Otras carreras convolucion

[LauraLopez]

Encuentre la convolucion $\dst v_o(t) = \int_{-\infty}^{\infty} h(\tau) v_i(t-\tau) d \tau$ de las funciones de la figura .

La figura de la izqueirda es $\dst v_i(t)$ y se muestra un rectangulo donde el valor en el eje vertical es 1, y los valores en el eje horizontal son 1 y 3.

La figura de la derecha es h(t) donde los valores mostrados son el numero 4 en ambos ejes.

El ejercicio lo tengo resuelto pero no comprendo como lo hace el libro....

Primero dice : Graficar $\dst v_i(t-\tau)$ y el grafico de esto es la segunda imagen que adjunto.

Y divide en regiones,

REGIO I: Corresponde a lugares del pulso cuadrado,es decir, valores de t para los que el pulso esta enteramente a la izquierda del rango no nulo de valores de $\dst h (\tau)$ : No hay traslapamiento para ninguna $\dst \tau$, de forma que el producto de estas 2 funciones y el area bajo la curva del producto es cero.

$\dst v_0(t) = t-1 <0$

REGION II: t-1>0, de forma que hay traslapamiento , pero t-3<0 de forma que el traslapamiento es parcial (tercera imagen )

y dice que : $\dst v_0(t) = \frac{1}{2 } (t-1)^2$ 1 < t < 3

No entiendo como forma esa funcion.....como llega a esa ecuacion de$v_o(t)$ ?

REGION III: El traslapamiento esta completo, con t-1<4 pero t-3>0.(cuarta imagen )

y dice que Area= $\dst \left( \left[ t-1\right] - \left[ t-3\right] \right) (t-3) + \frac{1}{2 } \left( \left[ t-1\right] \left[ t-3\right] \right)^2$

o $\dst v_0(t) = 2 (t-2)$ , 3 < t < 5

Aca tampoco entiendo como forma esa area y como llega a la ecuacion de v_0(t) y porque los intervalos son t-1<4 y t-3>0...

Gracias

[arivasm]

Re: convolucion

Antes de nada, fíjate en que $h(\tau)=\tau$.

REGION II: t-1>0, de forma que hay traslapamiento , pero t-3<0 de forma que el traslapamiento es parcial (tercera imagen )

y dice que : $\dst v_0(t) = \frac{1}{2 } (t-1)^2$ 1 < t < 3

No entiendo como forma esa funcion.....como llega a esa ecuacion de$v_o(t)$ ?

Fíjate que la función v_i multiplicará por 0 o por 1. Como te indica el lado izquierdo del segundo dibujo, multiplicará por 1 entre t-3 y t-1; fuera de ese intervalo multiplica por 0. Como multiplicar por 1 significa "dejarlo como esté" y multiplicar por 0 es convertir en 0, en esta región tendremos que sólo quedará como está entre t-3 (pero hasta t=0 la función h vale 0) y t-1. Desde t-1 en adelante v_i multiplicará por 0. Por tanto, hay que hacer la integral de una función que es igual a $\tau$ entre 0 y t-1. Fuera de esa zona vale 0. El resultado de la integral es $\dst\left.\frac{\tau^2}{2}\right]_0^{t-1}=\frac{1}{2}(t-1)^2$.

REGION III: El traslapamiento esta completo, con t-1<4 pero t-3>0.(cuarta imagen )

y dice que Area= $\dst \left( \left[ t-1\right] - \left[ t-3\right] \right) (t-3) + \frac{1}{2 } \left( \left[ t-1\right] \left[ t-3\right] \right)^2$

o $\dst v_0(t) = 2 (t-2)$ , 3 < t < 5

Aca tampoco entiendo como forma esa area y como llega a la ecuacion de v_0(t) y porque los intervalos son t-1<4 y t-3>0...

Es exactamente igual que antes. La única diferencia es que la "región que queda igual" corresponde a una zona de valor $\tau$ y entonces la integral vale $\dst\left.\frac{\tau^2}{2}\right]_{t-3}^{t-1}$. Aplicando la regla de Barrow, eso es $\dst\frac{(t-1)^2}{2}-\frac{(t-3)^2}{2}$. El resto es operar.