1r ciclo Determinar densidad de carga no uniforme.

[gdonoso94]

Hola, tengo el siguiente ejercicio que no sé cómo resolver:

Me dan un determinado potencial que depende del radio (es una distribución con simetría esférica):

$V(r)=\dst\frac{\rho_0a^2}{18\epsilon_0}\left[1-3\frac{r^2}{a^2}+2\frac{r^3}{a^3}\right]\qquad r\leqslant a$

$V(r)=0\qquad r> a$

Donde $\rho_0$ tiene unidades de coulomb por metro cúbico y a es una constante en unidades de metros.

Primero me pide el campo eléctrico en ambas regiones. Para ello aplico $\dst E=-\frac{\partial V}{\partial r}$ y obtengo lo siguiente:

$E(r)=\dst\frac{\rho_0a}{3\epsilon_0}\left(\frac{r}{a}-\frac{r^2}{a^2}\right)\qquad r\leqslant a$

$E(r)=0\qquad r> a$

Lo cual concuerda con la solución que me dan.

El problema surge en el siguiente apartado:

b) Obtenga una expresión para $\rho (r)$ en cada una de las regiones.

Claramente para la región de r>a es 0, pero no sé como sacarlo para la región interior. ¿Alguien puede echarme una mano?

Gracias

Saludos!

P.D: La solución que tiene que dar es:

$\dst\rho (r)=\rho_0\left[1-\frac{4r}{3a}\right]$

[Elkin]

Re: Determinar densidad de carga no uniforme.

Hola, tengo el siguiente ejercicio que no sé cómo resolver:

Me dan un determinado potencial que depende del radio (es una distribución con simetría esférica):

$V(r)=\dst\frac{\rho_0a^2}{18\epsilon_0}\left[1-3\frac{r^2}{a^2}+2\frac{r^3}{a^3}\right]\qquad r\leqslant a$

$V(r)=0\qquad r> a$

Donde $\rho_0$ tiene unidades de coulomb por metro cúbico y a es una constante en unidades de metros.

Primero me pide el campo eléctrico en ambas regiones. Para ello aplico $\dst E=-\frac{\partial V}{\partial r}$ y obtengo lo siguiente:

$E(r)=\dst\frac{\rho_0a}{3\epsilon_0}\left(\frac{r}{a}-\frac{r^2}{a^2}\right)\qquad r\leqslant a$

$E(r)=0\qquad r> a$

Lo cual concuerda con la solución que me dan.

El problema surge en el siguiente apartado:

b) Obtenga una expresión para $\rho (r)$ en cada una de las regiones.

Claramente para la región de r>a es 0, pero no sé como sacarlo para la región interior. ¿Alguien puede echarme una mano?

Gracias

Saludos!

P.D: La solución que tiene que dar es:

$\dst\rho (r)=\rho_0\left[1-\frac{4r}{3a}\right]$

Hola,

Utiliza la ecuación de Poisson, despeja la densidad de carga, en el sistema MKS esto se te reduce a derivar dos veces con respecto a $r$ al potencial, y multiplicar por $-\epsilon_0$.

saludos

[gdonoso94]

Re: Determinar densidad de carga no uniforme.

¿Existe alguna forma de hacerlo sin utilizar esa ecuación? La conozco pero no la hemos dado en clase.

[Al2000]

Re: Determinar densidad de carga no uniforme.

Usa la ecuación de Poisson, $\nabla ^2 V = -\rho/\epsilon_0$. Fíjate que en tu caso, donde sólo interviene la variable $r$, el laplaciano en coordenadas esféricas se reduce a $\dst \nabla ^2 V_{(r)} = \frac 1 {r^2} \frac d {dr} \left(r^2 \frac d {dr} V_{(r)}\right)$.

Saludos,

Al

AÑADO:

¿Existe alguna forma de hacerlo sin utilizar esa ecuación? La conozco pero no la hemos dado en clase.

Como ya tienes el campo, puedes usar el teorema de Gauss (en su forma diferencial) para hallar la densidad de carga. El teorema de Gauss sería $\boldsymbol \nabla \cdot \boldsymbol E = \rho/\epsilon_0$. De nuevo, en coordenadas esféricas y variando solamente la coordenada $r$, la divergencia del campo se reduce a $\dst \boldsymbol \nabla \boldsymbol \cdot \boldsymbol E_{(r)} = \frac 1 {r^2} \frac d {dr} \left(r^2 E_{(r)}\right)$.

Corrijo el signo menos faltante que señaló Elkin (gracias!).

[Elkin]

Re: Determinar densidad de carga no uniforme.

¿Existe alguna forma de hacerlo sin utilizar esa ecuación? La conozco pero no la hemos dado en clase.

Pues se me ocurre lo siguiente:

Como según veo este distribución de carga obviamente es esférica, podrías utilizar la ley de Gauss. Calculando el flujo en la región r=a.

El otro lado de la ley de Gauss tienes la carga encerrada, y esa carga la puedes dejar en función de la densidad de carga $\rho(r)$. Claro te quedaría una integral de volumen.

saludos

- - - Actualizado - - -

Me equivoque, el laplaciano no se reduce a derivar dos veces, sino como dice Al2000. Aunque le faltó un menos en la ecuación de Poisson.

saludos

[gdonoso94]

Re: Determinar densidad de carga no uniforme.

Muchas gracias a los dos. Me apunto el truco de la ecuación de Poisson. Además no había caído en usar el teorema de Gauss en forma diferencial.

Saludos!