1r ciclo Solución en circuito RLC

[leo_ro]

En un circuito rlc en serie. Con una fuente de tensión senoidal. ¿Qué significan físicamente la solución homogenea y la solución particular? He escuchado que una es para el régimen transitorio y la otra para el estable, o algo así.

Saludos.

[arivasm]

Re: Solución en circuito RLC

La homogénea (que algunos textos llaman libre) es la que corresponde al régimen transitorio. La particular (que esos textos llaman forzada) corresponde al régimen estable.

La razón es que la homogénea corresponde al circuito pero sin fuentes de corriente, como verás al resolver la ecuación, pues en la obtención de la homogénea igualas con 0 la ecuación diferencial, en lugar del término correspondiente a la fuente. Que yo sepa, salvo unos pocos casos oscilantes no atenuados, suelen ser soluciones que decaen exponencialmente con el tiempo y por ello al cabo de un tiempo suficientemente largo no contribuyen al comportamiento del circuito. Por eso son las que condicionan el régimen estacionario.

[leo_ro]

Re: Solución en circuito RLC

Por ejemplo, se necesita encontrar i(t) en el siguiente circuito:



$\dst {v}_{i}=R i(t) + L \frac{di(t)}{ dt}+ \frac{1}{C } \int i(t) dt \Rightarrow \frac{d {v}_{i}}{ L dt}= \frac{{d}^{2}i(t)}{ {dt}^{2}}+ \frac{R}{ L}\frac{di(t)}{dt }+\frac{1}{LC }i(t)$

como es régimen variable

$i(t)={i}_{h}(t)+{i}_{p}(t)$

Para la solución homogenea:

$\frac{{d}^{2}i(t)}{ {dt}^{2}}+ \frac{R}{ L}\frac{di(t)}{dt }+\frac{1}{LC }i(t)=0$

Mi duda acá es ¿por qué se toma como cero la fuente de alimentación? Si es una fuente alterna, la derivada nunca sería cero.

Para la solución particular:

Tengo en un solucionario que:

${i}_{p}(t) = k {e}^{j(500t+30^o)}$

¿Dicha expresión es una expresión de la señal de entrada ${v}_{i}=300 \sin (500t+30^o)$? ¿Hay alguna razón del porque es así? Y supongo que las unidades de $K$ son amperes.

Saludos y gracias por la ayuda.

[arivasm]

Re: Solución en circuito RLC

En general, cualquier ecuación diferencial de la forma $a_2 y''+a_1 y'+a_0 y=f(t)$ es suma de dos soluciones, una particular $y_p$ que satisfaga la ecuación y la homogénea, correspondiente a $a_2 y_h''+a_1 y_h'+a_0 y_h=0$. Es muy obvio que $y_p+y_h$ también es solución de la ecuación original.

Por ese motivo, al resolver una ecuación de ese estilo se busca la homogénea (que incluirá los coeficientes de integración) y una particular, para la cual hay unos cuantos consejos a seguir dependiendo de la forma de f(t). Por ejemplo, si f(t) es una exponencial compleja, $y_p$ será también la misma exponencial compleja, pero multiplicada por una constante compleja que encontramos simplemente haciendo la substitución en la ecuación diferencial. Ésa sería la K por la que preguntas y, sí, tendrá dimensiones de intensidad.

Por tanto, la razón por la que se iguala con 0 no es física, sino matemática (aunque sí tiene significado físico, pues gobierna el régimen transitorio, como comenté antes).

[leo_ro]

Re: Solución en circuito RLC

gracias arivasm. Ahora tengo un problema con el siguiente circuito.


Planteo lo que he echo y al final me falta encontrar las constantes C1 y C2:

$\dst i(t)= \frac{v(t)}{R }+ C \frac{dv(t)}{dt } + \frac{1}{L }\int v(t)dt\Rightarrow \frac{di(t)}{C dt }=\frac{{d}^{2}v(t)}{{dt}^{2} }+\frac{1}{RC }\frac{dv(t)}{dt }+\frac{1}{LC } v(t)$ (1)

$v(t)={v}_{h}(t)+{v}_{p}(t)$

La solución homogenea es:

${m}_{1}=-699.3+31615j$ y ${m}_{2}=-699.3-31615j$

Por lo que:

$\dst {v}_{h}(t)={e}^{-699.3t} ({C}_{1}\cos (31615t)+{C}_{2}\sin(31615t))$

La solución particular:

${v}_{p}(t)=k{e}^{j(1000t+30^o)}$

$\frac{d{v}_{p}(t)}{dt }=j1000k{e}^{j(1000t+30^o)}$

$\frac{{d}^{2}{v}_{p}(t)}{{dt}^{2} }={(j1000)}^{2}k{e}^{j(1000t+30^o)}$

A dichas expresiones las sustituimos en (1)

$\dst K+ \frac{1}{7.15*{10}^{-4} }j1000K+ \frac{1}{1*{10}^{-9} }{(j1000)}^{2}K=\frac{1}{1*{10}^{-6}}$

$\dst K+j139861.4K+j1*{10}^{15}K=10*{10}^{6}\Rightarrow K (1+j1*{10}^{15})=1*{10}^{6}$

$\dst K=\frac{1*{10}^{6}}{1*{10}^{15}{e}^{j90^o} }=1*{10}^{-9} {e}^{-j90^o}$

así que la solución particular queda:

${v}_{p}=1*{10}^{-9} {e}^{-j90^o} {e}^{j(1000t+30^o)}= 1*{10}^{-9} {e}^{j(1000t-60^o + 90^o)}= 1*{10}^{-9} {e}^{j(1000t+30^o )}$

Por lo que la solución me queda:

$v(t)={e}^{-699.3t} ({C}_{1}\cos (31615t)+{C}_{2}\sin(31615t))+ 1*{10}^{-9} {e}^{j(1000t+30^o)}$

Me faltaría encontrar ${C}_{1}$ y ${C}_{2}$ pero no sé que condición inicial plantear para poder calcularlos.

Saludos.

[Rodri]

Re: Solución en circuito RLC

Puesto que la ecuación es de orden dos se necesitan dos condiciones iniciales para determinar las constantes de integración C₁ y C₂. Las dos condiciones habituales suelen ser la tensión en la capacidad y la corriente por la bobina en el instante inicial, aunque pueden ser otras.

[leo_ro]

Re: Solución en circuito RLC

Porque para el caso de un circuito RLC en serie donde hay una fuente de tensión variable y la incógnita es la i(t), la condición inicial que se utiliza es que en el tiempo t=0

${V}_{R}={V}_{C}=0$ y ${V}_{L}=L \frac{di(t)}{dt }={V}_{cc}$

¿Entonces para el caso de una fuente alterna de corriente y cuya incógnita es la tensión, la tensión en la resistencia y en la bobina es cero y no en el capacitor?
Una cosa más ¿está bien los cálculos que he hecho?

[arivasm]

Re: Solución en circuito RLC

Sin revisar a fondo las cifras he encontrado un error: después de $K (1+j1*{10}^{15})=1*{10}^{6}$ has escrito $\dst K=\frac{1*{10}^{6}}{1*{10}^{15}{e}^{j90^o} }=1*{10}^{-9} {e}^{-j90^o}$, pero debería ser $\dst K=\frac{1*{10}^{6}}{1+j*{10}^{15}}$.

Por otra parte, me extraña muchísimo ese $10^{15}$....

Acabo de verlo: cuando pones "substituimos en (1)" substituiste la segunda derivada en v(t) y la expresión para v(t) en la de la segunda derivada.

[leo_ro]

Re: Solución en circuito RLC

Acabo de verlo: cuando pones "substituimos en (1)" substituiste la segunda derivada en v(t) y la expresión para v(t) en la de la segunda derivada.

Tienes razón.

$\dst K=\frac{1*{10}^{6}}{1*{10}^{15}{e}^{j90^o} }=1*{10}^{-9} {e}^{-j90^o}$

Me queda eso porque el argumento de $1+j1*{10}^{15}$ es $1*{10}^{15}$ y el argumento $90^o$.

Ahora para la condición inicial $t=0$, tengo que:

${i(t)}_{R}={i(t)}_{L}=0$ y ${i(t)}_{C}\neq 0$

$i(t)=C \frac{dv(t)}{dt }= 1[A] \sin (1000t+30^o)$

entonces:

$\frac{dv(t)}{dt }= 1*{10}^{6} \sin (1000t+30^o)$

a dicha expresión la reemplazo en la derivada de:

$v(t)={e}^{-699.3t} ({C}_{1}\cos (31615t)+{C}_{2}\sin(31615t))+ 1*{10}^{-9} {e}^{j(1000t+30^o)}$

¿Es correcto?

Saludos y gracias.

[arivasm]

Re: Solución en circuito RLC

Sigues teniendo el error en el cálculo de K. Copiaré lo que has puesto correctamente:

$$\dst \frac{di(t)}{C dt }=\frac{{d}^{2}v(t)}{{dt}^{2} }+\frac{1}{RC }\frac{dv(t)}{dt }+\frac{1}{LC } v(t)$$

$\dst {v}_{p}(t)=k{e}^{j(1000t+30^o)}$

$\dst\frac{d{v}_{p}(t)}{dt }=j1000k{e}^{j(1000t+30^o)}$

$\dst\frac{{d}^{2}{v}_{p}(t)}{{dt}^{2} }={(j1000)}^{2}k{e}^{j(1000t+30^o)}$

Al substituir en (1) queda

$\dst \frac{di(t)}{C dt }={(j1000)}^{2}k{e}^{j(1000t+30^o)}+\frac{1}{RC }j1000k{e}^{j(1000t+30^o)}+\frac{1}{LC }k{e}^{j(1000t+30^o)}$

Sacando factor común

$\dst \frac{di(t)}{C dt }=k{e}^{j(1000t+30^o)}\left({(j1000)}^{2}+\frac{1}{RC }j1000+\frac{1}{LC }\right)$

Usando para i(t) la parte imaginaria de $\ee^{j(1000 t+30^o)}$ tenemos

$\dst \frac{1}{\notcien{1}{-6}}1000 j\ee^{j(1000t+30^o)}=k{e}^{j(1000t+30^o)}\left(-j1000^2+\frac{1}{\notcien{715}{-6}}j1000+\frac{1}{\notcien{1}{-9} }\right)$

Dejo para ti que termines de hacer las operaciones.

[leo_ro]

Re: Solución en circuito RLC

Cuando pones que usando la parte imaginaria de i(t) pero simplemente lo expresas como ${e}^{j(\omega t + \varphi)}$ . Y en esa expresión tienes la parte real e imaginaria ya que ${e}^{j (wt + \varphi )}= \cos (\omega t + \varphi)+ j \sin(\omega t + \varphi)$ ¿Cómo sería expresado solamente la parte de $\sin(\omega t + \varphi)$? y además sin que tenga antepuesto el factor $\hat{\jmath}$

Saludos.

[arivasm]

Re: Solución en circuito RLC

Teniendo en cuenta que $\sin(\omega t+\varphi)=Im\left[\ee^{j(\omega t+\varphi)}\right]$, la idea pasa por manejar una representación compleja de todas las magnitudes y finalmente tomar la parte imaginaria del resultado (si la fuente hubiese estado expresada en forma de coseno, entonces tomaríamos la parte real).

Aclararé que recurrí a la representación compleja porque así fue como lo hiciste tú, cuando escribiste como solución particular tentativa $K\ee^{j(\omega t+\varphi)}$.

Nada impide manejar directamente $i(t)=I_0\sin(\omega t + \varphi)$. En tal caso, la solución tentativa deberá ser de la forma $v_p(t)=A\sin(\omega t+\varphi)+B\cos(\omega t+\varphi)$, debiendo entonces hacerse las derivadas correspondientes (es decir, $\dd v_p/\dd t=A\omega\cos(\omega t+\varphi)-B\omega\sin(\omega t+\varphi)$, etc) y substituir en la ecuación diferencial. Se trata de un enfoque diferente, que no empleará en absoluto valores complejos, pero que es más largo e incómodo, aunque, por supuesto, conduce a los mismos resultados.

[leo_ro]

Re: Solución en circuito RLC

Muchas gracias arivasm. Teniendo formalismo matemático, ya se dijo que $\sin(\omega t + \varphi) = Im\{ {e}^{j(\omega t + \varphi)} \}$.

Pero en la ecuación yo he escrito ${e}^{j(\omega t + \varphi)}$ solamente, sin especificar que es la parte imaginaria de dicha expresión. ¿es correcto eso?
Y si es correcto y no es necesario escribir que es la parte imaginaria de dicha expresión ¿se trabaja como si lo fuera o como si fuera ${e}^{j(\omega t + \varphi)}$? porque en esa última forma es${e}^{j(\omega t + \varphi)}= \cos (\omega t + \varphi) + j \sin(\omega t + \varphi)$ y no ${e}^{j(\omega t + \varphi)}=\sin(\omega t + \varphi)$.

No sé si me doy a entender bien.

[arivasm]

Re: Solución en circuito RLC

...en la ecuación yo he escrito ${e}^{j(\omega t + \varphi)}$ solamente, sin especificar que es la parte imaginaria de dicha expresión. ¿es correcto eso?

Sí, lo es

Y si es correcto y no es necesario escribir que es la parte imaginaria de dicha expresión ¿se trabaja como si lo fuera o como si fuera ${e}^{j(\omega t + \varphi)}$?

Se trabaja como si fuese una exponencial compleja, tanto la v como la i, pero teniendo en mente que cuando se desee pasar a la representación "de verdad" de las funciones debe tomarse la parte real o la imaginaria, según corresponda a la representación compleja que se use inicialmente.

porque en esa última forma es${e}^{j(\omega t + \varphi)}= \cos (\omega t + \varphi) + j \sin(\omega t + \varphi)$ y no ${e}^{j(\omega t + \varphi)}=\sin(\omega t + \varphi)$.

Porque $\ee^{jq}=\cos q+j\sin q$. Quiero decir que $\ee^{jq}\neq \sin q$. Por ejemplo, $\ee^{jq}\ee^{jr}=\ee^{j(q+r)}$, lo que es coherente con que

$\cos(q+r)+j\sin(q+r)=(\cos q\cos r-\sin q\sin r)+j(\sin q\cos r+\cos q\sin r)=$
$(\cos q+j\sin q)\cdot(\cos r+j\sin r)$

En cambio, no es verdad que $\sin(q+r)=\sin q\cdot\sin r$, como debería suceder si $\ee^{jq}=\sin q$ y $\ee^{jr}=\sin r$

[Breogan]

Re: Solución en circuito RLC

Hola:

Teniendo en cuenta que , la idea pasa por manejar una representación compleja de todas las magnitudes y finalmente tomar la parte imaginaria del resultado (si la fuente hubiese estado expresada en forma de coseno, entonces tomaríamos la parte real).

Agregando a lo dicho por arivasm, es de uso corriente y hasta diría que funciona como regla el identificar la parte real de tus variables imaginarias, con tus variables físicas (aunque nada te obliga a ello, y solo es necesario que aclares como lo haces).

En muchos libros vas a encontrar que después de mencionarlo, dejan de usar el operador Re[..] para simplificar la notación en el libro, por ejemplo hacen:

$f(t)=Re ( \sim F(t)) \quad donde \quad \sim F(t) \ \in \ I$

y luego lo mismo aparece escrito, por comodidad, como:

$f(t)=\sim F(t)$

En cuanto a que tu función de excitación sea senoidal, siempre la podes expresar como un coseno con un desfasaje de +/- 90º, y de esa forma usar la parte real de la variable imaginaria asociada.

No soy un experto en el tema, lo que indico es de memoria; así que tomalo con cautela.

s.e.u.o.

Suerte