1r ciclo Integral de linea de campo eléctrico

[leo_ro]

Para calcular la circulación del campo eléctrico, no sé que curva cerrada (trayectoria de integración) utiliza la explicación, ¿me podrían dar una idea?
Se ve que el campo campo existe para $y$ y depende de $x$. Por lo que el $dl$ en la integral de linea es $dy$


$dl = dy$

Pero la integral tendría que ser a lo largo de $\hat{\imath}$ en vez de $\hat{\jmath}$, que que el campo es: ${E}_{y}(x)$

¿Es posible que la curba C de integración sea la que está en rojo?




En dicho caso, las contribuciones de las partes paralelas de C con respecto al eje x son: $2 ({\int}_{{x}_{1}}^{{x}_{2}} {E}_{y}(x)dx)$, las cuales se anulan ya que $\vec{{E}_{y}}.\hat{\imath} =0$. ¿Pero como expresaría las integral de linea de $\vec{{E}_{y}}(x)$ en las trayectorias perpendiculares a $\hat{\imath}$?

[Breogan]

Re: Integral de linea de campo eléctrico

Hola:

Por lo que dice la imagen que pusiste, y creo que es donde te confundis, resulta que E tiene la dirección del eje y (es decir en j), y que E solo varia con la coordenada x.
Entonces podríamos decir que:

$\vec E(x)=E_x(x) \hat i+E_y(x) \hat j+E_z(x) \hat k$

y $E_x(x)=E_z(x)=0$ por lo tanto:

$\vec E(x)=E_y(x) \hat j$

la circulación que hace es sobre el camino rectangular marcado en linea punteada, resultando que la circulación en los tramos paralelos al eje x son cero (campo y camino son perpendiculares) y la circulación en los tramos verticales es igual al largo del tramo por el campo en ese camino (que es constante en ese tramo por que solo depende de x) con su signo correspondiente.

Suerte

[leo_ro]

Re: Integral de linea de campo eléctrico

Como tu dices: $\vec{E}(x)=\vec{{E}_{y}}(x)\hat{\jmath}$. Pero no existe $\vec{E}$ en $\hat{\jmath}$, solamente en los puntos sobre el eje $x$. Que en la representación, $\vec{E}$ tenga extensión en la dirección de $\hat{\jmath}$ es para demostrar graficamente que apunta hacia esa dirección la fuerza eléctrica sobre unidad de carga. Si tomamos una recta $x={x}_{1}$ por ejemplo, solamente existirá campo en la intersección de $x={x}_{1}$ y $y=0$ y para cualquier otro valor de $y$ que intercepte $x={x}_{1}$ no. Por lo que el producto $E \Delta y =0$ si $\Delta y=0$ ya que $\exists \vec{E} \in (x,0)$

[Elkin]

Re: Integral de linea de campo eléctrico

Hola,

supongo que por eso se dice que esa es aproximadamente la respuesta. Además se ha hecho la consideración de que $\Delta y$ era pequeño.

saludos

[Breogan]

Re: Integral de linea de campo eléctrico

Hola:

Como tu dices: $\vec{E}(x)=\vec{{E}_{y}}(x)\hat{\jmath}$. Pero no existe $\vec{E}$ en $\hat{\jmath}$, solamente en los puntos sobre el eje $x$. Que en la representación, $\vec{E}$ tenga extensión en la dirección de $\hat{\jmath}$ es para demostrar graficamente que apunta hacia esa dirección la fuerza eléctrica sobre unidad de carga. Si tomamos una recta $x={x}_{1}$ por ejemplo, solamente existirá campo en la intersección de $x={x}_{1}$ y $y=0$ y para cualquier otro valor de $y$ que intercepte $x={x}_{1}$ no. Por lo que el producto $E \Delta y =0$ si $\Delta y=0$ ya que $\exists \vec{E} \in (x,0)$

Partiendo de que desconozco como se definieron los campos en las paginas anteriores, ni saber de que va exactamente el problema; en una onda EM los campos deben estar definidos en el espacio y no en una sola dimension.

Cuando resulta que te dicen que $\vec E=E_y(x)\ \hat j$, lo que te están diciendo es que para todos los puntos del espacio definidos por una terna (x,y,z) el valor del campo solo va a depender del valor de la coordenada x independientemente de que valores tomen las coordenadas y y z, y no que el campo es nulo si $y\neq 0 \quad y \quad z\neq 0$.

En otras palabras, te dicen que para todos los puntos de un plano infinito perpendicular al eje x el campo va a tener el mismo valor y este solo dependerá de la coordenada x de dicho plano. Esto es lo que se conoce como onda plana.

En cuanto al uso del termino aproximadamente, no tengo los datos necesarios para darte una respuesta cabal; pero sospecho que estaban hablando de una onda esférica que aproximan a una onda plana en un sector infinitesimal de su frente de onda, o su dirección de propagación.

Espero se entienda, y si no la seguimos.

Suerte

[leo_ro]

Re: Integral de linea de campo eléctrico

Entonces por lo que dices Breogan, en la recta $x={x}_{1}$, que es el primer punto que toma la explicación. No solamente existe campo en $({x}_{1},0,0)$, ${E}_{y}({x}_{1},0,0)$ sino que también $\exists {E}_{y}$ para puntos $({x}_{1},y,0)$ con $y \neq 0$. Esos valores del campo para $({x}_{1},y,0)$ con $y$ como variable son constantes tanto en módulo con en sentido, por la manera como está desarrollada la integral. ¿estoy en lo correcto?

En el principio de la explicación dice que es una onda plana y lo que sigue en la siguiente página es,



Lo que me resulta medio confuso es la integral en sí

${\oint}_{C} \vec{E}d\vec{l}= {E}_{y}({x}_{2}) \Delta y - {E}_{y}({x}_{1}) \Delta y$

Porque si es una integral de linea y por lo tanto circulación tendría que ser:

${\oint}_{C} \vec{E}d\vec{l}= {E}_{y}({x}_{2}) ({y}_{2}-{y}{1}) + {E}_{y}({x}_{1}) ({y}_{2}-{y}{1}) = {E}_{y}({x}_{2}) \Delta y + {E}_{y}({x}_{1}) \Delta y$

Tomando como sentido el de las manecillas del reloj y empezando por $({x}_{2},0,0)$

Saludos.

[Breogan]

Re: Integral de linea de campo eléctrico

Hola:

Entonces por lo que dices Breogan, en la recta $x={x}_{1}$, que es el primer punto que toma la explicación. No solamente existe campo en $({x}_{1},0,0)$, ${E}_{y}({x}_{1},0,0)$ sino que también $\exists {E}_{y}$ para puntos $({x}_{1},y,0)$ con $y \neq 0$. Esos valores del campo para $({x}_{1},y,0)$ con $y$ como variable son constantes tanto en módulo con en sentido, por la manera como está desarrollada la integral. ¿estoy en lo correcto?

Correcto; mas general: el campo eléctrico para todos los puntos del plano de coordenada x=x1 y coordenadas y y z cualquiera (lugar geométrico de los puntos (x1,y,z)), tiene el mismo modulo, dirección, y sentido.

En el principio de la explicación dice que es una onda plana

La forma del campo (dependencia funcional respecto de una sola coordenada) es consistente con esto.

${\oint}_{C} \vec{E}d\vec{l}= {E}_{y}({x}_{2}) \Delta y - {E}_{y}({x}_{1}) \Delta y$

Porque si es una integral de linea y por lo tanto circulación tendría que ser:

${\oint}_{C} \vec{E}d\vec{l}= {E}_{y}({x}_{2}) ({y}_{2}-{y}{1}) + {E}_{y}({x}_{1}) ({y}_{2}-{y}{1}) = {E}_{y}({x}_{2}) \Delta y + {E}_{y}({x}_{1}) \Delta y$

Tomando como sentido el de las manecillas del reloj y empezando por $({x}_{2},0,0)$

Acordate que la circulación se basa en un producto escalar de vectores, y entonces cuando el sentido de circulación coincide con el sentido del vector campo dicho producto es positivo, y si ambos sentidos son opuestos el producto es negativo.

Podes tomar cualquier sentido de circulación pero te va a invertir el sentido del diferencial de area (por la regla de la mano derecha).

En el libro toman el sentido anti-horario para hacer la circulación, y en lo que sigue sigo la convención del libro.

La circulación del campo E a lo largo del camino cerrado indicado en el dibujo se puede descomponer de la siguiente forma:

$\dst \oint_C \vec E(x)\ d \vec l\ =\ \int_{x_1 \to x_2} \vec E(x)\ d \vec l\ +\ \int_{0 \to \Delta y} \vec E(x)\ d \vec l\ +\ \int_{x_2 \to x_1} \vec E(x)\ d \vec l\ +\ \int_{\Delta y \to 0} \vec E(x)\ d \vec l$

La 1º y la 3º integral son nulas por que el camino y el campo son perpendiculares entre si en ambos casos, entonces queda:

$\dst \oint_C \vec E(x)\ d \vec l\ =\ \int_{0 \to \Delta y} \vec E(x_2)\ d \vec l\ +\ \int_{\Delta y \to 0} \vec E(x_1)\ d \vec l$

en la 1º integral el campo y el camino tienen la misma dirección y sentido, y en la 2º integral son opuestos, por lo cual la 1º integral es positiva y la 2º es negativa. Ademas en ambos caminos el campo es constante, por lo cual queda:

$\dst \oint_C \vec E(x)\ d \vec l\ =\ E_y(x_2)\ \int_{0 \to \Delta y} d l\ -E_y(x_1)\ \int_{\Delta y \to 0} d l$

$\dst \oint_C \vec E(x)\ d \vec l\ =\ E_y(x_2)\ \Delta y\ -E_y(x_1)\ \Delta y$

Suerte

[leo_ro]

Re: Integral de linea de campo eléctrico

Muchas gracias Breogan, ya me quedó claro el tema.

Pero si seguimos desarrollando, tenemos que

${\int}_{S} \vec{B}.d\vec{A}={B}_{z}\Delta x \Delta y$

Por lo que por faraday:

$\frac{\partial {E}_{y}}{\partial x }\Delta x \Delta y =- \frac{\partial}{ \partial t}{B}_{z}\Delta x \Delta y$

$\frac{\partial {E}_{y}}{\partial x }=- \frac{\partial {B}_{z}}{ \partial t}$

y si hacemos la misma operatoria pero para B, queda:

$\frac{\partial {B}_{z}}{\partial x }=- \mu \varepsilon \frac{\partial {E}_{y} }{ \partial t}$

Por lo que la variación de una componente de un campo en el espacio implica la variación de una componente del otro campo en el espacio. Es raro porqute tanto B como E varían ambos en el espacio y en el tiempo. Y más si están en fase. Un profesor de la universidad me acuerdo que dijo que solamente para las ondas EM se da el caso de que la variación en el espacio puede ser diferente a la del tiempo ¿Tiene algo que ver la expresión anterior con eso? ¿Qué implica físicamente que la variación de una componente de un campo en el espacio implica la variación de una componente del otro campo en el espacio?

Saludos.

[Breogan]

Re: Integral de linea de campo eléctrico

Hola:

Disculpa, pero no tengo un conocimiento tan profundo que me permita hacer un análisis cualitativo que te aclare las cosas en ves de confundirte mas. Puede ser que algún otro forero pueda explicarnos a ambos las consecuencias, mas cualitativas que cuantitativas, de las ecuaciones de Maxwell.

Suerte