$V = - \int_c^a \! \vec E \cdot d \vec r = - \int_c^a \! (E \;\hat u_r) \cdot (dr \; \vec u_r) = - \int_c^a \! E \; dr = \int_a^c \! E \; dr$$

Nota que estoy asumiendo que el campo es radial hacia afuera y por lo tanto estoy integrando desde afuera hacia adentro a fin de obtener un valor positivo para la diferencia de potencial.

Disculpa por haberme "comido" las expresiones intermedias.

Saludos,

Al

[leo_ro]

Re: Máximo potencial

Claro entonces es indistintamente si lo hacemos desde afuero que hacia adentro. Ya que el valor de la carga que calculamos primeramente para calcular el potencial es el valor absoluto de esta. Aunque me confunde porque primeramente se supuso positiva tendiendo en cuenta en su cálculo el máximo valor del campo que sería en el límite y disminuye el campo a medida que se acerca a la superficie exterior.