1r ciclo Potencial de un cilindro en todo el espacio

[gdonoso94]

Hola, tengo el siguiente ejercicio que no consigo resolver, bueno sí, pero no me convence mi procedimiento:

Calcular el potencial creado por un volumen cilíndrico muy largo de radio a, en el que se halla distribuida uniformemente una carga positiva, conociendo la carga por unidad de volumen $\rho$; en puntos situados a una distancia r del eje en los siguientes casos: 1) r>a; 2) r<a. (Tomar el potencial cero en la superficie del cilindro)

El problema en sí no tiene ninguna dificultad: calculo campo eléctrico e integro. Pero no consigo hacerlo ya que me dice que tome el potencial cero en la superficie del cilindro. Para el potencial en el exterior obtengo esto:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Lo cual me parece bastante raro. En cuanto al potencial en el interior del cilindro no sé como hallarlo. ¿Alguien me puede echar una mano? ¿Cómo hago para referir el cero a un punto concreto? No consigo entenderlo por mi propia cuenta, a ver si podéis ayudarme por aquí.

¡Muchas gracias!

Saludos.

[arivasm]

Re: Potencial de un cilindro en todo el espacio

La vía es claramente la que indicas. Pero el camino más directo es el teorema de Gauss. En el exterior del cilindro, tomando como gaussiana un cilindro concéntrico de radio r tenemos que $\dst E 2\pi r L =\frac{\rho \pi a^2 L}{\epsilon_0}$, de manera que $\dst E=\frac{\rho a^2}{2 r\epsilon_0}$, con lo que $\dst V=-\frac{\rho a^2}{2\epsilon_0}\ln \frac{r}{a}$, como has escrito.

Para el interior es parecido, incluso más sencillo: el primer cambio está en la aplicación del teorema de Gauss $\dst E 2 \pi r L =\frac{\rho \pi r^2 L}{\epsilon_0}$, con lo que $\dst E=\frac{\rho}{2\epsilon_0}r$. El resto es bastante directo.

[Al2000]

Re: Potencial de un cilindro en todo el espacio

...
¿Cómo hago para referir el cero a un punto concreto? No consigo entenderlo por mi propia cuenta, a ver si podéis ayudarme por aquí.
...

Añadiendo a lo que te responde Antonio, el cálculo es siempre el mismo: $\dst V_{(r)} - V_0 = - \int_{r_0}^{r}\!\! E_{(r)}\, dr$ (para un campo que sólo varía con $r$). En tu caso lo que quieres es que el potencial de referencia $V_0$ valga cero cuando la coordenada de referencia $r_0$ valga $a$.

Saludos,

Al

[gdonoso94]

Re: Potencial de un cilindro en todo el espacio

Sigo sin entenderlo. ¿Para el interior del cilindro no sería el potencial del exterior más el potencial del interior? ¿O eso es sólo cuando el origen de potenciales está en el infinito?

[Al2000]

Re: Potencial de un cilindro en todo el espacio

La verdad, verdad, es que tu pregunta no tiene mucho sentido (o al menos yo no se lo consigo)... no puede ser el potencial en el interior igual al potencial en el exterior + el potencial en el interior, como no sea que el potencial en el exterior sea idénticamente nulo en todos los puntos. Lo lamento, en verdad no veo por donde van los tiros.

En cualquier caso, te remito a lo básico y es que lo que se define (lo único que se puede definir) es la diferencia de potencial entre dos puntos, como el trabajo por unidad de carga necesario para llevar una carga puntual positiva desde un punto hasta el otro. Cuando deseas (por comodidad) hablar de potencial en un punto, lo que haces es fijar un punto como referencia y calcular el trabajo necesario para llevar la carga puntual desde este punto de referencia hasta el punto de interés. Ese trabajo por unidad de carga es precisamente la expresión que te puse en mi mensaje anterior.

Saludos,

Al

[gdonoso94]

Re: Potencial de un cilindro en todo el espacio

A ver, por ejemplo, tenemos dos esferas huecas concéntricas de radios a y b, con carga volumétrica dentro de la esfera interior y la esfera exterior posee una carga superficial. El campo no es el mismo en todos los puntos, por tanto el potencial en el exterior será (tomando como origen de potenciales el infinito):

$V=\int_r^{\infty} E_{ext}dr$

Ahora bien, entre las dos esferas hay otro campo distinto, por tanto el potencial será:

$V=\int_b^{\infty} E_{ext}dr+\int_a^{r} E_{entreayb}dr$

¿Me explico? Entonces mi pregunta viene por eso mismo, ¿el potencial no sería la suma de los potenciales?

[Al2000]

Re: Potencial de un cilindro en todo el espacio

¿Y la primera integral, $\int_b^{\infty} E_{ext}dr$, es lo que llamabas antes el "potencial exterior"? Porque en todo caso sería el potencial en la superficie de la cáscara de radio $b$ y lo que estarías haciendo es calcular el potencial en puntos interiores en dos etapas: trabajo para llegar desde el infinito (referencia) hasta la superficie del cascarón + trabajo para llegar desde la superficie del cascarón hasta un punto interior. Pero si tu elijes la superficie del cascarón como referencia, entonces no tendrías que determinar su potencial, pues lo habrías fijado en cero y el cálculo se reduciría a la segunda integral.

Saludos,

Al

PD. Corrijo tu expresión, que debería ser $V=\int_b^{\infty} E_{ext}dr+\int_r^{b} E_{entreayb}dr$