Otras carreras ¿Por qué números complejos en vez de vectores?

[mruize85]

¿Por qué el análisis de circuitos usa números complejos en vez de vectores? A efectos prácticos son lo mismo y respecto a la multiplicación y división es tan simple como definir operadores análogos para los complejos.

La pregunta me surge al ver lo poco estético que queda para la física, el estudio del mundo real, usar números imaginarios.

¿Hay alguna limitación a excepción de la multiplicación y división en el uso de vectores para tal fin?

Gracias.

[arivasm]

Re: ¿Por qué números complejos en vez de vectores?

¿Cómo que multiplicar complejos es lo mismo que multiplicar vectores?. Y ¿cómo se dividen los vectores?

No es cuestión de estética, sino de comodidad. Aunque en esencia es lo mismo, es infinitamente más cómodo trabajar con $v(t)=Re \left[V_0\ee^{j\omega t+\varphi}\right]$ que manejar $v(t)=V_0\cos(\omega t+\varphi)$. Aplícalo al producto, suma, resta, cociente... de dos magnitudes armónicas y lo verás.

[Rodri]

Re: ¿Por qué números complejos en vez de vectores?

Aunque es cierto que los números complejos pueden representarse como vectores en el plano cuyas componentes son respectivamente las partes real e imaginaria, sucede que los números complejos son "algo más": tienen estructura algebraica de cuerpo, lo que quiere decir que, entre otras cosas, está definida la división de un número complejo por otro. Esto no sucede con los vectores del plano habituales: no existe la división de un vector por otro.
Si sigues una carrera técnica o científica verás que los números complejos son una herramienta muy potente para describir ciertas partes de la Física, sobre todo aquéllas en las que aparecen fenómenos oscilatorios (vibraciones y ondas en Mecánica, teoría de circuitos eléctricos en régimen AC, etc.). De hecho verás que las mismas matemáticas que describen por ejemplo la vibración de un sistema mecánico sirven para describir el comportamiento de un circuito eléctrico resonante ...
En el fondo los números complejos son una "notación" muy práctica que sirve para manejar cómodamente la información referente a señales físicas de carácter oscilatorio y los sistemas físicos en los que aparecen.

[gdonoso94]

Re: ¿Por qué números complejos en vez de vectores?

¿Cómo que multiplicar complejos es lo mismo que multiplicar vectores?. Y ¿cómo se dividen los vectores?

No es cuestión de estética, sino de comodidad. Aunque en esencia es lo mismo, es infinitamente más cómodo trabajar con $v(t)=Re \left[V_0\ee^{j\omega t+\varphi}\right]$ que manejar $v(t)=V_0\cos(\omega t+\varphi)$. Aplícalo al producto, suma, resta, cociente... de dos magnitudes armónicas y lo verás.

Aprovecho este post y pregunto, ¿es lo mismo la i de complejo que la j que utilizas en: $v(t)=Re \left[V_0\ee^{j\omega t+\varphi}\right]$?

Saludos

[leo_ro]

Re: ¿Por qué números complejos en vez de vectores?

Si, para cuestiones eléctricas la unidad compleja se simboliza como $j$ para no confundirse con la i de la corriente.

[mruize85]

Re: ¿Por qué números complejos en vez de vectores?

¿Cómo que multiplicar complejos es lo mismo que multiplicar vectores?. Y ¿cómo se dividen los vectores?

No he dicho eso. Me cito a mi mismo para explicarme mejor:

[...] y respecto a la multiplicación y división es tan simple como definir operadores análogos para los complejos.

Los vectores de dos dimensiones no tienen la multiplicación interna (por otro vector y cuyo resultado sea un vector) definida, pero al igual que se han definido nuevos operadores para nuevas teorías, se pueden definir éste también.

No es cuestión de estética, sino de comodidad. Aunque en esencia es lo mismo, es infinitamente más cómodo trabajar con $v(t)=Re \left[V_0\ee^{j\omega t+\varphi}\right]$ que manejar $v(t)=V_0\cos(\omega t+\varphi)$. Aplícalo al producto, suma, resta, cociente... de dos magnitudes armónicas y lo verás.

La fórmula de Euler es una consecuencia directa de la definición de la multiplicación interna, así que un vector bidimensional con dicha operación definidas también cumplirá dicha identidad. No solo lo hará dicha fórmula, sino que todo lo aplicable a los complejos será aplicable a estos nuevos vectores (transformada de Laplace incluida).

La única diferencia será conceptual y estética. En vez de tener un nuevo conjunto de números $\mathbb{C}$ con $\mathbb{R}\subset\mathbb{C}$, concepto que siempre me ha parecido antiestético y que rompe la correspondencia física de los números, definimos un conjunto de objetos matemáticos $\mathbb{K}\subset\mathbb{R}^2$ (por asignarle una letra). No definimos una nueva clase de números, sino que combinamos convenientemente los que ya tenemos conservando así su correspondencia física.

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Aprovecho este post y pregunto, ¿es lo mismo la i de complejo que la j que utilizas en: $v(t)=Re \left[V_0\ee^{j\omega t+\varphi}\right]$?

Saludos

La $i$ no es más que el nombre que se le da por conveniencia al número complejo $(0, 1)$. Notación... Puedes asignarle la letra u nombre que te convenga más para cada caso concreto. Indicándolo previamente claro está.

[leo_ro]

Re: ¿Por qué números complejos en vez de vectores?

Como por la def. de espacio vectorial, este es una estructura algebraica que tiene definidas ciertas operaciones.

$V= (A, +, * )$

En donde A es el conjunto. + es una operación interna, que se da entre dos elementos de A y que da como resultado un elemento de A. En cambio * (multiplicación por un escalar), dicha operación es con respecto a un elemento de A y un elemento de un cuerpo algebraico. Y . que es una operación binaria entre dos elementos de A da como resultado un elemento de un cuerpo algebraico.

En cambio los complejos son una estructura algebracia:

$C=(A, +, *)$

Por lo que es un cuerpo ya que tiene def. dos operaciones binarias entre elementos del mismo conjunto A y cuyo resultado es un elemento de A. La diferencia está definida con respecto al inverso aditivo y la división está definida con respecto al inverso mujltiplicativo.

Pero para los espacios vectorial, están definidas dos operaciones más.

$V= (A, +, *,.,x )$

. que es una operación binaria entre dos elementos de A que da como resultado un elemento de un cuerpo algebraico. Y "x" está definido solo para vectores en ${R}^{3}$

Al parecer los espacios vectoriales tienen ciertas ventajas en algunos fenómenos físicos que otras estructuras algebraicas y los complejos tiene ventajas en otros fenómenos físicos que los espacios vectoriales no.

[mruize85]

Re: ¿Por qué números complejos en vez de vectores?

Pero para los espacios vectorial, están definidas dos operaciones más.

$V= (A, +, *,.,x )$

. que es una operación binaria entre dos elementos de A que da como resultado un elemento de un cuerpo algebraico. Y "x" está definido solo para vectores en ${R}^{3}$

En verdad no. Por definición las únicas operaciones requeridas para un espacio vectorial son la de suma y la multiplicación por un escalar. El producto escalar y vectorial son operaciones extra definidas por conveniencia sobre los vectores, pero no necesarias para que formen un espacio vectorial.

Los conceptos de espacio vectorial y cuerpo son solo "agrupaciones de propiedades" que cumplen los conjuntos que tienen ese par de operaciones definidas. Su función no es más que la de permitir aplicar todas las propiedades definidas para ellos sin necesidad de demostrarlas para cada caso en particular (solo hace falta demostrar que posee dichas operaciones). En ningún momento limitan el número de operaciones extra que pueden ser aplicables sobre dicho conjunto.

Los números complejos considerando solo un subconjunto de la operación multiplicación también forman un espacio vectorial. Del mismo modo todos los conjuntos que forman un espacio vectorial, si ampliamos multiplicación por un escalar o definimos una nueva operación pasan a ser un cuerpo.

Como ya he dicho, la diferencia no es funcional, sino conceptual. En vez de usar los complejos definidos como una nueva clase de números definimos un nuevo objeto matemático que sea un simple subconjunto del ya conocido $\mathbb{R}^2$.

La diferencia estriba en que los números complejos no tienen ninguna interpretación física y la alternativa aquí propuesta sí. Cierto que las matemáticas son una herramienta, pero ¿por qué no intentar mantener una correspondencia física siempre que nos sea posible?

[leo_ro]

Re: ¿Por qué números complejos en vez de vectores?

¿Te refieres a seguir interprentado los fenómenos (como oscilaciones y señales) mediante vectores (como se venía haciendo en física) en vez de con números complejos?

Los números complejos presentan beneficios, por ejemplo calcular

$\dst {\int}_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{{x}^{2}+1 } dx$ con $x$ perteneciendo a los reales. Es algo tedioso, pero se podría calcular de forma más fácil haciendo un cambio de variable y de límites de integración.

$\dst {\int}_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{{x}^{2}+1 } dx= {\oint}_{C} \frac{1}{{z}^{2}+1 } dz$ con $z$ perteneciente a los complejos y una curba cerrada C de manera de que existan polos que puedan ser desarrollados mediante la serie de Laurent. Y dicha integral se calcula en dos pasos utilizando residuos.

[mruize85]

Re: ¿Por qué números complejos en vez de vectores?

Como ya he dicho, todas esas propiedades "mágicas" de los complejos se deben únicamente a el hecho de tener definida la multiplicación interna tal como la tienen definida. Si definimos esa misma operación en vectores (llámalos pares ordenados si lo prefieres) tendrán exactamente las mismas propiedades.

La única diferencia, como ya he repetido varias veces, será que en vez de definir un nuevo conjunto de números por encima de los reales (de hecho los reales son un subconjunto de los complejos), definimos un conjunto de pares ordenados cuyos componentes son números reales normales y corrientes. Dejamos los reales como los números más genéricos y usamos pares ordenados de reales en vez de esos extraños complejos.

[guibix]

Re: ¿Por qué números complejos en vez de vectores?

Como ya he dicho, todas esas propiedades "mágicas" de los complejos se deben únicamente a el hecho de tener definida la multiplicación interna tal como la tienen definida. Si definimos esa misma operación en vectores (llámalos pares ordenados si lo prefieres) tendrán exactamente las mismas propiedades.

La única diferencia, como ya he repetido varias veces, será que en vez de definir un nuevo conjunto de números por encima de los reales (de hecho los reales son un subconjunto de los complejos), definimos un conjunto de pares ordenados cuyos componentes son números reales normales y corrientes. Dejamos los reales como los números más genéricos y usamos pares ordenados de reales en vez de esos extraños complejos.

El problema de intentar lo que dices, es que en un espacio vectorial con números reales, cada eje de coordenadas tiene las mismas propiedades y son intercambiables. Puedes definir un producto interno para dicho espacio, pero no cumplirá con el mismo resultado que en complejos debido a las propiedades de la unidad imaginaria. Por ejemplo $j^2=-1$, o que cualquier número complejo multiplicado por la unidad imaginaria da otro complejo a 90º del original.

Si queremos definir un espacio vectorial en $R^2$ con las mismas propiedades que los complejos nos encontramos que uno de los ejes tiene propiedades distintas al otro eje (uno cumple la función de imaginario y el otro de real).

Al final lo que ocurre es que no se cumplen algunas de las condiciones de los espacios vectoriales (como el intercambio indistinto de ejes o la rotación del sistema de coordenadas). En cambio se cumplen otras condiciones que no se pueden cumplir en un espacio vectorial en $R^2$ (como $z\bar z=|z|^2$ o $j^2=-1$)

Como ves, podemos definir lo que queramos, pero para ser un espacio vectorial $R^2$ se deben cumplir sus condiciones. Si no las cumple todas, simplemente no es un espacio vectorial. En realidad el plano complejo es un espacio vectorial complejo de dimensión uno ($C^1$.) Y no hay manera de hacer que $R^2$ sea igual que $C^1$. Estoy seguro de que si hubiera esa posibilidad ya estaría estudiada y seguramente es lo que usaríamos hoy en día . Otra posibilidad es que sí exista la manera pero dudo que sea más fácil o práctica.

A parte de los problemas prácticos está un tema mucho más fundamental y es que $C$ es un cuerpo completamente cerrado a todas las operaciones y contiene el cuerpo de los reales. El tema está en que la matemática que surge de forma natural en los complejos corresponde al comportamiento del espacio de fase de un oscilador armónico, en donde la parte real corresponde a la posición y la parte imaginaria describe el momento lineal. Y por supuesto, debido a sus propiedades ciclométricas se puede describir un movimiento circular usando el eje imaginario como un segundo eje real en $R^2,$ y aunque físicamente estemos en $R^2$, matemáticamente es $C.$

Saludos.

[mruize85]

Re: ¿Por qué números complejos en vez de vectores?

Por ejemplo $j^2=-1$, o que cualquier número complejo multiplicado por la unidad imaginaria da otro complejo a 90º del original.

Los nuevos "vectores" también cumplirían dicha relación, pues es solo una consecuencia de la nueva multiplicación definida en ellos. Sin embargo, quizás sea cierto eso de que se alejarían demasiado del concepto de espacio vectorial y sería incorrecto llamarlos vectores.

Por otro lado, consultando otras fuentes he descubierto que la relación $\mathbb{R}\subset\mathbb{C}$ es estrictamente incorrecta, pues por la definición que hace de ambos conjuntos la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel no se cumple. Dicha relación se acepta por el isomorfismo que hay entre $\mathbb{R}$ y el subconjunto de $\mathbb{C}$ con forma $a+0i$. Se acepta por conveniencia y no por una derivación formal.

En realidad dichos números son simples pares ordenados (como los vectores) que cumplen ciertas propiedades (diferentes a las de los vectores) a los que se eleva porque sí a la posición de una clase de números por encima de los reales. Así que por mi tranquilidad puedo seguir usándolos sin necesidad de atribuirles tal posición elevada y sin que su definición y funcionalidad sufran ningún cambio. Es decir, que puedo rechazar $\mathbb{R}\subset\mathbb{C}$ sin cometer por ello ningún error.

Gracias.

[guibix]

Re: ¿Por qué números complejos en vez de vectores?

Los nuevos "vectores" también cumplirían dicha relación, pues es solo una consecuencia de la nueva multiplicación definida en ellos. Sin embargo, quizás sea cierto eso de que se alejarían demasiado del concepto de espacio vectorial y sería incorrecto llamarlos vectores.

Hace falta más que un producto interno para tener la propiedades de los complejos. Te olvidas que se tiene que definir un número el cuadrado del cual es negativo como unidad del eje imaginario. Esto es lo que realmente define los complejos y no su producto. Más bien es porqué existe la unidad imaginaria que hace que el producto tenga tales propiedades.

Por otro lado, consultando otras fuentes he descubierto que la relación $\mathbb{R}\subset\mathbb{C}$ es estrictamente incorrecta, pues por la definición que hace de ambos conjuntos la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel no se cumple. Dicha relación se acepta por el isomorfismo que hay entre $\mathbb{R}$ y el subconjunto de $\mathbb{C}$ con forma $a+0i$. Se acepta por conveniencia y no por una derivación formal.

Bueno, no sé qué axiomas de ZF viola esta relación, pero no se pueden hallar los resultados de todas las raíces de cualquier polinomio sin el uso de la unidad imaginaria. Y esto forma la parte más importante del Teorema Fundamental del Álgebra. Además las raíces pares de números negativos no pertenecen a los reales por lo que deben de pertenecer al menos a otro conjunto. Llamemos $C$ a este conjunto, pero sabemos que $0*\sqrt{-1}=0,$ por lo tanto podemos deducir que el conjunto $C$ es un número real cuando todas las raíces pares de números negativos son nulas y esto es muy consistente con decir que $0*\sqrt{-1}\in R$ y que $0*\sqrt{-1}\in C.$ Por lo tanto no es una mera conveniencia decir que $R\subset C.$

En realidad dichos números son simples pares ordenados (como los vectores) que cumplen ciertas propiedades (diferentes a las de los vectores) a los que se eleva porque sí a la posición de una clase de números por encima de los reales. Así que por mi tranquilidad puedo seguir usándolos sin necesidad de atribuirles tal posición elevada y sin que su definición y funcionalidad sufran ningún cambio. Es decir, que puedo rechazar $\mathbb{R}\subset\mathbb{C}$ sin cometer por ello ningún error.

Desde mi punto de vista decir que algo contiene otra cosa no es atribuirle ninguna "posición elevada". A lo sumo lo que sería es más abstracto, como los reales son más abstractos que los racionales y los contienen. No es algo "malo" para los reales. También existen cuerpos que contienen a los complejos como los cuaterniones y los octaniones (que por cierto también se utilizan para temas de física y la Teoría del Caos) y no pasa nada. Por como lo comentas, parece como si los reales tuvieran que estar "encima" de todo los demás y esto es un error muy viejo que ya argumentaban los primeros detractores del uso de los complejos.

Si nos pusiéramos tontos podríamos decir que todas las definiciones del Álgebra son meras conveniencias y en cierto modo es verdad. Que se elija una manera u otra de clasificar y estructurar el álgebra solo es para que todos podamos entendernos con un mismo lenguaje. Y si bien podemos inventar lo que queramos, es bueno usar el lenguaje definido previamente. Si quieres definir algo tienes que definir todas sus propiedades y si son las mismas que unas que ya tienen nombre, solo consigues mucho trabajo para cambiar un nombre o una clasificación que ya estaba establecida. Es un buen ejercicio intelectual pero no cambiará lo que cientos de miles de personas han aceptado como consistente y útil. Solo si se mejora su utilidad o consistencia se pueden modificar los estándares.

Salud!

[Rodri]

Re: ¿Por qué números complejos en vez de vectores?

En mi opinión proponer el uso de pares ordenados para los que definimos ad-hoc unas operaciones de composición interna, etc. de forma que esta herramienta sea equivalente a los números complejos pero "más natural" es como considerar que un perro no es un animal "natural" para hacer de guardián de una casa y empezar a pensar en un animal que sea fiel, tenga buen olfato, cuatro patas y ladre... podemos llamar a ese animal de otra forma pero en el fondo hemos llegado a inventar de nuevo el perro, aunque le pongamos otro nombre ¿No os parece?