Otras carreras Campo Eléctrico

[max3]

Buenos días,
Esta vez los contacto para que me aclaren una duda sobre cómo hallar el campo eléctrico en el sgte. ejercicio.

"Un electrón sometido a la acción simultánea de un campo eléctrico homogeneo E y uno magnético homogeneo B = 2T, se desplaza en el vacío en la dirección y sentido positivo del eje $\hat{k}$, con velocidad constante de 20 m/s. a) Hallar el valor del campo eléctrico. b) Identificar la dirección y sentido de dichos campos. (despreciar la acción del campo gravitatorio). La carga del electrón es 1,6 x10^-19."

Ahora yo se que la acción de ambos campos genera una fuerza dada por la fórmula => F = q (E. v x B).
La solución que me proponen es la de hallar la fuerza que genera el campo magnético y luego, usar ese valor para hallar el campo eléctrico. Lo que no me convence es que esa fuerza sólo representaría la fuerza del campo magnético pero no incluye la del campo eléctrico.
¿Estoy en lo correcto? ¿Cómo debería resolverlo?

Muchas gracias

[Breogan]

Re: Campo Eléctrico

Hola:

Lo que te dijeron es correcto, para que el electrón tenga un movimiento uniforme la fuerza neta sobre el debe ser cero, es decir que la suma de la fuerza eléctrica y la fuerza magnética sobre el debe ser cero.

La misma forma de decirlo, pero mas formal, es:

$\vec F=q\ (\vec E+\vec v \times \vec B)$

para que el electrón tenga un MU, F debe ser cero:

$$q\ (\vec E+\vec v \times \vec B)=\vec 0$$

Se Definen los vectores que intervienen en la ecuación (1):

$\dst \vec E=E_x \hat i+E_y \hat j+E_z \hat k$

$\dst \vec B=B_x \hat i+B_y \hat j+B_z \hat k$

$\dst \vec v=v \hat k$


De la igualdad vectorial (1) obtenemos tres igualdades escalares, y ademas tenemos que:

$B=\sqrt{B_x^2+B_y^2+B_z^2}$

Me faltan condiciones para determinar univocamente los campos, no se si se me escapo algo o falto algún dato en el enunciado. Algún otro forero podrá ampliar o corregir el presente.

Suerte

[max3]

Re: Campo Eléctrico

Entiendo el razonamiento sobre el valor de la fuerza total.
Con esto me quedaría que el campo eléctrico es $E = -(\vec{v}$ x $\vec{B})$. Tengo ambos datos del miembro derecho de la ecuación, salvo por la orientación del campo magnético.
¿Puedo tomar la orientación de cualquiera de los ejes coordenados, $\hat{\imath}$ ó $\hat{\jmath}$, para el campo magnético? Como el problema no lo especifica podría asumir la orientación que mas me convenga, no es cierto?

[Breogan]

Re: Campo Eléctrico

Hola:

Entiendo el razonamiento sobre el valor de la fuerza total.
Con esto me quedaría que el campo eléctrico es $E = -(\vec{v}$ x $\vec{B})$. Tengo ambos datos del miembro derecho de la ecuación, salvo por la orientación del campo magnético.
¿Puedo tomar la orientación de cualquiera de los ejes coordenados, $\hat{\imath}$ ó $\hat{\jmath}$, para el campo magnético? Como el problema no lo especifica podría asumir la orientación que mas me convenga, no es cierto?

Estas en lo correcto, con un pequeño matiz según veo yo.
Como te dicen que la velocidad del electrón tiene la dirección del eje z, el campo magnético tiene que tener una componente contenida en el plano perpendicular a la velocidad (plano xy) para que exista fuerza magnética , pero también puede tener una componente en la misma dirección de la velocidad y esta no contribuye en nada a la fuerza sobre la partícula.
Para la componente del campo B normal a la velocidad podemos elegir que coincida con uno de los ejes del plano xy, p.e. el eje x. Pero para la componente paralela a la velocidad no tenemos esa libertad, y tendrá indefectiblemente la dirección del eje z.

Con esto podemos reescribir los campos:

$\dst \vec E=E_x \hat i+E_y \hat j+E_z \hat k$

$\dst \vec B=B_x \hat i+B_z \hat k$

$\dst \vec v=v \hat k$

para que el electrón tenga un MU, F debe ser cero:

$$q\ (\vec E+\vec v \times \vec B)=\vec 0$$

lo cual nos da:

$$E_x \hat i+E_y \hat j+E_z \hat k+(v \hat k) \times (B_x \hat i+B_z \hat k)=\vec 0$$

De la igualdad vectorial (2) obtenemos tres igualdades escalares:

$E_x=0$

$E_y+v B_x=0$

$E_z=0$

si no me equivoque en el producto vectorial, tendrías que revisarlo.

y ademas tenemos que:

$B=\sqrt{B_x^2+B_z^2}$

Siguen faltando condiciones, el resultado queda en función de la componente Bz (que puede asumir cualquier valor) y que desconocemos.
Puede ser que algo se me este escapando todavía.

Suerte

[max3]

Re: Campo Eléctrico

Hay algo que no llego a entender de la componente en z. Si nuestro campo magnético es perpendicular a la velocidad entónces no habrá componente ahí por lo que B quedaría $\vec{B} = {B}_{x }\hat{\imath} + {B}_{y}\hat{\jmath}$. La componente z de nuestro campo quedaría nula, en cero, debido a que es paralela a la velocidad y por el producto vectorial se anularía.
Yendo mas allá; ¿podría pensar que el campo magnético corre sólo a lo largo del eje x anulando también la componente en y? Si es posible asumir eso me quedaría una sola componente (ya que el problema no especifica nada y me lo deja a mi conveniencia) y por lo tanto el campo eléctrico no le queda otra que ir en la dirección negativa del único eje perpendicular a los otros dos, el de la velocidad y el arbitrario del campo magnético.
Está bien mi razonamiento?

[Al2000]

Re: Campo Eléctrico

Disculpen si me meto, pero como ya se han dado cuenta con las condiciones del problema no es posible determinar ni el módulo de $\vec E$, ni las direcciones de $\vec E$ y $\vec B$ simultáneamente.

La razón de lo anterior se explica cuando se toma en cuenta la característica de la fuerza magnética de ser perpendicular a la velocidad. Dado que el electrón se mueve con velocidad constante eso implica que el campo eléctrico no puede tener una componente paralela a la velocidad (pues el campo magnético no podría anular la fuerza eléctrica) y el campo magnético puede tener una componente paralela de valor hasta 2 T (pues no produciría ninguna fuerza).

Esto nos deja ubicado el campo eléctrico en una dirección arbitraria en un plano perpendicular a la velocidad (el plano XY en este caso) y el campo magnético con una componente paralela a la velocidad completamente arbitraria y una componente perpendicular tanto a la velocidad como al campo eléctrico con las únicas condiciones de que $\sqrt {B_\perp ^2 + B_{\parallel}^2} = 2\,\mathrm{T}$ y que la dirección de $\vec v \times \vec B_\perp$ sea opuesta a la de $\vec E$.

A modo de salvar el ejercicio siempre se podría decir que se elije la orientación de los ejes de modo que el campo eléctrico coincida con el eje X, pues esto no afecta la descripción del problema, pero aún así queda la dificultad de cómo particionar el campo magnético entre sus componentes paralela y perpendicular, lo cual si tiene un impacto en la respuesta. Podría en el mejor de los casos indicarse el máximo valor de E, que ocurriría cuando el valor inidicado de B corresponda a un campo perpendicular.

Saludos,

Al

[max3]

Re: Campo Eléctrico

Al2000,
De lo que me comentas entiendo que finalmente al campo magnético debe tener una orientación arbitraria tipo (-2T,0,0) ó (0, -2T,0) dependiendo de si tomamos el campo eléctrico como $({E}_{x},0,0)$ ó $(0,{E}_{y},0)$. Correcto? Con lo cual, y habiendo puesto todas las arbitrariedades, se podría calcular el valor de E haciendo la cuenta una vez elegida la combinación de arbitrariedades.
Lo que quiero saber concretamente es si luego de haber supuesto todo eso, válido por otro lado, puedo llegar a un valor concreto.

Mas allá de eso rescato de este ejercicio todo lo conceptual, es decir el hecho de la aceleración de la partícula si el campo eléctrico fuera en el mismo sentido y dirección que el electrón; la componente del campo magnético paralela a la partícula (haciendo que no ejerza fuerza alguna y por lo tanto no anulando el campo eléctrico), etc.

Muchas gracias a todos por ayudarme a entender y aprender

[Al2000]

Re: Campo Eléctrico

Por si aún te interesa, te dejo unas ecuaciones sin mayores comentarios. Todas van en el estilo de lo planteado inicalmente por Breogan y ponen en forma matemática lo mismo que te dije en mi mensaje anterior.

- La fuerza de Lorentz debe ser nula:

$$\dst (E_x, E_y, E_z) + (0,0,v) \times (B_x, B_y, B_z) = (E_x - v B_y, E_y + v B_x, E_z) = (0,0,0)$$

(no habrá campo en la dirección de la velocidad)

- El campo magnético $B$ es conocido:

$$\dst B_x^2 + B_y^2 + B_z^2 = B^2$$

(en principio las tres componentes pueden tomar cualquier valor, limitadas por el valor de $B$ conocido)

- Despejando $B_x$ y $B_y$ de (1) y sustituyendo en (2):

$$\underbrace {E_x^2 + E_y^2}_{\dst E^2} = v^2 \underbrace {(B^2 - B_z^2)}_{\dst B_\perp^2 } \quad \Rightarrow \quad E = v B_\perp$$

- Eliminando $v$ de (1):

$$\frac {E_y}{E_x} = - \frac {B_x}{B_y}$$

(el campo eléctrico es perpendicular a la componente de $\boldsymbol B$ perpendicular a la velocidad)

Si deseas llegar a una respuesta numérica concreta, deberás asumir que una de las componentes de $\boldsymbol E$ es cero (lo cual equivale a elegir la orientación de los ejes coordenados y que no altera la descripción del problema) y asumir un valor, posiblemente cero, para la componente Z de $\boldsymbol B$.

Saludos,

Al