Otras carreras circuito estable e inestable

[LauraLopez]

Encuentre un valor para R para el cual el circuito sea estable y otro para el cual sea inestable. Suponga R >0.

La verdad que no se como resolverlo, este ejercicio se corresponde con el tema de "polos y estabilidad" en el capitulo de dominio-s de mi libro.

En el libro dice :

"Para cualquier circuito lineal, podemos eliminar las fuentes independientes y escribir un conjunto complejo de ecuaciones de analisis de red, sea este analisis de malla o nodal, en el dominio-s. Para ser mas especificos,supongamos que se eligio el analisis de malla. Las ecuaciones seran de la forma :

$\dst M(s) I (s) = {V}_{IC } (s)$

Donde I(s) es el vector de corrientes de malla desconocidas, $\dst {V}_{IC } (s)$ es el vector de los terminos de fuente del generador de condiciones iniciales , y M(s) es la matriz cuadrada de conexion. Los valores de s para los que el determinante de M(s) es igual a cero, se conocen como polos del circuito "


Bueno entonces creo que el primer paso para resolver el ejercicio es pasar el circuito al dominio s , y formar esas matrices para encontrar el determinante de la misma y ver los valores para los que el determinante se hacen cero y asi poder obtener los polos del circuito.

No me doy cuenta como formar esas matrices.....y a decir verdad tampoco recuerdo como se calculaba luego el determinante...

Por ultimo los polos del circuito supongo me quedaran en funcion de R y ahi podre decidir para que valores de R dicho polo sera estable o inestable ya que un circuito es estable si todas las respuestas naturales en el circuito decaen acero respectoal tiempo.Puesto que unicamente los polos del circuito con partes reales negativas producen respuetas naturales que decaen a cero, la estabilidad de un circuito es equivalmente a Re p <0.

O sea si la parte real del polo es negativa entonces el circuito es estable, sino es inestable.

La seguna imagen es como quedaria el circuito pasado al dominio -s. El generador de condiciones iniciales de la inductancia vale $\dst i_L (0-)$ y el del capacitor vale $\dst \frac{v_c ({0}^{- })}{s }$.
El capacitor vale 1/2s y la inductancia vale s

No se si es necesario eso de encontrar las matrices.....pero la idea es encontrar los polos por lo visto y nose como hacerlo.

Adjunto 2 imagenes que son un ejemplo de un ejercicio que se resuelve usando esto de polos, en este caso plantea las matrices y calcula el determinante, creo que deberia hacer algo similar, solo que en mi ejercicio como tengo una fuente de corriente dependiente de voltaje en lugar de armar una matriz de las corrientes I deberia armar una matriz con los voltajes? o sea aplicar analisis nodal?

Bueno espero alguien me pueda ayudar a resolverlo.

Gracias!

PD: la fuente de voltaje dependiente vale 3 v1 donde v1 es el valor que se marca sobre la inductancia de 1 H

[arivasm]

Re: circuito estable e inestable

Yo lo abordé del siguiente modo: Tomé dos intensidades de malla, I_1 e I_2 (concretamente tomé I_1 en la malla superior y en sentido horario e I_2 en la malla inferior y en sentido antihorario); al aplicar KVL en dominio s a cada malla tienes dos expresiones en las que aparecen ambas intensidades y los valores iniciales de la inducción y el condensador. Despejando éstas (espero no haberme equivocado -de todos modos servirá para ilustrar el método-) me quedó

$\dst i_{L,0}=-\frac{1}{3}I_1+sI_2$
$\dst v_{c,0}=-s\left(R+\frac{1}{3}\right) I_1 - s\left(\frac{1}{2s}+2+R\right)I_2$

En forma matricial sería

$\dst \begin{pmatrix}i_{L,0}\\v_{c,0}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-\frac{1}{3}&s\\-s\left(R+\frac{1}{3}\right) & - s\left(\frac{1}{2s}+2+R\right)\end{pmatrix}\begin{pmatrix}I_1\\I_2\end{pmatrix}$

La idea del ejercicio está en que para despejar el vector de intensidades en función de las condiciones iniciales debería hacerse la inversa de la matriz 2x2, lo que requiere que su determinante sea no nulo. Por ese motivo debemos ver para qué valores de R existen rangos de s para los cuales el determinante es nulo, es decir, hacemos

$\dst \det\begin{pmatrix}-\frac{1}{3}&s\\-s\left(R+\frac{1}{3}\right) & - s\left(\frac{1}{2s}+2+R\right)\end{pmatrix}=0$

Recuerda que

$\dst \det\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}=ad-bc$

por lo que en nuestro caso

$\dst \frac{1}{3}s\left(\frac{1}{2s}+2+R\right)+s^2\left(R+\frac{1}{3}\right)=0$

De esta manera tenemos una ecuación de segundo grado

$(3R+1)s^2+(R+2)s+\frac{1}{2}=0$

que tendrá soluciones reales para s si $R^2-8R+2\geq 0$ (por ejemplo, si R=8 ohm) y complejas si $R^2-8R+2<0$ (por ejemplo si R=4 ohm). Por tanto, en el primer caso habrá valores de s para los cuales la matriz anterior no tiene inversa lo que significa que no habrá solución para las intensidades de malla (y entonces el circuito es inestable), mientras que en el segundo para todos los valores reales de s la matriz tiene inversa, lo que significa que sean cuales sean las condiciones iniciales se podrán encontrar las intensidades de malla.

Como dije, espero no haberme equivocado, pero que en cualquier caso el mensaje sirva para ver por dónde va el ejercicio.

[LauraLopez]

Re: circuito estable e inestable

mmmm a decir verdad entiendo muy poco de lo que hiciste en este hilo....

por empezar cuando decis que tomas las 2 mallas y aplicas KVL, como son esas ecuaciones?

Para la malla superior no se me ocurre como armar la ecuacion de malla,

para la inferior creo que quedaria asi :

$\dst \frac{v_c({0}^{- })}{ s} + 2 I_2 + R I_2 +s I_2 - i_L ({0}^{- }) - \frac{1}{2s } I_2 = 0$

Esta bien esa ecuacion? Nunca me aparece un numero 1/3 como veo que te aparece a vos de donde sale ese numero? si no hay ninguna impedancia con ese valor...igual si despejo v_c de esa ecuacion mia no llego a la tuya...

Como armas luego la matriz? como es la forma de armar las matrices esas? Cada una de ellas tiene un nombre? Esta usando la misma formula que puse en el primer post?

En un momento hablas de la inversa de la matriz...porque hay que calcular la inversa de la matriz? y porque la inversa dela matriz es cuando el determinante es no nulo, si lo que terminas haciendo es calcular el determinante igualado a cero....

De donde sale esta ecuacion? ???

No entiendo cual es la relacion entre que haya o no soluciones reales o complejas y la inversa de una matriz, y mucho menos como relacionar eso con si el circuito sera estable o inestable....

Al hacer el determinante lo que debo encontrar no son los polos?? y en funcion de si los polos tienen parte real negativa o positiva ahi determinar si hay estado estable o inestable? No hace asi el ejemplo?

[arivasm]

Re: circuito estable e inestable

En la malla de arriba tan sólo tenemos que $I_1=3v_1$, pero $v_1=I_2s-i_{L,0}$

En la ecuación de la malla inferior te falta tener en cuenta que R está afectada por las dos intensidades de malla.

Si no cometí errores, que sabes que lo hago con frecuencia, el 1/3 y todo lo demás resulta al despejar las fuentes. Por cierto que me he fijado que no es imprescindible despejar las fuentes, como hice yo, sino que basta con dejar a un lado de las igualdades términos en los que únicamente aparezcan las fuentes. Por ejemplo, podríamos manejar las igualdades de esta manera:

$\dst 3i_{L,0}=-I_1+3sI_2$
$\dst i_{L,0}-\frac{v_{c,0}}{s}=I_1R+I_2\left(2+R+s+\frac{1}{2s}\right)$

y manejar la matriz de coeficientes del lado derecho, es decir, estudiar los valores de R que hacen que haya valores de s tales que

$\dst \det\begin{pmatrix}-1&3s\\R&2+R+s+\frac{1}{2s}\end{pmatrix}=0$

Por lo que se refiere a la matriz inversa no es necesario calcularla, sólo justificaba por qué se busca que el determinante de la matriz sea 0. Si es así entonces la matriz no tiene inversa y no sería posible despejar las I en el sistema de ecuaciones. Lo de la ecuación para la R sale de la raíz cuadrada que aparecerá al resolver la ecuación de segundo grado en s.

De todos modos, es posible que el enfoque final deba ser otro (según dices cuando hablas de los polos). Si te parece, una vez que tengas la ecuación que resulta de que sea nulo el determinante comentamos todo eso (y así aprendo).

[LauraLopez]

Re: circuito estable e inestable

Tu primera ecuacion coincido, la segunda difieron en un signo :



en lugar de eso yo el termino 1/2s lo tengo con un signo menos:

Viene de despejar de esta ecuacion de malla :

$\dst \frac{v_c}{s } + 2 I_2 + R (I_1 + I_2) + s I_2 - i_L - \frac{1}{2s } I_2 = 0$

Puede ser que te hayas confundido con ese signo? o tengo mal esta ecuacion?

Cuando decis : Si es así entonces la matriz no tiene inversa y no sería posible despejar las I en el sistema de ecuaciones

No me quedo claro cuando es que la matriz no tiene inversa? cuando el determinante es cero o cuando es distinto de cero? cuando no es posible encontrar I? cuando el determinantes es cero o cuando no es cero? Igualmente lo que se hace es igualar el determinante a cero no? No me queda bien claro el porque es esto, si es porque asi tiene inversa o si es porque asi NO tiene inversa, y que implica el tener o no inversa...

Luego una vez que tengo las 2 ecuaciones que en este caso serian :

$\dst 3 i_L(0) = - I_1 + 3 s I_2$ (1)

$\dst i_L(0) - \frac{v_c(0)}{s } = I_1 R + I_2 \left( 2+R+s-\frac{1}{2s }\right)$ (2)

O la ecuacion que vos decias si es que yo tengo mal el signo.

Lo que debo hacer ahora es armar 3 matrices ,una que se llama M(s) ,otra que se llama I(s) y otra que se llama $\dst {V}_{IC }(s)$ como explique en el primer post no?

De forma que $\dst M(s)I(s)= {V}_{IC } (s)$

Luego la matriz M(s) es la matriz sobre la que se aplica el determinante igualado a cero no?

Al hacer esto (usando la formula que yo digo) tengo :


$\dst -1 (2+R+s-\frac{1}{2s }) - 3Rs = \frac{(-6R-2) s^2 - (4+2R) s + 1}{2s }$

Y los valores de s para los que este determinante es cero serian los polos del circuito.

$\dst \frac{(-6R-2) s^2 - (4+2R) s + 1}{2s } = 0$

Te parece que este bien esa ecuacion?

Luego como hago para obtener los polos?

De paso te pregunto que significado fisico tienen los polos de un circuito? o sea cual es la definicion de un polo de un circuito?

[arivasm]

Re: circuito estable e inestable

en lugar de eso yo el termino 1/2s lo tengo con un signo menos

No veo la razón por la que haya que aplicar $v=Iz$ con un signo menos si se está haciendo el recorrido en el mismo sentido que tiene la intensidad. De ser así habría que hacer lo mismo con las demás impedancias, 2, s y R.

cuando es que la matriz no tiene inversa? cuando el determinante es cero o cuando es distinto de cero?

Cuando es cero. Una matriz con determinante nulo no tiene inversa.

que implica el tener o no inversa...

El sistema de ecuaciones lo hemos escrito de este modo: $M\vec I=\vec V$, donde M es la matriz de coeficientes del sistema, $\vec I$ es el vector formado por las intensidades de malla y $\vec V$ es el vector formado por las fuentes (o cualquier combinación de las mismas, como comenté en el mensaje anterior). Lógicamente, el problema es encontrar las intensidades a partir del conocimiento de las fuentes, eso significa que deberá ser posible obtener $\vec I=M^{-1}\vec V$, para lo que es necesario que $\det(M)\neq 0$.

De todos modos, estoy pensando que el análisis no puede ser tan simple como el que hice anteriormente, y que seguramente habrá que recurrir a determinar autovalores de la matriz y cosas así (porque imagino que más bien es un problema de sistemas de ecuaciones diferenciales). Por tanto, casi mejor espero a que me cuentes qué te pone al respecto en tu libro/apuntes.

Y los valores de s para los que este determinante es cero serian los polos del circuito.



Te parece que este bien esa ecuacion?

Sí, siempre y cuando esté bien la ecuación en la que tenemos discrepancias.

Luego como hago para obtener los polos?

De paso te pregunto que significado fisico tienen los polos de un circuito? o sea cual es la definicion de un polo de un circuito?

Si te parece, esperamos a que me cuentes lo que te dice tu libro, o que algún compañero del foro nos lo aclare.

- - - Actualizado - - -

He visto por la red que se menciona la condición de que el polinomio no tenga raíces complejas con parte real positiva, que es algo que mencionaste en #3. Entonces bastará con escribir la solución en s de la ecuación de segundo grado que resulta al hacer cero el determinante y ver qué debe pasar con R para que se cumpla o no esa condición.

Si la ecuación en la que tenemos discrepancia no es la que has puesto tú, sino la que puse yo, entonces sería $(1+3R)s^2+(2+R)s+\frac{1}{2}=0$, cuyas soluciones son

$\dst s=\frac{-(2+R)\pm\sqrt{(2+R)^2-2(1+3R)}}{2(1+3R)}=\frac{-2-R\pm\sqrt{R^2-2R+2}}{2+6R}$

Entiendo que el enunciado se conforma con que se busque a ojo, más que a través de un análisis exhaustivo, valores de R que hagan que esta s tenga parte real positiva (inestables) o negativa (estable).

Por ejemplo, con R=1 sale un valor negativo y entonces el circuito sería estable. Claro que me temo que nos pasará lo mismo con todos los R>0...

[LauraLopez]

Re: circuito estable e inestable

Con respecto a la ecuacion en la que diferimos en el signo , creo que vos tenes razon...

Cuando me preguntas sobre la forma que plantea mi libro para resolver el ejercicio, es la que comento en el post 1. Hacer el determinante de la matriz igualado a cero y de esa ecuacion encontrar los polos ( las racices) que pueden ser complejas o reales, da igual ya que luego lo que hay que hacer es tomar la parte real de esos polos y ver si la misma es negativa y positiva y en base a eso concluir si el circuito es estable o inestable respectivamente.

Usando la ecuacion que vos decis coincido en tus resultados y creo que aplicaste bien el metodo ya que el enunciado plantea encontrar UN valor R para el cual el circuito sea estable y UN valor de R para el que sea inestable,asi que debe estar bien eso de buscar los R a "ojo".

Tambien me llama la atencion que no existe un valor de R para el cual el circuito sea inestable ( el enunciado exige R mayor o igual a cero ).

Asi que o venimos arrastrando algun error o es un error del enunciado, en ambos casos lo importante es que logre aprender como se aplica este metodo ( o logramos? me asombra tus ganas de aprender a pesar de ya saber taaaaaanto ) asi que a menos que algun otro forero pueda aportarnos algo o que vos tengas un "as bajo la manga" y se te ocurra un posible error yo ya me conformo con la solucion que encontramos