Otras carreras Resistencia, Intensidad y Densidad de corriente en cilindros concentricos

[ferne17]

Hola, quiero pedir ayuda con este ejercicio, pues en el libro lo resuelven de una forma que no es la usual y no logro obtener el resultado correcto:
Dos cilindros coaxiales (radios a y b) de largo L estan separados por un material de conducividad $\sigma$(r) = k ... con k una constate y r la distancia al centro en coordenadas cilindricas.

Se pide calcular la resistencia y el dibujo es el siguiente:


Resulta que ellos lo resuelven sin obtener la intensidad de la corriente (I), pues la dejan como constante, pero si lo hago del metodo usual, de obtener el campo electrico (E), densidad de corriente (J), diferencia potencial, etc.. No me resulta, espero alguien me pueda ayudar escribo aquí mi desarrollo a ver si alguien me dice en que me equivoco:
$E(r)*2$$\pi*r*L=\frac{\sigma(r)}{ {\varepsilon}_{0}}$
$J(r)=$$\frac{{k}^{ 2}}{2\pi{r}^{3}{\varepsilon}_{0}L}}$
$I={{\int}_{0}}^{2\pi}\dd\sigma{{\int}_{a}}^{b} J(r)\ddr$

No se porque salen unos â, LATEX me esta dando problemas, pero no les hagan caso

Resultandome así la Intensidad

$I= \frac{{k}^{ 2}}{{\varepsilon}_{0}L}}*(\frac{1}{a }-\frac{1}{b})$

Ojala alguien me pueda ayudar, pues en el libro los pasos que hacen son estos:

[Al2000]

Re: Resistencia, Intensidad y Densidad de corriente en cilindros concentricos

Disculpa, pero ni lo que tu pones de tu cosecha es correcto (pareces estar confundiendo conductividad con densidad superficial de carga), ni lo que pone el supuesto libro lo es (la expresión obtenida no tiene dimensiones de voltaje).

Las dos últimas ecuaciones del supuesto libro deberían decir

$$\vec E(\vec r) = \frac {\hat r} k \frac I {2 \pi r L}$$

$$\Delta V = \int_a^b \! d \vec r \cdot \vec E(\vec r) = \frac {I \ln b/a}{2 \pi L k}$$

resultando en una resistencia de $\dst R = \frac {\ln b/a}{2 \pi L k}$.

Saludos,

Al

[ferne17]

Re: Resistencia, Intensidad y Densidad de corriente en cilindros concentricos

Sí me di cuenta que escribí mal mis ecuaciones, pero eran equivalentes cuando las resolví, no obstante olvidé decir que la conductividad era k/r , así tampoco estaría bien lo que tu dices, lo siento fue un error de tipeo... corregiré mis ecuaciones para que resulte, pero con estos datos me da otro resultado, lo calcularé y lo publico a ver si te da algo similar, de nuevo pido disculpas por no dar bien el ejercicio en un inicio.

- - - Actualizado - - -

- - - Actualizado - - -

Me da como resultado una resistencia de:
$r\frac{LN(a/b)}{ 2\pi*L*k}$