Otras carreras solucion forzada

[LauraLopez]

Escriba una ecuacion diferencial para i(t). Encuentre la solucion forzada

En el circuito la fuente es de $\dst v_m \sin wt$

Primero reemplazo la fuente sinusoidal por la fuente compleja $\dst v_m {e}^{j wt }$ y aplico KVL

$\dst L \frac{d i}{dt } + R i = v_m {e}^{j wt }$ (1)

La solucion forzada tentativa es : $\dst i = A {e}^{j wt }$

Entonces tengo :

$\dst (L w j + R ) {e}^{ jwt }= v_m {e}^{ jwt }$

$\dst A = \frac{v_m}{L w j + R } = \frac{v_m (R - Lw j)}{R^2 + L^2 W^2 }$

La respuesta i a esta fuente compleja es:

$\dst i = \frac{v_m}{L w j + R } = \frac{v_m (R - Lw j)}{R^2 + L^2 W^2 }{e}^{j wt }$

Puesto que la parte imaginaria de $\dst v_m {e}^{j wt }$ es $\dst v_m \sin wt$, la respuesta a la fuente $\dst v_g = v_m \sin wt$ es:

$\dst i = \frac{v_m (R - Lw j)}{R^2 + L^2 W^2 } \sin wt$

Esta bien?

Gracias

[arivasm]

Re: solucion forzada

Primero los pequeños detalles: en la segunda ecuación que pones falta un A en el lado izquierdo. En la cuarta falta en el segundo miembro un $\ee^{j\omega t}$.

Y ahora vamos con lo gordo. Tu conclusión final es incorrecta (o al menos incompleta) pues das como respuesta un número complejo. Es decir, sólo te cargas la parte imaginaria de la fuente.

Partiré de (que es correcto):

$\dst i = \frac{R - L\omega j}{R^2 + L^2 \omega^2 }v_m\ee^{j wt }$

Como ves tienes el producto de dos números complejos.

Si hacemos $(a+bj)\cdot(c+dj)=(ac-bd)+(ad+bc)j$ vemos que la parte real del producto es $ac-bd$ y que la imaginaria es $ad+bc$. En tu caso, o bien expresas en forma módulo-argumento el factor (que, por cierto, es el inverso de la impedancia del circuito) que antecede a $v_m\ee^{j wt }$, después haces el producto y luego tomas la parte imaginaria del resultado, o bien vamos directamente con $ac-bd$.

Para esto último hay que tener en mente la relación de Euler

$\ee^{j\omega t}=\cos\omega t+j\sin\omega t$

De ese modo, la respuesta es

$\dst i(t)=\frac{v_m}{R^2+L^2\omega^2}\left(R\sin\omega t-L\omega\cos\omega t \right)$

Comentaré que es usual escribir esta respuesta de manera que en vez de esa combinación de seno y coseno se maneje un $\sin(\omega t+\varphi)$ (en este caso $\varphi<0$). Es un poco rollo (pero tampoco es difícil) llegar, a partir de lo anterior a que la forma correspondiente es

$\dst i(t)=\frac{v_m}{\sqrt{R^2+L^2\omega^2}}\sin(\omega t-\varphi)$
$\dst\tan\varphi=\frac{R}{L\omega}$

De todos modos supongo que muy pronto estudiarás la representación fasorial de este tipo de circuitos, y verás que hay maneras muuuucho más rápidas para llegar a respuestas de la forma que acabo de escribir (de hecho lo hice con esos métodos en mente).

[LauraLopez]

Re: solucion forzada

mmmm a ver a la solucion que yo llego para la fuente compleja esa es correcta no? porque vos partis de ese resultado. Luego yo digo que la solucion que me piden es la parte imaginaria de esa solucion que encontre antes, esto que digo porque esta mal? cual es la razon de que esto este mal?

Yo intente hacer exactamente lo mismo que en este otro hilo, solo que en vez de tomar la parte real tomo la parte imaginaria, porque esta mal el razonamiento? http://forum.lawebdefisica.com/threa...s-sinusoidales

[arivasm]

Re: solucion forzada

Fíjate que en el hilo que has citado sí incluiste un desfase en la solución, mientras que aquí no lo has puesto.

[LauraLopez]

Re: solucion forzada

pero eso es porque justo la ecuacion de A la tenia en forma polar....en este caso como la paso a forma polar?

- - - Actualizado - - -

porque va ese desfasaje? yo lo puse porque en un ejemplo parecido del libro lo usa, es alguna propiedad?

- - - Actualizado - - -

Ahi creo que ya me di cuenta de uno de los errores que señalas lo que yo hice fue aplicarle la parte imaginaria solamente a la parte exponencial pero eso seria valido se la parte del coeficiente que multiplica al exponencial seria todo real, pero este no es el caso ( es complejo) entonces por eso debo desarollar el producto y luego tomar la parte imaginaria de todo ese resultado no?

En el otro hilo que cito deberia haber hecho lo mismo si trabajaba con la forma rectangular no? pero como lo pase a forma polar hago eso del desfasaje y es equivalmente no? cual es la propiedad esa que use? porque yo la use como te dije por simple "copiado" de un ejemplo similar del libro.

Si doy como respuesta esta solucion estaria bien? o debo llegar a la ultima que decis?



Si hago como hice en el otro hilo que cito que paso a notacion polar y hago eso del "desfasaje" deberia llegar al mismo resultado? como es este metodo? porque no me sale obtener la notacion polar de este numero y tampoco se como aplicar esta propiedad del desfasaje

Lo unico que logro hacer es que el modulo es :

$\dst \frac{v_m}{\sqrt{R^2 + L^2 w^2} }$

y tambien $\dst \tan \alpha = \frac{ L W}{R }$

[arivasm]

Re: solucion forzada

por eso debo desarollar el producto y luego tomar la parte imaginaria de todo ese resultado no?

Exacto

Si doy como respuesta esta solucion estaria bien? o debo llegar a la ultima que decis?

Aunque son equivalentes, la del desfase tiene un significado físico más claro. Yo te recomendaría la del desfase.

Lo unico que logro hacer es que el modulo es :

$\dst \frac{v_m}{\sqrt{R^2 + L^2 w^2} }$

y tambien $\dst \tan \alpha = \frac{ L W}{R }$

Es posible que me haya equivocado con la tangente del desfase, pues estoy mucho más acostumbrado a manejar la parte real del fasor (que es el nombre que tiene la representación compleja de la magnitud que varía armónicamente) que la imaginaria.

[LauraLopez]

Re: solucion forzada

Creo que no entendiste mi duda , yo te entendi que hay 2 formas de llegar a la solucion, una es la que expresas vos y la otra es usando un desfasaje como en el hilo que cito no? bueno mi pregunta es como hago para llegar de esa forma porque no me sale.... no se como funciona esa propiedad del desfasaje.

Y tampoco entiendo como obtenes esa ultima formula que decis que me conviene obtener

[arivasm]

Re: solucion forzada

No entiendo bien tu pregunta. No sé si te refieres al uso de fasores o a cómo pasar de la forma con seno y coseno a la de desfase. Voy a explicar esta última.

En realidad es algo general, siempre que tengamos $A\cos\alpha+B\sin\alpha$ se podrá escribir como $C\sin(\alpha+\varphi)$ (o como $C\sin(\alpha-\varphi)$).

En nuestro caso partamos de

$$\dst i(t)=\frac{v_m}{R^2+L^2\omega^2}\left(R\sin\omega t-L\omega\cos\omega t \right)$$

Admitamos que se puede escribir como

$$\dst i(t)=A\sin(\omega t-\varphi)$$

Sólo hace falta usar la fórmula del seno de la diferencia

$$\sin(x-y)=\sin x\cos y -\cos x\sin y$$

y comparar con (1).

Desarrollando (3)

$$\dst i(t)=A\cos\varphi\sin\omega t-A\sin\varphi\cos\omega t$$

Luego, al comparar con (1)

$$\dst A\cos\varphi=\frac{v_m}{R^2+L^2\omega^2} R$$

$$\dst A\sin\varphi=\frac{v_m}{R^2+L^2\omega^2} L\omega$$

Si elevamos al cuadrado, sumamos miembro a miembro (para cargarnos el $\varphi$ aprovechando que $\sin^2\varphi+\cos^2\varphi=1$) y volvemos a hacer la raíz cuadrada encontramos que

$$\dst A=\frac{v_m}{\sqrt{R^2+L^2\omega^2}}$$

Por otra parte, si dividimos miembro a miembro (6) entre (5) nos deshacemos del A y nos queda

$$\dst\tan\varphi=\frac{L\omega}{R}$$

[LauraLopez]

Re: solucion forzada

A ver hasta ahora en mi hoja tengo escrita una respuesta que es :



Luego queria preguntarte como hacer para llegar a esta respuesta :




Esta ultima respuesta es media rara....porque decis cuanto vale i(t) y ademas nose porque agregar cuanto valdria el tang de la fase....

La forma de llegar a esta ultiam respuesta es con lo que me indicaste en tu ultimo mensaje? porque es recomendable llegar a esta ultima respuesta? y porque son 2 las formulas? y en tu desarrollo no te queda el mismo resultado que antes sino uno similar ....

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Cuando en tu post 2 pusiste ese resultado habias hecho estos calculos en papel?

- - - Actualizado - - -

la idea del ejercicio es que yo llegue a esta ultima formula con este metodo que das?

[arivasm]

Re: solucion forzada

Luego queria preguntarte como hacer para llegar a esta respuesta :

En mi último mensaje te he contado cómo se llega a todo eso!

Esta ultima respuesta es media rara....porque decis cuanto vale i(t) y ademas nose porque agregar cuanto valdria el tang de la fase....

$\dst i = \mathrm{Im}\left[\frac{R - L\omega j}{R^2 + L^2 \omega^2 }v_m\ee^{j wt }\right]=\frac{v_m}{R^2+L^2\omega^2}\left(R\sin\omega t-L\omega\cos\omega t \right)=$

$$=\frac{v_m}{\sqrt{R^2+L^2\omega^2}}\sin(\omega t-\varphi)$$

con $\varphi$ tal que $\dst\tan\varphi=\frac{L\omega}{R}$

porque es recomendable llegar a esta ultima respuesta?

Porque por una parte nos da el valor de la amplitud de la intensidad, que es algo que se puede medir con un amperímetro (en realidad el amperímetro nos da ese valor dividido por $\sqrt{2}$) y también nos dice qué desfase existe entre la fuente y la intensidad que recorre el circuito. Por ejemplo, el máximo de la intensidad no se produce a la vez que el máximo de voltaje, sino que hay un desfase entre ambos (que se traduce fácilmente a tiempo, sin más que tener en cuenta que [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] equivale a todo un período de la corriente, $T=2\pi/\omega$).

y porque son 2 las formulas? y en tu desarrollo no te queda el mismo resultado que antes sino uno similar ....

Las dos fórmulas es por pura comodidad, sino el resultado es un poco pesado: $\dst i=\frac{v_m}{\sqrt{R^2+L^2\omega^2}}\sin\left(\omega t-\mathrm{arctg}\frac{L\omega}{R}\right)$

Cuando en tu post 2 pusiste ese resultado habias hecho estos calculos en papel?

No. Los hice de cabeza, por eso está mal la expresión del desfase (como te dije, estoy más acostumbrado a manejar partes reales que imaginarias).

la idea del ejercicio es que yo llegue a esta ultima formula con este metodo que das?

Como te dije, vale cualquiera de las tres que he puesto en (1). Lo que sucede es que cada una de ellas pone de relevancia cosas diferentes. La última es la que proporciona más cosas verificables con instrumentación de laboratorio.

[LauraLopez]

Re: solucion forzada

Ahora si entendi bien lo que me querias decir!