1r ciclo Problema magnetostática

[bollit0]

Buenas!

Estudio ing. telecomunicaciones y el profesor nos ha planteado el siguiente problema: Una corriente I fluye longitudinalmente en dirección -\hat{k} por una lámina conductora delgada y muy larga de anchura w, apoyada sobre el eje XZ. Determine la densidad de flujo magnético B en el punto P(0,d).

He estado mirando algunos libros(aparte de mis apuntes claro xD) y utilizando como referencia un hilo conductor de longitud "infinita" no soy capaz de sacarlo, y en la lámina me encuentro con el problema de una integral con superficie también infinita...

No sé como sacar el campo magnético en un punto r creado por una lámina en la que circula una corriente, simplemente si me ayudáis a averiguar eso creo que podría sacar el resto,

Gracias de antemano!

[arivasm]

Re: Problema magnetostática

Y por qué no usar la ley de Ampère: http://forum.lawebdefisica.com/threads/18473-Duda-en-berkeley-purcell-sobre-campo-de-una-l%C3%A1mina

Edito: al ser una lámina de anchura finita, la ley de Ampère no es una vía adecuada para llegar al resultado.

[Breogan]

Re: Problema magnetostática

Hola:

Yo creo creo que el problema se puede encarar como insinúas en tu post.

Me tome la libertad de hacer un pequeño esquema para interpretar el enunciado, espero que bien.

La ecuación del campo magnetico producido por una linea de corriente que transporta una corriente diferencial, indicada en el dibujo con una linea roja, esta dada por:

$\dst d\vec B=\frac {\mu_0} {2 \pi}\ \frac {dI}{\left\vert{} \vec r \right\vert{}}\ \hat u_B$

y el campo total sera la suma de la contribución de cada elemento de corriente a este, es decir:

$\dst \vec B=\int d \vec B$

$\dst \vec B=\frac {\mu_0} {2 \pi}\ \int_{-w/2}^{w/2} \ \frac {dI}{\left\vert{} \vec r \right\vert{}}\ \hat u_B$

Ahora hay que averiguar cada uno de los elementos de la integral.

Como r es:

$\dst \vec r=-x\ \hat i+d\ \hat j$

su modulo es:

$\dst \left\vert{} \vec r \right\vert{}=\sqrt{d^2+x^2}$

donde x es la coordenada del elemento de corriente

el vector normal a r, en la direccion del campo B dado por la regla de la mano derecha, es:

$\dst \vec u_B=-d\ \hat i-x\ \hat j$

por lo cual queda:

$\dst \hat u_B=\frac {\vec u_B}{\left\vert{} \vec u_B \right\vert{}}=\frac 1 {\sqrt{d^2+x^2}} \left[-d\ \hat i-x\ \hat j \right]$

$\dst \hat u_B=-\frac {d} {\sqrt{d^2+x^2}}\ \hat i-\frac {x} {\sqrt{d^2+x^2}}\ \hat j$

y la integral queda:

$\dst \vec B=\frac {\mu_0} {2 \pi}\ \int_{-w/2}^{w/2} \ \frac {dI}{\sqrt{d^2+x^2}}\ \left[-\frac {d} {\sqrt{d^2+x^2}}\ \hat i-\frac {x} {\sqrt{d^2+x^2}}\ \hat j \right]$

Por cuestiones de simetría, las componentes del campo magnético sobre el versor j para el punto de análisis se deben anular, por lo cual:

$\dst \vec B=-\frac {\mu_0\ d} {2 \pi}\ \int_{-w/2}^{w/2} \ \frac {dI}{d^2+x^2}\ \hat i$

Lo único que falta averiguar es el dI.
Acá, y a esta hora, hago agua; la distribución de corriente no va a ser uniforme, debido a la influencia del campo B sobre los elementos de corriente que circulan por el conductor.

Creo que en primera aproximación podemos decir que la distribución de corriente es uniforme, es decir:

$\dst \frac {dI}{dx}=K=cte.$

$\dst dI=K\ dx$

$\dst I=\int_{-w/2}^{w/2}\ dI=K\ \int_{-w/2}^{w/2}\ dx=K\ \left[ \frac w 2- \left( -\frac w 2 \right) \right]$

Por lo cual $K=I/w$, y sera:

$\dst dI=\frac I w\ dx$

y la integral queda:

$\dst \vec B=-\frac {\mu_0\ d\ I} {2 \pi\ w}\ \int_{-w/2}^{w/2} \ \frac {dx}{d^2+x^2}\ \hat i$

Si no me equivoque por aca pueden ir los tiros. Igual habría que ver si se puede resolver con una distribución de la corriente que no sea uniforme, mas parecido a una situación real.

No hace falta decirlo, pero se aceptan sugerencias y/o ayudas.

s.e.u.o.

Suerte

Nota: aunque en el dibujo la lamina posee un cierto espesor, para los cálculos este se considera totalmente despreciable frente a las otras dimensiones de la lamina

[arivasm]

Re: Problema magnetostática

Acabo de fijarme en que la lámina tiene anchura finita (yo creí que era infinita). Por tanto, la ley de Ampère no es útil para este caso y no queda más remedio que recurrir a la ley de Biot-Savart o, mejor aún, al enfoque original, desarrollado por Breogán.

[bollit0]

Re: Problema magnetostática

Muchisimas gracias por vuestras respuestas, sobre todo a la de Breogan, el diagrama es el correcto.

Hoy le volví a meter mano a través de Biot y Savat pero creo que no supe interpretar bien las ecuaciones y no llegué a ningún lado. Desesperado me volví a meter aquí y he visto la respuesta. Voy a estudiarla bien e intentar saber que me faltó, en que fallé o donde interpreté mal para tenerlo ya bien claro, porque está costandome un poco esto del electromagnetismo , pero bueno, poco a poco.

Muchisimas gracias y un saludo!