1r ciclo Const. en ecuación diferencial y circuito RC

[leo_ro]

Para un circuito RC con una fuente de tensión c.c. Según la ley de Kirchofft tenemos:

$\dst V= R i + \frac{1}{C }\int i dt$

$\dst 0= \frac{d i }{dt }+ \frac{1}{RC}i$

Para resolver dicha ecuación homogenea de primer orden:

$\dst \frac{d i }{i }= \frac{dt}{RC }$

$\dst \int \frac{d i }{i }= \int \frac{dt}{RC }$

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Eso es lo que obtengo por el cálculo. Pero en el Edminister, menciona que la solución a la ec. diferencial es de la forma

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

que para dicho circuito $\dst k=\frac{V}{R }$

¿De dónde salió esa k? Veo que es válida y que corresponde con las unidades pero a través de cálculo de la resolución de la ec. diferencial nunca aparece.

Saludos.

[Breogan]

Re: Const. en ecuación diferencial y circuito RC

Hola:

Dicha constante aparace cuando haces la integral:

$\dst \int \frac{d i }{i }= \int \frac{dt}{RC }$

que da como resultado:

$\dst ln (i)=\frac t {RC}+K$

de esta ultima y por operaciones algebraicas sencillas se llega a:

$\dst i=K_1\ \ee^{ \frac 1 {RC} t}$

Suerte

[leo_ro]

Re: Const. en ecuación diferencial y circuito RC

Pero esa constante queda en ambos miembros luego de la integración por lo que se elimina.

$\dst ln (i) + k = \frac{t}{RC }+ k$

$\dst ln (i)=\frac{t}{RC }$

[Breogan]

Re: Const. en ecuación diferencial y circuito RC

Hola:

Nada obliga a que las constantes a ambos lados de la igualdad sean iguales, de echo para guardar generalidad no se deben considerar iguales.

Suerte

[leo_ro]

Re: Const. en ecuación diferencial y circuito RC

Pero como mucho se podría llevar a

$\dst i={e}^{- \frac{t}{RC }}{e}^{k}$

[Breogan]

Re: Const. en ecuación diferencial y circuito RC

Hola:

Si k es una constante, que en este caso pertenece a $)-\infty , \infty($, $\dst \ee^k$ también sera una constante, que podes llamar $k_1$, y que pertenecerá a $)0,\infty($.

Es decir si:

$$\dst i= \ee^{ \frac 1 {RC} t} \ee^k$$

podes escribirlo como:

$$\dst i=k_1\ \ee^{ \frac 1 {RC} t}$$

donde:

$\dst k_1=\ee^k$

y si aplicas las condiciones iniciales en la ecuación (1) y (2), para t=0, sucede lo siguiente:

$\dst i_0=\ee^k$

$\dst i_0=k_1$

y al reemplazarlo en las ecuaciones de origen, ambas te quedan iguales, confirmando una verdad de perogrullo, toda función de una constante arbitraria es otra constante arbitraria (por lo menos si son continuas y monótonas, en otros casos no me animo a afirmarlo taxativamente).

Suerte