Otras carreras respuesta completa

[LauraLopez]

Encuentre la respuesta completa i si i(0)=2 A y v(0)= 6 V.

La fuente de voltaje vale $\dst 20 \cos 3t$ V
La resisntecia 2 ohm
La inductancia 1/2 H
el capacitor 2/3 F

Primero encuentro la respuesta natural:

Aplico KVL:

$\dst 2i + \frac{1}{2 } \frac{d i}{dt } + \frac{3}{2 } \int_0^t i(t) dt + v(0) = 20 \cos 3 t$

Derivo

$\dst 2 \frac{d i}{dt } + \frac{1}{2 } \frac{{d}^{2 } i }{d t^2 } + \frac{3}{2 } i = -60 \sin 3t$

Multiplico por 2

$\dst \frac{{d}^{2 } i }{d t^2 } + 4 \frac{d i}{dt } + 3 i = -120 \sin 3t$ (ec. diferencial de segundo orden)

la ecuacion caracteristica es $\dst S^2 + 4S + 3 = 0$

entonces $S_1=-1$ y $\dst S_2 = -3$

Asi que la solucion natural es

$\dst i_n(t) = k_1 {e}^{-t } + k_2 {e}^{-3t }$

Uso la condicion inicial i(0) = 2 y entonces

k1 + k2 = 2 (1)

Luego aplico KVL en t= 0 y tengo que :

$\dst 2 i(0) + \frac{1}{2 } \frac{d i(0)}{dt } + v(0) = 20$

$\dst 4 + \frac{1}{2 } \frac{d i(0)}{d t } + 6 = 20$

Entonces

$\dst \frac{d i(0)}{dt } = 20$

Entonces $\dst \frac{d i(0)}{dt } = - k_1 -3k_2 = 20$ (2)

Usando (1) y (2) obtengo que

$k_1 = 13$ y $k_2 = - 11$

Finalmente $\dst i_n(t) = 13{e}^{-t } -11{e}^{-3t }$

Esta bien la solucion natural que encontre?

Luego para la forzada utilizaria fasores :

la fuente es : $\dst {20}_{0\° }$

la inductancia $\dst j \frac{3}{2 }$

el capacitor $\dst - \frac{1}{2 }j$

Como estan los 3 elementos en serie la impedancia equivalmente es :

$\dst Z = 2 + \frac{3}{2 } j - \frac{1}{2 }j = 2 + j = {\sqrt{5}}_{26,56\° }$

Entonces V = Z I y luego

$\dst I= \frac{{20}_{0\° }}{{\sqrt{5}}_{26,56\° } } = {8,94}_{-26,56\° }$

La solucion forzada entonces es :

$\dst i_f(t) = 8,94 \cos (3t - 26,56\° )$

La forzada esta bien?

Gracias

[arivasm]

Re: respuesta completa

Como la solución completa es [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] , la condición i(0)=2 A será [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] . Por tanto, (1) será $k_1+k_2=-6$. (2) es correcto.

[LauraLopez]

Re: respuesta completa

tenes razon! entonces llego a que k_1= 1 y k_2 = -7