Otras carreras fasores?

[LauraLopez]

Escriba una ecuacion diferencial para v(t). Encuentre la solucion forzada.

Bueno este creo que se hace con algo que se llama fasores.

En el libro dice que :

Dada una fuente $\dst A \cos (wt + \phi )$ entonces la fuente compleja es $\dst A {e}^{j (wt + \phi) }$

y dad una fuente $\dst A \sin (wt + \phi)$ entonces la fuente compleja es $\dst A {e}^{j (wt + \phi - 90) }$

Asi que usando esos datos reemplazo las fuentes por :

$\dst 10 {e}^{j 2000 t }$ y

$\dst 2 {e}^{j (2000t - 90) }$

Eso estaria bien?

Luego como puedo seguir? tengo que encontrar una ecuacion diferencial de segundo orden para la v no? no logro hacer esto....

Por ejemplo tomo la malla izquierda y asumo una corriente i circulando en sentido horario, de ser asi obtengo :

$\dst \frac{d i}{dt } + \frac{1}{RC } i + \frac{d v_c(0)}{dt } = 20000 j {e}^{j 2000 t }$

Esa ecuacion esta bien? aunque tengo que llegar a una ecuacion para v y no para i....

Para saber cuanto vale la derivada de v_c (0) debo analizar si el circuito esta en estado estacionario en t= 0- no? o sea debo tambien analizar el circuito en ese estado?

[arivasm]

Re: fasores?

Quizá se pueda enfocar así: tomemos la intensidad en el condensador hacia la derecha y las intensidades en la resistencia y la inducción hacia abajo. Usaré un subíndice g para denotar los generadores. Tenemos que

$$i_C+I_g=i_R+i_L$$

Por otra parte

$$V_g=v_c+v$$

y las ecuaciones de los elementos

$\dst i_c=\frac{\dd v_c}{\dd t}=\frac{\dd V_g}{\dd t}-\frac{\dd v}{\dd t}$

$$v=i_R R$$

$\dst v=L\frac{\dd i_L}{\dd t}$

Ahora se trata de combinar todo eso, quedándose sólo con la v. Si derivas (1) y haces las substituciones (3) sale directamente. Por supuesto, donde puse $V_g$ e $I_g$ hay que poner los fasores que has escrito.

- - - Actualizado - - -

Añado: $v_c(0)$ sería un valor muy concreto, el del la tensión en el condensador en t=0. Por tanto, su derivada sería 0 (pues es la derivada de un número). La ecuación que pones no me tiene buen aspecto.

Con respecto al estado estacionario, con fuentes oscilantes es imposible que el circuito lo esté. Olvídate de ello.

De hecho, el ejercicio sólo te pide la solución forzada. Las constantes de integración te aparecerían en la solución libre, que sería la que necesitaría de las condiciones iniciales. Así pues, no necesitas saber nada del instante t=0. Bastará con que pruebes una solución de la forma $v=A\ee^{j\omega+\phi}$ y encuentres la constante compleja A (con la que luego podremos encontrar un fasor para $v$).

[LauraLopez]

Re: fasores?

Haciendo eso que me decis llego a la siguiente ecuacion diferencial :

$\dst \frac{{d}^{2 } v}{d t^2 } + \frac{1}{RC } \frac{d v}{d t } + \frac{1}{LC } v = - \notcien{40}{6}{e}^{j 2000t } + \frac{\notcien{40}{3} j}{C } {e}^{j (2000t - 90 ) }$ = $\left( - \notcien{40}{6} + \frac{\notcien{40}{3} j}{C } {e}^{- j 90 }\right){e}^{j 2000 t }$

Esta bien esa ecuacion diferencial?

Ahora como continua el ejercicio? Creo que tendria que encontrar una solucion tentativa para v pero nose como puede ser la solucion tentativa para todo ese termino forzado...no aparece en la tabla.

No estoy segura pero creo que la solucion tentativa seria $\dst v = A {e}^{j 2000 t }$ pero no estoy segura porque ademas vos pusiste un termino de fase en tu post anterior

En caso que la solucion tentativa esa sea correcta ( ya me lo confirmaras ) llamo w= 2000 y reemplazo en la ecuacion diferencial y llego a que :

$\dst - A w^2 + \frac{A w j}{RC } + \frac{A}{LC } = -10 w^2 + \frac{2 w j}{C } {e}^{-90 j }$

No confio mucho en que tengas las cosas bien... si alguien me ayuda a verificar y a seguir con esta cuenta... en especial el exponencial nose como reemplazarlo

PD: otra duda que tengo es que cuando empece el ejercicio reemplace las fuentes reales por fuentes complejas, porque se hace esto? yo lo hice porque asi figuraba un ejemplo en el libro....Al cambiar la fuente no estoy cambiando la solucion que encuentro?

[arivasm]

Re: fasores?

Hay una simplificación que te puede ser cómoda para este tipo de ejercicios. Ten en cuenta que [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] . Por tanto, o bien ya de entrada escribes para el fasor de la fuente de intensidad $\hat I_g=-2j\ee^{2000 j t}$ o bien donde has escrito [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] puedes poner directamente $-j$.

Por cierto, debido a la confusión entre grados y radianes que te comenté en algún otro lugar, te aconsejo que seas cuidadosa a la hora de escribir los grados, pues, por ejemplo, en rigor lo último que escribí sería $\ee^{-j\frac{\pi}{2}}=-j$. Para poner en LaTeX el símbolo de º hay que usar \º.

Con respecto a la ecuación diferencial, la confirmo. Eso sí, con lo que te acabo de contar, el lado derecho se vuelve mucho más cómodo que lo que has escrito, pues es $\dst \notcien{3,96}{9}\ee^{2000 j t}$.

Por cierto, fíjate que el término debido al generador de corriente se "merienda" al término procedente del generador de tensión. Lo digo porque es muy posible que la amplitud (el módulo) de v pueda tener poco que ver con los humildes 10 V del generador de tensión (¿seguro que son 10 V?).

Por último, en relación con la solución tentativa y la existencia de desfases tienes dos posibilidades: o bien usas como solución tentativa $v=\rho\ee^{j (2000 t+\varphi)}$, con un $\rho$ real, y finalmente desarrollas las exponenciales teniendo en cuenta que $\ee^{j\alpha}=\cos\alpha+j\sin\alpha$ (no te recomiendo que uses esta vía) o algo mucho más cómodo: manejas $v=A\ee^{2000 j t}$ con A complejo; una vez que lo tengas determinado, los expresas en forma polar, $A=\rho\ee^{j\varphi}$; de esa manera el resultado final será $v=\rho\ee^{j\varphi}\ee^{2000 j t}=\rho\ee^{j(2000 t+\varphi}$. Verás que este segundo camino es completamente equivalente al primero, pero más sencillo, debido a que los factores $\ee^{2000 j t}$ se pueden simplificar.

Yo obtengo, en un cálculo un tanto apresurado, [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] , con lo que el fasor de la solución sería [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] y la solución sería [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] .

[LauraLopez]

Re: fasores?

Primero que nada permitime volverte a preguntar el porque si comiendo reemplazando la fuente por una compleja luego llego al resultado pedido? si reemplazo la fuente por una compleja no deberia despues quedarme con la parte real de la solucion que obtenga?

O sea el ejercicio me pide encontrar la solucion forzada, lo que yo hago es encontrar una solucion forzada pero a una fuente compleja, ese es el resutlado final? o debo tomar la parte real de esta solucion?

Luego sigo teniendo problemas con las cuentas en numeros complejos , te pongo mas detallado mis resultados parciales a ver si me podes ayudar con las cuentas.

Voy a usar el valor w= 2000 en lugar de poner el numero 2000 para que sea mas facil las cuentas:

La ecuacion diferencial es :

$\dst \frac{{d}^{2 } v}{d t^2 } + \frac{1}{RC } \frac{d v}{dt } + \frac{1}{LC } v = \left( -10 w^2 + \frac{2w}{c }j {e}^{-90 j }\right) {e}^{jwt }$

La solucion forzada tentativa es : $\dst v = A {e}^{j wt }$

Las derivadas son :

$\dst \frac{d v}{dt } = A w j {e}^{jwt }$

$\dst \frac{{d}^{2 }v}{d t ^2} = - A w^2 {e}^{j wt }$

Reemplazo la solucion en la ecuacion diferencial y tengo :

$\dst - A w^2 {e}^{j wt } + \frac{A w}{RC } j {e}^{j wt } + \frac{A}{LC } {e}^{j wt } = \left( -10 w^2 + \frac{2 w}{c } j {e}^{-90 j }\right) {e}^{j wt }$

$\dst A (\frac{w j}{RC } + \frac{1}{LC } - w^2) = -10 w^2 + \frac{2 w}{c }$

$\dst A = \frac{-10 w^2 + \frac{2 w}{c }}{ \frac{w}{RC }j + \frac{1 - LC w^2}{LC }} = \frac{\notcien{3,96}{9}}{\notcien{2}{6}j -\notcien{3}{6} }$

Hasta ahi llego y luego nose como continuar.... tengo bien hasta ahi? como haces para hacer esa cuenta y dejar el resultado en la forma polar exponencial?

Si paso el denominador a forma polar tengo que : $\dst {\notcien{3,60}{6}}_{-33,7 \° }$

El numero del numerador es real y el del denominador es complejo, no se como dividir un real con un complejo

PD: si el valor de la fuente es 10

[arivasm]

Re: fasores?

si reemplazo la fuente por una compleja no deberia despues quedarme con la parte real de la solucion que obtenga?

Como la fuente original, $A\cos(\omega t+\phi)$ la has representado por una exponencial compleja, cuya parte real es dicha fuente, una vez que resuelves el ejercicio debes quedarte con la parte real.

Si la fuente original tuviese forma seno (y recordemos que sumando o restando 90º podemos pasar de senos a cosenos y viceversa), su relación con la representación compleja será que la original es la parte imaginaria de ésta. Por tanto, al final habría que tomar la parte imaginaria de la solución.

En resumen, en este caso tienes que tomar finalmente la parte real.

$\dst A = \frac{\notcien{3,96}{9}}{\notcien{2}{6}j -\notcien{3}{6} }$

Hasta ahi llego y luego nose como continuar.... tengo bien hasta ahi? como haces para hacer esa cuenta y dejar el resultado en la forma polar exponencial?

Si paso el denominador a forma polar tengo que : $\dst {\notcien{3,60}{6}}_{-33,7 \° }$

El numero del numerador es real y el del denominador es complejo, no se como dividir un real con un complejo

Antes de nada: cuidado con el argumento de los números complejos, pues siempre habrá dos ángulos a los que corresponda la misma tangente, y que se diferencian en 180º. Por tanto, debes mirar en qué cuadrante está el número complejo. En concreto: tu denominador, prescindiendo del 10^6 que podrías simplificar con el 10^9 del numerador, es -3+2j. Por tanto, es un complejo que está en el 2º cuadrante y entonces su argumento podría no ser el número que te de la calculadora cuando escribas "ATAN(-2/3)", que veo es -33,7º, sino 180º-33,7º=146,3º.

Sobre la división: recuerda que al dividir dos complejos en forma polar divides sus módulos y restas sus argumentos. Por otra parte, un número real positivo es un complejo con argumento 0. Conclusión (permíteme que no use el LaTeX para acabar antes): 3960 / (-3+2 j) = 3960(0) / 3,60(146º) = 1098(-146º)

[LauraLopez]

Re: fasores?

A ver haciendo esas cuentas que me decis llego a que

$\dst A= 1098 {e}^{-j 146 }$

Entonces tenemos

$\dst v_1= (1098{e}^{-j 146 } {e}^{j2000 t }) = 1098 {e}^{j (2000t - 146) }$

El ejercicio me pide la respusta forzada, con eso ya estaria?

O tengo que decir tambien cuanto vale el fasor ? Cuanto seria loque vale el fasor? el fasor que llamare V es lo que me dio A ?

O sea Fasor $\dst V = A = 1098 {e}^{-j 146 }$ seria asi?

O ademas ahora tengo que aclarar que la solucion forzada es la parte real de esa v de antes?

O sea si a la anterior le llame solucion forzada como se le llama a esta segunda solucion forzada que es la parte real de la anterior?

que seria $\dst v = 1098 \cos (2000 t - 146)$

v_1 seria la solucion compleja y creo que deberia llamar v a la parte real de la solucion a v_1

[arivasm]

Re: fasores?

La solución forzada, que es lo que te piden, es la que escribes para la parte real, con el coseno. El fasor que representa esa solución no será A, sino [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] (por cierto, no sé por qué quieres llamarle v_1 a esta cantidad, cuando es $\hat v$ directamente).

[LauraLopez]

Re: fasores?

mmmm y pero tengo que distinguir v_1 de v o no? porque no son lo mismo, v es cuando habia fuentes reales y v_1 seria cuando habian fuentes complejas o no? y no entiendo porque el fasor vale eso que vos decis, yo tenia entendido que el fasor es el coeficiente que acompaña a la exponencial

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lo que vos le llamas fasor no es la solucion a la ecuacion forzada directamente? el fasor no es eso sino que el fasor es el coeficiente de la solucion forzada o entendi mal el concepto? asi lo dice el libro...

Siguiendo la notacion de mis apuntes para mi seria asi :

La ecuacion diferencial que pongo seria usando v_1 y del lado derecho una fuente compleja ,quedaria :

$\dst \frac{{d}^{2 } v_1}{d t^2 } + \frac{1}{RC } \frac{d v_1}{d t } + \frac{1}{LC } v_1 = \left( - 10 w^2 + \frac{2 w}{c } j {e}^{ - 90 j}\right) {e}^{jwt }$

Donde digo que la solucion forzata tentativa es $\dst v_1 = A {e}^{j wt }$

Reemplazo la solucion en mi ecuacion diferencial y llego a que :

$\dst A = 1098 {e}^{-j 146 }$

Entonces tenemos
$\dst v_1 = (1098 {e}^{ - j 146}) {e}^{j 2000 t } = 1098 {e}^{j (2000t - 146 ) }$

La representacion del fasor de $v_1$ es $\dst V = 1098 {e}^{-j 146 }$ ( esa V iria con negriga pero nose como poner negrita )

y Finalmente la respuesta forzada de v ( que es lo que me piden ) diria que es :

$\dst v= 1098 \cos (2000t - 146 )$

Te parece que asi esta bien? o sigo haciendo algo mal?

[arivasm]

Re: fasores?

Tienes razón: he estado confundiendo la "representación fasorial" de una magnitud que es, p. ej., [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] , con el "fasor", que sería el factor [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] .

Lo que pones finalmente es correcto.