1r ciclo Diferencia de potencial en un cilindro en caída

[cv5r20]

Hola, se tiene este sistema formado por un hilo conductor por el que circula una intensidad de corriente y el cilindro de longitud L que cae por efecto de la gravedad ¿cual es el diferencial de potencial a una altura cualquiera?



Con la ley de Ampere obtenemos la expresión del campo magnético del hilo: $\bar{B}$ = $\frac{\mathrm{\mu I} }{\mathrm{2 \pi h} }$

Ahora con el flujo magnético y la formula de la fuerza electromotriz: $\Phi = \int \bar{B}d\bar{S}$ y $\varepsilon = - \frac{\mathrm{d\Phi} }{\mathrm{dt} }$

obtenemos: $\varepsilon = - \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{dt} }\int \bar{B} d\bar{S}$

¿ El área seria esta ? si esto estuviese correcto ¿cual seria la expresión del área?

[Al2000]

Re: Diferecnia potencial en un cilindro

Un par de "tips":

- Introduce una nueva variable para denotar la posición de la varilla que cae ($y$ parece lo mas natural). Si planteas el campo como función de $h$ estarías hablando de un valor puntual fijo, pues $h$ es la posición inicial.

- No intentes resolver la integral para hallar el flujo, pues esa integral no converge. Al acercarte mucho a la corriente, el campo magnético aumenta sin límite y el flujo total tiende a infinito. Mas bien plantea que si el filamento que cae está a una altura $y$ y cae una distancia $dy$, barrerá un área $L\,dy$ y en esa pequeña área el flujo será $d \Phi_B = B\,dS$.

- La única fuerza actuante sobre el filamento que cae es la fuerza de gravedad, de modo que su posición $y$ y su velocidad las puedes determinar con las ecuaciones de cinemática.

Saludos,

Al

[gdonoso94]

Re: Diferecnia potencial en un cilindro

Hola, he intentado hacer este problema por mi cuenta siguiendo las indicaciones de Al y obtengo lo siguiente, es sólo para comprobar si está bien:

$\dst B=\frac{\mu_0 I}{2\pi y}$

$\dst\Phi_B=B\dd S=\frac{\mu_o I}{2\pi y}L \dd y$

Tenemos que:

$\dst\dd y = v\dd t$

y la velocidad por cinemática:

$\dst v=-gt$


Esto implica que:

$\dst\Phi_B=-\frac{\mu_0 I}{2 \pi y}Lgt dt$

Y por tanto, la tensión será:

$\dst\varepsilon=\frac{-\frac{\mu_0 I}{2 \pi y}Lgt dt}{dt}=-\frac{\mu_0 I}{2 \pi y}Lgt$

¿Está todo correcto?

Saludos!

Actualizo: añadiendo que por cinemática

$y=h-\frac{1}{2}gt^2$

Quedaría:

$\dst\varepsilon=\frac{\mu_0 I}{2 \pi (h-\frac{1}{2}gt^2)}Lgt$

Saludos!

[cv5r20]

Re: Diferecnia potencial en un cilindro

Es correcto gracias a los dos, pero una cosa que no entiendo ¿por que la distancia y del campo magnético no cambia ala altura en el instante t ?
Otra cosa ¿por que desparece L ?

[gdonoso94]

Re: Diferecnia potencial en un cilindro

Yo no sé si está bien, sencillamente lo he hecho y he preguntado.

Creo que la y habría que sustituirla por $h-\frac{1}{2}gt^2$, pero no estoy seguro. Y lo de la L... Esque me la he comido .
Corrijo el post de arriba.

Saludos!

[Al2000]

Re: Diferecnia potencial en un cilindro

No tengo que objetar nada a lo que hiciste, sólo un par de comentarios:

- Donde pones $\Phi_B = B \, dS \cdots$ y un poco mas abajo donde vuelve a aparecer $\Phi_B$, deberías poner $d \Phi_B$.

- En el último paso, donde reemplazas $y$ por su valor en función del tiempo, debes hacer lo opuesto, eliminar $t$ de la expresión pues el enunciado pide la fem inducida como función de la altura.

Saludos,

Al

[gdonoso94]

Re: Diferecnia potencial en un cilindro

- Donde pones $\Phi_B = B \, dS \cdots$ y un poco mas abajo donde vuelve a aparecer $\Phi_B$, deberías poner $d \Phi_B$.

¿Por qué tendría que poner la d? No estoy seguro, con esa afirmación me haces dudar, pero creo que aún estoy poniendo sólo el flujo, no el diferencial de flujo, ¿no?

- En el último paso, donde reemplazas $y$ por su valor en función del tiempo, debes hacer lo opuesto, eliminar $t$ de la expresión pues el enunciado pide la fem inducida como función de la altura.

¿Entonces tendría que despejar t de la ecuación cinemática de la caída libre y sustituirlo en mi última ecuación?

Saludos y gracias!

[Breogan]

Re: Diferecnia potencial en un cilindro

Hola:

¿Por qué tendría que poner la d? No estoy seguro, con esa afirmación me haces dudar, pero creo que aún estoy poniendo sólo el flujo, no el diferencial de flujo, ¿no?

La definicion de flujo para un campo constante B sobre una superficie S es:

$\dst \Phi_B= \vec B \ \vec S$

y ahora el flujo que atraviesa una superficie diferencial (muy pequeña) también sera diferencial (muy pequeño), y valdrá:

$\dst {d \Phi_B}=\vec B {d \vec S}$

Si partís de la definición integral de flujo:

$\dst \Phi_B=\int d \Phi_B =\int \vec B d \vec S$

de la ultima es inmediato que:

$\dst {d \Phi_B}=\vec B {d \vec S}$

Simplificadamente podemos decir que es una cuestión de ordenes de magnitud.

¿Entonces tendría que despejar t de la ecuación cinemática de la caída libre y sustituirlo en mi última ecuación?

Saludos y gracias!

Correcto, y donde reemplazaste "y" por su valor dado por cinematica, tenes que dejarla.

Suerte

- - - Actualizado - - -

Hola:

Este mismo problema se puede resolver por medio de la aplicación de la Ley de Lorentz:

$\dst \vec F = q ( \vec E + \vec v \times \vec B)$

El campo magnético en la posición "y" del cilindro que cae, que acá se considera unidimensional de largo L, vale:

$\dst \boxed {\vec B=- \frac{\mu_0 I}{2\pi y} \hat i}$

y la velocidad de caida es:

$\dst \boxed {\vec v = - \sqrt{2 \ g (h - y)}\ \hat j}$

Por lo cual:

$\dst \vec F = q \left[ \vec E + \left( - \sqrt{2 \ g (h - y)}\ \hat j \right) \times \left( - \frac{\mu_0 I}{2\pi y} \hat i \right) \right]$

$\dst \vec F = q \left[ \vec E - \ \frac{\mu_0 I}{2\pi y} \ \sqrt{2 \ g (h - y)} \ \hat k \right]$

durante la caída del conductor las cargas libres se desplazan hacia un extremo de este, generando un campo eléctrico interno que se opone al movimiento de las cargas libres remanentes en el conductor, en un momento se llega a un equilibrio entre la fuerza eléctrica y la magnética que sufren las cargas, dando una fuerza neta sobre estas igual a cero, es decir:

$\vec F = \vec 0$

$\dst \vec 0 = q \left[ \vec E - \ \frac{\mu_0 I}{2\pi y} \ \sqrt{2 \ g (h - y)} \ \hat k \right]$

$\dst \vec E = \ \frac{\mu_0 I}{2\pi y} \ \sqrt{2 \ g (h - y)}\ \hat k$

y la ddp en el cilindro que cae vale:

$\dst V_L - V_0 =- \int_0^L \vec E \ d \vec l$

$\dst V_L - V_0 =- \int_0^L \left[ \frac{\mu_0 I}{2\pi y} \ \sqrt{2 \ g (h - y)}\ \hat k \right] \ \left[dz \hat k \right]$


$\dst V_L - V_0 =- \frac{\mu_0 I L}{2\pi y} \ \sqrt{2 \ g (h - y)}$

Esto es considerando que el conductor que cae es paralelo al eje z, comienza en el eje y (punto 0) y se extiende hasta z=L (punto L).

No me acuerdo si la expresión integral del potencial que puse es correcta, es que vi tantas discusiones en el foro que ya estoy confundido. Por favor si alguien puede confirmar todo el procedimiento sera agradecido.

Gracias

s.e.u.o.

Suerte

[cv5r20]

Re: Diferecnia potencial en un cilindro

Vale, ahora una solución numérica para t=3 el potencial debería ser 0.52mV ¿por que no me sale ese resultado?

[Breogan]

Re: Diferecnia potencial en un cilindro

Hola:

Faltan datos para poder contestar tu pregunta. Si podes, por favor, postea el enunciado del problema así podemos tener todos los datos , y un conocimiento cabal del enunciado y sus vericuetos.

Gracias

Suerte

[cv5r20]

Re: Diferecnia potencial en un cilindro

Cierto, I=20A ; L=0.02m; altura inicial 45m

[gdonoso94]

Re: Diferecnia potencial en un cilindro

A mi no me da 0,52 pero lo que no entiendo es por qué te piden una solución no numérica en función de la altura y una solución numérica para un tiempo determinado. ¿Puedes copiar el enunciado entero del ejercicio?

[cv5r20]

Re: Diferecnia potencial en un cilindro

Calcular la diferencia de potencial entre los dos extremos longitudinalmente del cilindro conductor de L=0.02m a los 3 segundos.