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[LauraLopez]

Escriba la ecuacion diferencial de segundo grado que describe el sieguiente circuito. Reescriba en terminos del fasor I, y luego para la respuesta forzada i(t).


Por sino se aprecia en la imagen la fuente vale $\dst 12 \cos 2000 t$ , R = 2 K

Primero reemplazo la fuente por la fuente compleja $\dst V_g = 12 {e}^{j wt }$ con w= 2000

Aplico KVL:

$\dst v_c + v_L + v_R = V_g$

$\dst \frac{1}{C } \int_0^t i(t) dt + v_c(0) + L \frac{d i}{ dt} + R i = V_g$

Derivo y tengo

$\dst \frac{1}{C } i + \frac{d v_c(0)}{dt } + L \frac{{d}^{2 } i}{ d t^2 } + R \frac{d i}{ d t} = 12 w j {e}^{j wt }$

Esta bien esa ecuacion diferencial?

con esto $\frac{d v_c(0)}{dt }$ que hago? asumo que vale cero porque hay estado estacionario? o no porque me dijisteque en fuentes sinusoidales no hay estado estacionario?

[arivasm]

Re: Fasor en circuito

con esto $\frac{d v_c(0)}{dt }$ que hago? asumo que vale cero porque hay estado estacionario?

Te lo aclararé con un ejemplo: Imagínate la función $f(t)=3t^2+1$, si escribo f(0) me estoy refiriendo al valor de la función para t=0, es decir, f(0)=1, y la derivada de 1 es 0.

La derivada de $v(0)$ es cero. Pero por esa razón, no tiene nada que ver con la posibilidad (que no hay en este caso) de estado estacionario.

En general, cuando derives una integral respecto de la variable que aparece en su límite superior el resultado es el integrando, directamente.

La ecuación diferencial es correcta (una vez que elimines esa fea e innecesaria derivada de v(0)).

[LauraLopez]

Re: Fasor en circuito

esta bien y lo que estoy haciendo cno la fuente esta bien? eso de cambiarla por una compleja que luego derive ya que tuve que derivar el lado izquierdo de la ecuacion

Ordenadno un poco la ecuacion diferencial que me queda es :

$\dst \frac{{d}^{2 } i}{d t^2 } + \frac{R}{L } \frac{d i}{dt } + \frac{1}{LC } i = 12 w j {e}^{j wt }$

Me cuesta darme cuenta de cual sera la solucion tentativa a esta ecuacion..... cual es la regla general para saber esto?

[arivasm]

Re: Fasor en circuito

Haz lo que te comenté en otro hilo: usa como solución tentativa $A\ee^{j\omega t}$, con un A complejo.

Con respecto a la regla general para esto, procede de las ecuaciones diferenciales lineales no homogéneas con coeficientes constantes, que es el tipo al que pertenecen las que estás resolviendo. Lo que tus apuntes llaman solución forzada se llama solución particular, y la regla es usar como solución tentativa una que tenga la forma (pero no los mismos coeficientes) que lo que aparezca al lado derecho; si es un polinomio de grado n, entonces un polinomio de grado n; si es una combinación de exponenciales, entonces una combinación de las mismas exponenciales; si es una combinación de funciones trigonométricas, entonces una combinación de funciones trigonométricas.

De todos modos, hay que tener cuidado con los casos en los que aparezcan exponenciales o funciones trigonométricas con coeficientes en el tiempo que sean iguales a alguna de las raíces de la ecuación característica, como ya vimos en algún otro hilo (entonces hay que usar como solución tentativa la misma de antes, pero multiplicada por un $t^s$ con un s adecuado), y en el caso de los senos y cosenos tener la prudencia de que si sólo aparece uno de ellos (por ejemplo, sólo coseno) incluir también el otro en la tentativa (es decir, usar una combinación de seno y coseno).

Terminaré con un comentario relativo a la notación. Es bastante común distinguir las magnitudes de sus fasores indicando éstos con un circunflejo. Así, por ejemplo, $i$ podría denotar una intensidad, mientras que su fasor se indicaría como $\hat\imath$. Por tanto, revisa tu libro al respecto y si se usa esa notación, cuando manejes la ecuación diferencial en complejos, y entonces usando fasores, escribe la i con su circunflejo.

Fíjate que el enunciado te pide que escribas la ecuación diferencial de dos maneras. Una es la que pones

$\dst \frac{\dd^2\hat\imath}{\dd t^2 } + \frac{R}{L } \frac{\dd \hat\imath}{\dd t } + \frac{1}{LC }\hat\imath = 12\omega j \ee^{j \omega t }$

La otra será

$\dst \frac{\dd^2 i}{\dd t^2 } + \frac{R}{L } \frac{\dd i}{\dd t } + \frac{1}{LC }i = -12\omega \sin(\omega t)$

donde el lado derecho lo puedes ver como la parte real del complejo $Re\left[12\omega j \ee^{j \omega t }\right]=-12\omega Im\left[\ee^{j \omega t }\right]$, o simplemente como la derivada de $12\cos\omega t$.

[LauraLopez]

Re: Fasor en circuito

mmm nose si te entendi que me pide el enunciado? porque no comprendo bien lo que pide, con respecto a los fasores mi libro los identifica con una letra en mayuscula y negrita.

La ecuacion que puse yo cual seria? yo use una i comun, asi que supongo que esa i es la corriente no mas no? y del lado derecho lo que puse esta bien? en la ecuacion que pusiste voscon la i comun del lado derecho pusiste otra cosa y nose porque



que significa reescribir en terminos del fasor I ? y eso que dice de luego para la respuesta forzada i(t)?

El enunciado dice " Escriba una ecuacion diferencial que describa el circuito" esa ecuacion seria la que yo puse? o sea usando una letra " i" y usando la fuente compleja esa en la derecha?

Luego cuando dice que reescriba en terminos del fasor I , tengo que encontrar cuanto vale I ? o tengo que reemplazar la i por una I en mi ecuacion diferencial sin calcular el valor de I ? y en el lado derecho cual es la diferencia?

por ultimo cuando el enunciado dice " luego para la respuesta forzada i(t)? que tengo que hacer para responder esta parte del enunciado? Resolver ambas ecuaciones diferenciales? la solucion tentativa que me dijiste para cual de las 2 ecuaciones diferenciales es?

Hay alguna relacion entre estas 2 ecuaciones diferenciales?

- - - Actualizado - - -

PD: en el otro hilo que mencionas donde tambien encuentro la ecuacion diferencial ahi hice bien? o tengo algo mal? porque yo use una v comun , no una V mayuscula como se en ese caso cual de las 2 ecuaciones diferenciales que e decis que hay deberia usar? lo hicie bien de casualidad?
En ejemplos del libro veo que si tiene un circuito donde tiene que encontrar la ecuacion diferencial para "i" lo que hace es pasar las fuentes a complejas y la ecuacion diferencial que escribe aparece en funcion de "i_1" o sea en el ejercicio del otro hilo deberia cabiar la letra v por la letra v_1 para que quede bien? ahi hago el cambio y me decis si seria correcto o no

[arivasm]

Re: Fasor en circuito

Pues entonces, donde yo pongo letras con circunflejo ponlas en mayúsculas y con negrita. En todo caso, conviene que distingas los fasores de las magnitudes que representan.

En consecuencia, la ecuación diferencial que describe el circuito es $\dst \frac{\dd^2 i}{\dd t^2 } + \frac{R}{L } \frac{\dd i}{\dd t } + \frac{1}{LC }i = -12\omega \sin(\omega t)$ y su reescritura en fasores $\dst \frac{\dd^2 {\boldmath I }}{\dd t^2 } + \frac{R}{L } \frac{\dd {\boldmath I}}{\dd t } + \frac{1}{LC }{\boldmath I} = 12\omega j \ee^{j \omega t }$ (con la I en negrita).

Para encontrar la respuesta forzada debes resolver o bien la primera ecuación diferencial que acabo de escribir (y entonces la tienes directamente) o bien la ecuación diferencial fasorial, en cuyo caso obtendrás el fasor de la respuesta forzada que, al tomar su parte real, te dará la respuesta forzada. Yo te recomiendo este segundo procedimiento.

[LauraLopez]

Re: Fasor en circuito

El enunciado me pide la ecuacion diferencial del circuito, aca coincido que debo poner :



Luego me dice " Reescriba en terminos del fasor I " donde I yo entiendo que es el fasor, pero como hago para reescribirlas en terminos de I si nose cuanto vale I ? es solo reeplazar la i por una I ? y del lado derecho poner la fuente compleja?

DOnde I es el fasor que segun mis apuntes seria el numero complejo que multiplica a $\dst {e}^{j wt }$

La ecuacion diferencial en terminos del fasor I para mi seria :

$\dst \frac{{d}^{2 } i_1}{ d t^2 } + \frac{R}{L } \frac{d i_1}{dt } + \frac{1}{LC } i_1 = 12 w j {e}^{j wt }$

y la solucion forzada es $\dst i_1 = A {e}^{j wt }$ ? donde A = I

Es medio confuso esto porque asi como digo yo la estoy reescribiendo en terminos de i_1 y no en terminos de I , pero bueno pasa que I=A , creo que estaria mal decir que I es igual a lo que llame i_1 porque segun los apuntes que puse en el otro post un fasor I es un numero complejo que multiplica a la exponencial....NO es la solucion forzada completa.

Y mas alla de todas estas dudas que ya me diras como hacer igualmente voy a tener que resolver la ecuacion diferencial y encontarr el valor de A al hacer esto llego a que :

$\dst A = \frac{ 12 w j}{ \frac{1 - w^2 L C}{LC } + \frac{R w}{L } j } = \frac{\notcien{24}{3} j }{- \notcien{3}{6} + \notcien{4}{6} j } = \frac{24j}{{- \notcien{3}{3} + \notcien{4}{3} j } }$

y aca nose como realizar esa division...como sea pasa el numero 24 j a polares? creo que deberia pasar ambos a polares, no ?

El denominador pasado a polares seria :

$\dst {\notcien{5}{3}}_{- 53,13 }$

y aca deberia pasar esos grados a positivos como hicimos en otro hilo? si es asi seria

$\dst {\notcien{5}{3}}_{126,87 }$

Pero nose que hacer con el numerador para luego hacer la division

[arivasm]

Re: Fasor en circuito

Teniendo en cuenta la distinción entre representación fasorial y fasores, la ecuación que escribí yo sería la correspondiente a la representación fasorial: $\dst \frac{\dd^2 \hat i}{\dd t^2 } + \frac{R}{L } \frac{\dd \hat i}{\dd t } + \frac{1}{LC }\hat i = 12\omega j \ee^{j \omega t }$. Si ahora escribimos lo mismo, pero metiendo en juego el fasor, es decir, haciendo $\hat i = I \ee^{j\omega t}$, la ecuación para el fasor será $\dst -\omega^2 I + j \frac{R}{L} \omega I + \frac{1}{LC} I=12\omega j$, es decir, $\dst I\left(\frac{1}{LC} -\omega^2 + j \frac{R\omega}{L}\right)=12\omega j$

Con respecto al numerador, será $24 j=24_{90^{\circ}}$

[LauraLopez]

Re: Fasor en circuito

no entendi como es entonces.. cual es la diferencia entre fasor y representacion fasorial entonces? fasor es lo que yo decia que es? y lo otro que nombras que es? la ecuacion que debo reescribir es en terminos de la I mayusucula? o sea lo que yo llamo fasor?

- - - Actualizado - - -

la ecuacion que escribi yo usando esa notacion de i_1 porque esta mal?

- - - Actualizado - - -

Sigo sin entender que me pide el ejercicio y que es eso cuando dice que tambin la respuesta forzada i(t). Como llegas a esa ecuacion que pones? y porque hay que llegar a esa ecuacion?

Cuando pones esto : eso es lo que yo llamo i_1 que es la solucion forzada? y en lugar de esa letra I no va una A ?

[arivasm]

Re: Fasor en circuito

La representación fasorial incluye la dependencia con el tiempo en la fase, por eso lleva la $\omega t$. Creo que es lo que tú pones con un subíndice 1.

El fasor lo puedes designar con la letra que quieras. Yo he usado la I (en realidad quería poner I, pero veo que no funciona el comando LaTeX /mathbold) por lo que me has dicho de que en tu libro representan el fasor con la misma letra que la magnitud, pero en mayúsculas y negrita. Pero si prefieres usar A, úsala.

Con respecto a tu pregunta de por qué escribí así la ecuación para la respuesta forzada yo interpreté el enunciado "Escriba la ecuacion diferencial de segundo grado que describe el sieguiente circuito. Reescriba en terminos del fasor I, y luego para la respuesta forzada i(t)" como que había que escribir una ecuación diferencial para i(t) (es decir, para una función real).

[LauraLopez]

Re: Fasor en circuito

A ver creo que no exprese bien mis dudas..asi que te pregunto de nuevo , hasta ahora en mi hoja lo que tengo hecho es :

Primero encuentro una ecuacion diferencial de segundo orden ( que es lo que me piden ) esta es la ecuacion diferencial de i que ya habiamos comentado antes.



LUego quiero responder la parte del enunciado que pide " Reescriba en terminos del fasor I " y esto es lo que nose como hacer.....

Lo que yo hice fue decir que ahora cambio la fuente por una compleja y escrbi una ecuacion diferencial que es :

$\dst \frac{{d}^{2 } i_1}{d t^2 } + \frac{R}{L } \frac{d i_1}{d t } + \frac{1}{LC } i_1 = 12 w j {e}^{ jwt}$

La solucion forzata tentativa es : $\dst i_1 = I {e}^{j wt }$

Entonces mi pregunta es eso que puse esta bien? con esa ecuacion diferencial no estoy respondiendo lo que me pide el ejercicio? porque? y como hago entonces para responder lo que me piden? El enunciado me pide una ecacuacion diferencial de segundo orden pero que en lugar de i_1 sea en terminos de I? es esto posible?

Primero debo saber que tipo de respuesta se espera cuando el enunciado dice " Reescriba en terminos del fasor I"
Yo interpreto que tengo que encontrar una ecuacion diferencial donde este esta letra no? o sea algo asi como :

$\dst \frac{{d}^{2 } I}{d t^2 } + \frac{R}{L } \frac{d I}{d t } + \frac{1}{LC } I = .....$

y pongo puntos suspensivos porque nose que iria del lado derecho del igual. Una ecuacion asi debo dar como respuesta? como puedo encontrar esa ecuacion entonces? No entiendo si vos interpretaste eso mismo u otra cosa, porque no coprendo esa ecuacion que vo das de donde sale y que ademas no es una ecuacion diferencial de segundo orden .... me refiero a esa ecuacion :



y por ultimo cuando el enunciado dice ..." y luego para la respuesta forzada i(t) " Aca tampoco entiendo que pretende el enunciado que de como respuesta.

[arivasm]

Re: Fasor en circuito

...escrbi una ecuacion diferencial que es :

$\dst \frac{{d}^{2 } i_1}{d t^2 } + \frac{R}{L } \frac{d i_1}{d t } + \frac{1}{LC } i_1 = 12 w j {e}^{ jwt}$

La solucion forzata tentativa es : $\dst i_1 = I {e}^{j wt }$

Entonces mi pregunta es eso que puse esta bien? con esa ecuacion diferencial no estoy respondiendo lo que me pide el ejercicio? porque?

I sería el fasor. La ecuación para el fasor, que no será una ecuación diferencial, sino una ecuación en números complejos, es la que resulta al substituir la solución tentativa en la ecuación diferencial que has puesto, y quedarte con la ecuación para I.

no coprendo esa ecuacion que vo das de donde sale y que ademas no es una ecuacion diferencial de segundo orden .... me refiero a esa ecuacion :

Haz la substitución. Por ejemplo, $\dd i_1/\dd t=-j\omega I\ee^{-j\omega t}$.

y por ultimo cuando el enunciado dice ..." y luego para la respuesta forzada i(t) " Aca tampoco entiendo que pretende el enunciado que de como respuesta.

Si se trata de escribir una ecuación diferencial sería la que pones en primer lugar en tu post. Lo que me extraña es que no te pidan la solución.

[LauraLopez]

Re: Fasor en circuito

que confusion... entonces cuando dice " reescriba para el fasor I " no me pide una ecuacion diferencial para I? sino que la respuesta a esto es :

Escribo la ecuacion diferencial que puse antes con i_1 y luego reemplazo i_1 por lo que vale la solucion tentativa y de ahi despejo I, esa seria la ecuacion que me piden ?

Y cuando el enunciado dice , " luego para la respuesta forzdada i(t) " no te enntendi que me decis que tengo que dar aca como respuesta. la ecaucion de i(t) ? pero eso no era la respuesta a la parte que decis " Escriba una ecuacion diferencial de segundo orden que describa el circuito"?


El enunciado es como que esta dividio en 3 partes :

1) Escriba la ecuacion diferencial de segundo orden que describe el circtuio.

La forma de resolver esto es : aplique KVL y llegue a la formula:



Esto esta bien ?

2) Reescriba en terminos del fasor I

Aca lo que escribi en mi hoja para resolver esto es :

Reemplazo la fuente real por una fuente compleja.



la solucion forzada tentativa es : $\dst i_1 = I {e}^{j wt }$

Reemplazo en la ecuacion diferencal y tengo :

(reescrita en terminos del fasor I )

Esto esta respondiendo esta parde del enunciado?

3) y luego para la respuesta forzada i(t)

Aca no puse nada todavia en mi hoja porque nose que poner. Aca no tendria que resolver el ejercicio? o sea encontrar la i(t) ? que seria la parte real de la i_1(t) y para lo cual debo antes encontrar cuando vale el fasor I .

Seria $\dst I = \frac{24 j}{\notcien{-3}{3} + \notcien{4}{3} j }$

y aca debo pasar los numeros a polares no? cuando paso el denominador me da un angulo negativo (-53,13 °) debo hacer 180 - 53,13 ? o lo dejo asi negativo ese angulo?

El numerador en polar es : $\dst {24}_{90\° }$

El denominador en polar es : $\dst {\notcien{5}{3}}_{-53,13 \° } = {\notcien{5}{3}}_{126,87 \° }$

Permitime aca tambien pedirte que me ayudes a verificar las cuentas porque siempre fallo en algo...

en definitiva obtengo que el fasor I es $\dst I = {\notcien {4,8}{-3}}_{- 36,87 \° }$

luego $\dst i_1(t) = I {e}^{j wt } = \notcien{4,8}{-3} {e}^{j (2000t - 36,87 \°) }$

y la ecuacion i(t) que es la que creo que me piden para esta parte seria $\dst i(t) = Re (i_1(t))$

Asi que mi duda es si las partes 1 y 2 estan bien y que va en la parte 3 , y en caso de que no vaya esa solucion que digo igual estaria bueno hacerla para practicar mas estos temas y ya me diras que pongo en la parte 3 entonces.

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[arivasm]

Re: Fasor en circuito

Creo que tu interpretación del enunciado es correcta. Los resultados que pones también. Complétala con $i(t)=\notcien{4,8}{-3} \cos(2000t - 36,87 \°)$