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[LauraLopez]

Encuentre la convolucion de las funciones f(t) y g(t) que se muestran.

Bueno la primera duda que tengo es que en la teoria encontre 2 formulas que definen la convolucion.

(1) $\dst v_0(t) = \int_{-\infty}^{\infty} f(\tau) g(t-\tau) d\tau$

(2) $\dst L\left[ \int_{-\infty}^{\infty} f(\tau) g(t-\tau) d\tau\right] = F(s) G(s)$

Entonces mi primer duda es si debo resolver el ejercicio usando la formula (1) o la (2). Hay diferencia en resolverlo de una u otra forma? Si son 2 metodologias distintas me gustaria intentar hacer ambas.

Ademas antes que nada lo primero que tengo que hacer es expresar las fuenciones en intervalos no?

La f(t) creo que seria asi :

f(t) = $\dst u(t-2)-u(t-3)$ 2 < t < 3 , 2 $\delta$ t=1 , 0 para los demas t

Esa flechita para arriba representa la funcion impulso y se muestra que llega hasta el valor 2, esta bien defnirla asi como hice?

y la g(t)seria:

g(t)= 2 para 0<t<1 y cero para el resto de los valores

Hacerlo por medio de regiones usando la formula (1) al estilo de este hilo : http://forum.lawebdefisica.com/threa...14-convolucion parece medio dificil en este caso....si es que se hace asi no logro hacerlo...

Gracias

PD: como se hace para hacer la "llave grande" que se suele usar para definir una funcion por partes?

[Arahuan]

Re: Ejercicio de convolucion

Sobre las dos formulas que mencionas, la primera es la definición de la operación de convolución, la segunda es la tranformada de Laplace de dos funciones convolucionadas la cual es igual al producto de las transformadas de las funciones. Este último se conoce como teorema de convolución.

Lo primero es interpretar que limites deben colocarse en la integral que esta definiendo tu convolución, para esto puedes imaginarte que la segunda gráfica a sido reflejada respecto al eje “y” (es decir tienes una gráfica invertida horizontalmente), si pudieses tomar este eje “y” de la gráfica invertida horizontalmente y la desplazaras sobre el eje “x”, entonces el empalme de estas dos gráficas te dará una idea de los dominios de integración.

Si las funciones no están definidas en todos los reales entonces se considera que la función adopta el valor de 0 para el resto de los reales, este es tu caso.

Es normal encontrar esta operación asociada a la transformada de Laplace o la transformada de Fourier.

Te recomiendo que mires un video (no es difícil de entender pero se necesita imágenes para ilustrar esto), donde se pueda ilustrar como se obtienen los dominios de integración y mires las propiedades de la convolución (en especial convolución con un impulso).

[LauraLopez]

Re: Ejercicio de convolucion

Mucho no comprendi en cual es la forma a seguir para resolver el ejercicio.... lo debo hacer con la formula (1)? o con la formula (2)? o se puede hacer con ambas?

Eso de invertir la funcion para que se hace? si uso ya sea la formula (1) o (2) no tendria que simplemente una de ellas desplazarla en el eje horizontal? como plantea la funcion g de esa formula?

[Breogan]

Re: Ejercicio de convolucion

Hola:

Encuentre la convolucion de las funciones f(t) y g(t) que se muestran.

Bueno la primera duda que tengo es que en la teoria encontre 2 formulas que definen la convolucion.

(1) $\dst v_0(t) = \int_{-\infty}^{\infty} f(\tau) g(t-\tau) d\tau$

(2) $\dst L\left[ \int_{-\infty}^{\infty} f(\tau) g(t-\tau) d\tau\right] = F(s) G(s)$

Entonces mi primer duda es si debo resolver el ejercicio usando la formula (1) o la (2). Hay diferencia en resolverlo de una u otra forma? Si son 2 metodologias distintas me gustaria intentar hacer ambas.

La formula (1) es la definición de convolución y partiendo de esta y aplicando las propiedades de la transformada de Laplace llegas a la ecuacion (2).
No son dos definiciones independientes, la definición es la (1), la (2) es una consecuencia de la (1) y de las propiedades de la transformada de Laplace.

Para hallar el producto de convolución de dos funciones f(t) y g(t) podes usar la definición:

$\dst f(t)*g(t)=\int_{-\infty}^{\infty}f(\tau) g(t-\tau) d \tau$

haciéndolo así estas trabajando siempre en el dominio temporal.

Otra forma de hacerlo es aplicando la formula (2), para las mismas f(t) y g(t) cuyas transformadas son F(s) y G(s) tenes que por (2):

$\dst \mathcal {L} [f(t)*g(t)]=\mathcal {L} \left[ \int_{-\infty}^{\infty}f(\tau) g(t-\tau) d \tau \right]=F(s) G(s)$

una vez que tenes el producto F(s) G(s), le aplicas la anti-transformada y se obtiene el producto de convolución, es decir:

$\dst \mathcal {L}^{-1} [F(s) G(s)]=f(t)*g(t)$

en este método se parte del dominio en el tiempo, se pasa al dominio de la transformada y luego se vuelve al dominio en el tiempo.

Ambos métodos son equivalentes, dan el mismo resultado (siempre y cuando que se puedan resolver en ambos dominios).
Se usa uno u otro por comodidad, y en algunos casos, por dificultades matemáticas en la resolución de integrales o en las transformadas, algunos problemas solo se pueden resolver en uno u otro dominio.

La f(t) creo que seria asi :

f(t) = $\dst u(t-2)-u(t-3)$ 2 < t < 3 , 2 $\delta$ t=1 , 0 para los demas t

Esa flechita para arriba representa la funcion impulso y se muestra que llega hasta el valor 2, esta bien defnirla asi como hice?

La función impulso, si es la delta de Dirac (casi seguro que si), no esta acotada, cuando no es cero tiene un valor infinito, es decir:

$\dst \delta(x-x_0)=\left\{ \begin{aligned} & \infty \quad para \ x=x_0 \\ & 0 \quad para \ x \neq x_0 \end{aligned}$

y una de sus propiedades es:

$\dst \int_{-\infty}^{\infty} \delta (x-x_0) dx=1$

si se me permite aconsejar, te recomiendo que busques información de la delta de Dirac en la Web (p.e. la Wiki).

La f(t) la podes expresar como una suma de funciones (creo que se llaman extendidas) como hiciste vos, y entonces quedaría:

$\dst f(t)=2 \delta(t-1)+u(t-2)-u(t-3) \quad para \ todo \ t$

o la podes definir por partes:

$\dst f(t)= \left\{\begin{aligned} & 0 \quad para \ t<1 \\ & 2 \delta(t-1) \quad para \ t=1 \\ & 0 \quad \ para \ 1<t<2 \\ & 1 \quad para \ 2 \leqslant t \leqslant 3 \\ & 0 \quad para \ t>3 \end{aligned}$

si no me equivoque.

y la g(t)seria:

g(t)= 2 para 0<t<1 y cero para el resto de los valores

Para la g(t) es lo mismo, la podes definir por partes o usando las funciones extendidas (escalon, rampa, delta, etc.)

$\dst g(t)= 2 \left[ u(t) - u(t-1) \right] \quad para \ todo \ t$

$\dst g(t) = \left\{ \begin{aligned} & 0 \quad para \ t<0 \\ & 2 \quad para \ 0 \leqslant t \leqslant 1 \\ & 0 \quad para \ t>1 \end{aligned}$

PD: como se hace para hacer la "llave grande" que se suele usar para definir una funcion por partes?

Para hacer la llave grande podes usar \left\{ seguido de un texto en multilinea, en este post tenes dos ejemplos (hace doble clik sobre ellos y te aparece un recuadro con el código), también podes consultar en http://forum.lawebdefisica.com/threa...n-los-mensajes

s.e.u.o.

Suerte

[LauraLopez]

Re: Ejercicio de convolucion

Entonces tengo 2 formas de resolver el ejercicio como pensaba. Me interesa poder resolverlo de ambas formas. Primero quiero empezar con la forma (1) que seria en el dominio de tiempo, lo que tengo que hacer es ir calculando esa integral en distintas regiones no?

No entiendo porque decis que la funcion impulso vale infinito si en el dibujo se marca un numero 2, que representa ese numero 2 entonces? si en definitiva vale infinito?

La g(t) la tengo que expresar como $g(t- \tau)$ me quedria asi ?

[FONT=Verdana]
[/FONT]
$\dst g(t) = \left\ { \begin{aligned} & 0 \quad para \ \tau<t \\ & 2 \quad para \ t \leqslant \tau \leqslant t- \tau \\ & 0 \quad para \ \tau > 1 \end{aligned}$

No se porque no me aparece dibujada la llave.


Tengo que ir formando regiones donde se hace la convolucion? no me doy cuenta de como saber cuales serian las diferentes regiones

[Breogan]

Re: Ejercicio de convolucion

Hola:

Disculpa la demora, pero como te dije en un mensaje privado es un tema que no domino y se me dificulta avanzar. Seria un golazo si alguien mas pudiera ayudarnos.

Entonces tengo 2 formas de resolver el ejercicio como pensaba. Me interesa poder resolverlo de ambas formas. Primero quiero empezar con la forma (1) que seria en el dominio de tiempo, lo que tengo que hacer es ir calculando esa integral en distintas regiones no?

Tengo que ir formando regiones donde se hace la convolucion? no me doy cuenta de como saber cuales serian las diferentes regiones

La g(t) la tengo que expresar como $g(t- \tau)$ me quedria asi ?

$\dst g(t) = \left\{ \begin{aligned} & 0 \quad para \ \tau<t \\ & 2 \quad para \ t \leqslant \tau \leqslant t- \tau \\ & 0 \quad para \ \tau > 1 \end{aligned}$

Bueno el tema de las regiones se me hace difícil de interpretar sin algún dibujo de referencia, así que sabrás disculpar el largo del post y si hay algún error involuntario en el.

Empecemos por el principio, las funciones originales son (donde sin agregar ni quitar nada cambie el nombre de la variable t por t'):

$\dst f(t')= \left\{\begin{aligned} & 0 \quad para \ t'<1 \\ & 2 \delta(t'-1) \quad para \ t'=1 \\ & 0 \quad \ para \ 1<t'<2 \\ & 1 \quad para \ 2 \leqslant t' \leqslant 3 \\ & 0 \quad para \ t'>3 \end{aligned}$$, \quad \dst g(t') = \left\{ \begin{aligned} & 0 \quad para \ t'<0 \\ & 2 \quad para \ 0 \leqslant t' \leqslant 1 \\ & 0 \quad para \ t'>1 \end{aligned}$

dichas funciones originales estan representadas en la figura 1:

Si ahora hacemos un cambio de variables $t'=\tau$ para la función f(t') nos queda representada en la figura 2:


$\dst f(\tau)= \left\{\begin{aligned} & 0 \quad para \ \tau<1 \\ & 2 \delta(\tau-1) \quad para \ \tau=1 \\ & 0 \quad \ para \ 1<\tau<2 \\ & 1 \quad para \ 2 \leqslant \tau \leqslant 3 \\ & 0 \quad para \ \tau>3 \end{aligned}$

En la función g(t') hacemos el cambio de variable $t'=t-\tau$ y su expresión queda:

$, \quad \dst g(t-\tau) = \left\{ \begin{aligned} & 0 \quad para \ t<\tau \\ & 2 \quad para \ t-1 \leqslant \tau \leqslant t \\ & 0 \quad para \ \tau<t-1 \end{aligned}$

Aca hay una diferencia con tu post anterior, no se exactamente como lo hiciste (o si el error es mio ) pero solo hay que reemplazar en las condiciones $t$ por $t-\tau$ y despejar.

La representación de $g(t-\tau)$ esta en la figura 3, esta presentada como en algunos libros, primero la $g(-\tau)$ (a la izquierda) y luego a esta se le suma un desplazamiento t para obtener la $g(t-\tau)$ final (que es la que esta dibujada en rojo a la derecha), en definitiva es hacer el cambio de variable que ya mencione.

También en el dibujo de la derecha hice coincidir el dibujo con un desplazamiento t=-1 como ejemplo, con lo cual la ecuación queda:

$, \quad \dst g(-1-\tau) = \left\{ \begin{aligned} & 0 \quad para \ -1<\tau \\ & 2 \quad para \ -2 \leqslant \tau \leqslant -1 \\ & 0 \quad para \ \tau<-2 \end{aligned}$

que coincide con lo dibujado.

Ahora queda encontrar las regiones de integración, los cuales estan representados en las siguientes figuras (4 a la 9).

Por ahora dejo acá por que estoy cansado, y para que lo mires y veas si hay algún error o si te queda alguna duda. Es al pedo avanzar mas si lo anterior esta mal.

No entiendo porque decis que la funcion impulso vale infinito si en el dibujo se marca un numero 2, que representa ese numero 2 entonces? si en definitiva vale infinito?

Mira esta pagina de la Wiki donde se explican las propiedades de la delta de Dirac.

No se porque no me aparece dibujada la llave.

Te sobra un espacio antes de la llave; vos escribiste \left\ { , y se debe escribir \left\{. En la cita en mi post ya lo saque.

Espero se entienda.

s.e.u.o.

Suerte

[LauraLopez]

Re: Ejercicio de convolucion

Gracias Breogan, excelente tu explicacion, en mi humilde opinion lo que hiciste esta todo bien y mejor aun que yo logre comprenderlo jaaj .

El siguiente paso ahora seria empezar a analizar una a una esas regiones y calcular el $\dst v_0(t)$ en cada una de ellas no? Aca me aparecen unas dudas nuevas.

Veamos...

REGION 1 : (t<1)

Aca tengo que no hay solapamiento, de forma que el producto de estas 2 funciones y por ende el area bajo la curva del producto sera cero, con lo cual

$\dst v_0(t) = 0$ t<1

Estas de acuerdo?

REGION 2: $\dst 1 \leqslant t < 2$

Hay solapamiento solo en t=1

f(1)= g(1) =2

f(1)g(1) = 4

Sin embargo lo que debo hacer es la convolucion de las 2 funciones y NO el producto...asi que aca no se bien como quedaria la v_0(t)....

REGION 3: (t=2)

Aca tambien solo hay solapamiento en el instante t=1 cuando la f vale 2 y la g tambien vale 2 no? Pero igual que la region anterior nose como armar la convolucion..

Y las demas regiones sigo teniendo problemas similares

[Breogan]

Re: Ejercicio de convolucion

Hola:

REGION 1 : (t<1)

Aca tengo que no hay solapamiento, de forma que el producto de estas 2 funciones y por ende el area bajo la curva del producto sera cero, con lo cual

$\dst v_0(t) = 0$ t<1

Estas de acuerdo?

Si, totalmente de acuerdo.

REGION 2: $\dst 1 \leqslant t < 2$

Hay solapamiento solo en t=1

f(1)= g(1) =2

f(1)g(1) = 4

Sin embargo lo que debo hacer es la convolucion de las 2 funciones y NO el producto...asi que aca no se bien como quedaria la v_0(t)....

Acá yo creo que hay solapamiento para todos los t entre 1 (incluido) y 2 (excluido). En este rango las funciones incluidas en el producto valen (reemplazando los valores de t que definen el intervalo en $g(t-\tau)$):

$\dst f(\tau)= \left\{\begin{aligned} & 0 \quad para \ \tau<1 \\ & 2 \delta(\tau-1) \quad para \ \tau=1 \\ & 0 \quad \ para \ 1<\tau<2 \\ & 1 \quad para \ 2 \leqslant \tau \leqslant 3 \\ & 0 \quad para \ \tau>3 \end{aligned}$$, \quad en \ t=1 \quad \dst g(1-\tau) = \left\{ \begin{aligned} & 0 \quad para \ 1<\tau \\ & 2 \quad para \ 0 \leqslant \tau \leqslant 1 \\ & 0 \quad para \ \tau<0 \end{aligned}$$, \quad \xrightarrow{y \ en \ t=2^-} \quad ,$[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]


Disculpa pero no se me ocurre otra forma de ponerlo matemáticamente; se puede ver que para t=1 resulta que $g(t-\tau)$ es distinto de cero y vale 2 para $0\leqslant\tau\leqslant1$ y en este intervalo la única parte de $f(\tau)$ que es distinta de cero es $2\delta(\tau-1)$, y lo mismo se puede ver que pasa en el otro estremo del intervalo $t=2^-$

De lo anterior se puede ver que el producto $g(t-\tau) f(\tau)$ vale, en este intervalo de t dado: $2 \ 2 \ \delta (\tau-1)$, y el producto de convolucion seria:

$\dst f(t)*g(t)=\int_{-\infty}^\infty f(\tau) g(t-\tau) d\tau=\int_{-\infty}^\infty 2 \ 2 \ \delta(\tau-1) d\tau=4 \ \int_{-\infty}^\infty \delta(\tau-1) d\tau$

y como:

$\dst \int_{-\infty}^\infty \delta(\tau-1) d\tau=1$

por propiedades de la delta de Dirac, resulta:

$\dst f(t)*g(t)=4 \ \int_{-\infty}^\infty \delta(\tau-1) d\tau=4$

Disculpa el enredo y lo largo de la explicación, no es estrictamente necesario hacerla en todos los casos.

REGION 3: (t=2)

Aca tambien solo hay solapamiento en el instante t=1 cuando la f vale 2 y la g tambien vale 2 no? Pero igual que la region anterior nose como armar la convolucion..

Y las demas regiones sigo teniendo problemas similares

Esta región al final nos va a dar un valor igual que la región anterior, pero tiene una particularidad por la cual la puse separada; no voy a hacer una explicación tan detallada matemáticamente como en la anterior, en este caso para el análisis me voy a basar mas en la figura 6 de mi post anterior.

La convolución de las dos funciones es:

$\dst f(t)*g(t)=\int_{-\infty}^\infty f(\tau) g(t-\tau) d\tau$

como se ve en las figuras hay dos conjuntos en el dominio $\tau$ donde la $f(\tau)$ es distinta de cero, entonces dividimos el dominio de la integral en varias partes:

$\dst f(t)*g(t)=\lim_{\varepsilon \to 0}\left[ \int_{-\infty}^{1-\varepsilon} f(\tau) g(t-\tau) d\tau+\int_{1-\varepsilon}^{1+\varepsilon} f(\tau) g(t-\tau) d\tau+\int_{1+\varepsilon}^\infty f(\tau) g(t-\tau) d\tau \right]$

donde $\varepsilon$ es un infinitesimal que tiende a cero, lo uso para poder evaluar la integral del centro en un entorno infinitesimal de $\tau=1$.

Inmediatamente se puede ver de la figura 6 que la 1º integral es nula ya que $f(\tau)=0$ en el intervalo de integración, el integrando de la 2º integral vale $2\ 2\ \delta (\tau-1)$, y el integrando de la 3º integral vale 1 por 2

$\dst f(t)*g(t)=\lim_{\varepsilon \to 0}\int_{1-\varepsilon}^{1+\varepsilon} 2 \ 2\ \delta (\tau-1) d\tau+\lim_{\varepsilon \to 0} \int_{1+\varepsilon}^\infty 1 \ 2 d\tau$

Si sacamos el 4 fuera de la 1º integral, y sabiendo que el integrando de la 2º integral solo es distinto de cero cuando $\tau=2$ cambiamos los limites de integración, y sacando al 2 fuera de dicha integral queda:

$\dst f(t)*g(t)=4\ \lim_{\varepsilon \to 0}\int_{1-\varepsilon}^{1+\varepsilon} \ \delta (\tau-1) d\tau+2\ \lim_{\varepsilon \to 0} \int_{2}^2 d\tau$

La 1º integral es igual a 1 por las propiedades de la delta de Dirac (y no depende del infinitesimo), y la 2º integral es cero (por que los limites de integración son iguales), con lo cual llegamos a:

$\dst f(t)*g(t)=4$

Las otras regiones de integración son similares, dejo que lo intentes y lo postees.

Espero se entienda y si ven algún error, por favor haganlo saber.

s.e.u.o.

Suerte

[LauraLopez]

Re: Ejercicio de convolucion

Mil gracias! sigamos....

AHora tocaria la region 4: ($\dst 2 < t \leqslant 3$)

Dividimos la convolucion en intervalos:

Segun la figura 7 podemos decir que el extremo izquierdo de la g seria t-1 y el extremo derecho t.Entonces tenemos:

$\dst v_0(t)= \int_{- \infty}^{\infty} f(\tau) g(t-\tau) d \tau = \int_{- \infty}^{t-1} f(\tau) g(t-\tau) d \tau + \int_{ t-1}^{2} f(\tau) g(t-\tau) d \tau +$ $\dst \int_{2}^{t} f(\tau) g(t-\tau) d \tau + \int_{t}^{\infty} f(\tau) g(t-\tau) d \tau$

Tenemos 4 terminos:

1) Este dara cero porque la $g(t - \tau) = 0$ en ese intervalo

2) Tambien da cero porque la $f(\tau) =0$ en ese intervalo

4) Tambien da cero porque la $g(t- \tau)=0$ en ese intervalo

3) Este es el unico termino distinto de cero , donde la $f(\tau)= 1$ y la $g(t-\tau)=2$ , asi que tenemos :

$\dst v_0(t) = \int_2^t 1.2 d \tau = 2 (t-2)$

Te parece bien resuelta esta region?

De manera similar analizo la region 5,

REGION 5 : ($\dst 3 <t \leqslant 4$)

Dividimos la convolucion en intervalos :

$\dst v_0(t)= \int_{- \infty}^{\infty} f(\tau) g(t-\tau) d \tau = \int_{- \infty}^{2} f(\tau) g(t-\tau) d \tau + \int_{ 2}^{t-1} f(\tau) g(t-\tau) d \tau +$ $\dst \int_{t-1}^{3} f(\tau) g(t-\tau) d \tau + \int_{3}^{t} f(\tau) g(t-\tau) d \tau + \int_{t}^{\infty} f(\tau) g(t-\tau) d \tau$

1) Da cero porque $\dst g(t - \tau)=0$ en ese intervalo

2) Da cero porque $\dst g(t - \tau)=0$ en ese intervalo

3)$\dst \int_{t-1}^{3} f(\tau) g(t-\tau) d\tau = \int_{t-1}^{3} 1 (2) d \tau = 2 (3 - (t-1)) = 2 (4-t)$

4) Da cero porque $\dst f( \tau)=0$ en ese intervalo

5) Da cero porque $\dst g(t - \tau)= f(\tau) = 0$ en ese intervalo

Luego

$\dst v_0(t) = 2 (4-t)$ $3 < t \leqslant 4$

y este intervalo esta bien?

REGION 6: (t > 4 )

Aca de la figura se que no hay solapamiento asi que simplemente$v_0(t)= 0$ para t > 4

En caso de que esta regiones que yo planteo sean correcta , ahi quedaria finalizado el ejercicio? se podria hacer la grafica de v_0(t) no? Me quedaria una funcion discontinua....nose si esto es indicio de que algo esta mal

Y de paso pregunto que significado "circuital" tiene esto de la convolucion ? o sea esa v_0(t) representaria la convolucion , o sea el area bajo la curva pero no logro comprender que informacion me brinda el conocer la convolucion....

Por ultimo inicialmente habiamos hablado que tambien hay una segunda forma de resolver el ejercicio que es realizando anti transformadas no? Me gustaria tambien si me pueden ayudar con esa forma para comparar resultados y ver que se llega al mismo.( esto siepmre y cuando ya este finalizada y de forma correcta la resolucion anterior usando la definicion de convolucion )

Gracias

[Breogan]

Re: Ejercicio de convolucion

Hola:

Modifique un poco tu post en las citas, para resumir un poco:

Region 4: ($\dst 2 < t \leqslant 3$)

$\dst v_0(t) = 2 (t-2)$

Correcto.

Region 5 : ($\dst 3 <t \leqslant 4$)

$\dst v_0(t) = 2 (4-t)$

Correcto.

REGION 6: (t > 4 )

$\dst v_0(t)=0$

Correcto.

En caso de que esta regiones que yo planteo sean correcta , ahi quedaria finalizado el ejercicio? se podria hacer la grafica de v_0(t) no? Me quedaria una funcion discontinua....nose si esto es indicio de que algo esta mal

En realidad para que el problema este concluido tenes que presentar tus resultados de una forma "ordenada", ya sea como una función definida por partes o con funciones generalizadas (escalón, rampa, delta, etc.). Esto es muy apreciado por quien corrige, no hacerlo los pone fastidiosos. En cuanto al dibujo si no te lo piden no es necesario hacerlo, pero nunca esta demás (se puede llegar a detectar algún error al hacerlo).

Que te quede discontinua no es indicio suficiente de error, por lo menos en este caso.

Si haces el resumen del resultado, y la gráfica de este podrás tener un análisis mejor de los puntos de continuidad/discontinuidad del resultado y su relación con el producto de convolución.

Y de paso pregunto que significado "circuital" tiene esto de la convolucion ? o sea esa v_0(t) representaria la convolucion , o sea el area bajo la curva pero no logro comprender que informacion me brinda el conocer la convolucion....

No se del tema como para darte una respuesta totalmente cabal, pero en otro ejercicio empezamos a hacer una anti-transformada por medio de la convolución como método alternativo a la descomposición en fracciones; este sería un posible uso.

Supone que tenes un circuito con una función de transferencia H(s), el cual alimentas con una tension V1(s), entonces la respuesta del circuito a esta excitación en el dominio de s sería:

$\dst V_0(s)=H(s) \ V_1(s)$

pero lo que vos necesitas es la respuesta del circuito en el dominio del tiempo, entonces haces:

$\dst v_0(t)=\mathcal{L}^{-1}[V_0(s)]=\mathcal{L}^{-1}[H(s)\ V_1(s)]$

y esta ultima anti-transformada la podes hacer por fracciones, o por convolucion (el método que elijas va a depender de la dificultad de cada uno).

Que se pueda hacer por convolución sale de que:

$\dst \mathcal{L}^{-1}[H(s)\ V_1(s)]=\int_{-\infty}^\infty h(\tau) v_1(t-\tau) d\tau$

donde:

$\dst v_1(t)=\mathcal{L}^{-1}[V_1(s)]$

$\dst h(t)=\mathcal{L}^{-1}[H(s)]$

y voala !!!, ya ta

Por ultimo inicialmente habiamos hablado que tambien hay una segunda forma de resolver el ejercicio que es realizando anti transformadas no? Me gustaria tambien si me pueden ayudar con esa forma para comparar resultados y ver que se llega al mismo.( esto siepmre y cuando ya este finalizada y de forma correcta la resolucion anterior usando la definicion de convolucion )

Recorda la siguiente formula:

$\dst \mathcal{L} \left[ f(t)*g(t) \right]=\mathcal{L} \left[ \int_{-\infty}^\infty f(\tau) g(t-\tau) d\tau \right]=F(s) G(s)$

entonces si aplicas anti-transformada a ambos lados de cada igualdad te queda:

$\dst f(t)*g(t) = \int_{-\infty}^\infty f(\tau) g(t-\tau) d\tau=\mathcal{L}^{-1} \left[ F(s) G(s) \right]$

Los pasos serian:

1º - Hallas las transformadas de las funciones f(t) y g(t) originales.

2º - Realizas la multiplicación de ambas transformadas, y las simplificas todo lo que puedas.

3º - Anti-transformas la ecuación obtenida en 2 por el método de las fracciones, si no se puede hacer por este u otro método que no sea el de convolución el ejercicio queda así.

y finito

s.e.u.o.

Suerte

[LauraLopez]

Re: Ejercicio de convolucion

Quiero dejar expresasa la$v_0(t)$ tambien como funciones rampa , escalon, etc pero no logro hacerlo....como seria? la rampa en especial no me sale como hacerla.

Para resolverlo con el segundo metodo entonces voy a utilizar las funciones f(t) y g(t) que estan definidas con funciones escalon.

Seria $\dst f(t)= 2\delta(t-1) + u(t-2) - u(t-3)$

Entonces

$\dst F(s)= \frac{2 s {e}^{-s } + {e}^{-2s } - {e}^{-3s }}{s }$

y $\dst g(t)= 2 \left[ u(t) -u(t-1)\right]$

Entonces

$\dst G(s) = \frac{2(1-{e}^{-s })}{s }$

Luego lo mas que pude reducir este producto es :

$\dst F(s) G(s) = \frac{4 s e^{-s} \left( 1-e^{-s}\right) + 2 e^{-2s} \left( 1-2 e^{-s}+ e ^{-2s}\right)}{ s^2}$

Y aca no se como realizar la anti transformada......

[Breogan]

Re: Ejercicio de convolucion

Hola:

Quiero dejar expresasa la$v_0(t)$ tambien como funciones rampa , escalon, etc pero no logro hacerlo....como seria? la rampa en especial no me sale como hacerla.

Escribí 1º la definición por partes de la función, después dibujala, e inmediatamente te vas a dar cuenta de como escribirla en base a funciones generalizadas.

Como la rampa también la podes escribir como $r(t-a)=(t-a) u(t-a)$, puede ser que con esta definición veas mejor que la r(t-a) es una recta con pendiente de 45º y que para t<a es cero (por la función escalón) y para t>= a es igual a t-a.

Luego lo mas que pude reducir este producto es :

$\dst F(s) G(s) = \frac{4 s e^{-s} \left( 1-e^{-s}\right) + 2 e^{-2s} \left( 1-2 e^{-s}+ e ^{-2s}\right)}{ s^2}$

Y aca no se como realizar la anti transformada......

Separa esta función en fracciones simples simplemente expresándola como la suma de los términos del numerador divididos cada uno por el denominador (cada uno con su signo):

$\dst F(s) G(s) = \frac{4 e^{-s}} {s}- \frac {4 e^{-2s}} {s}+..........$

y a cada uno de estos términos lo anti-transformas por medio de tablas y propiedades; tendrías que llegar al mismo resultado que con el metodo anterior.

Suerte.

[LauraLopez]

Re: Ejercicio de convolucion

Ya logre hacerlo y llegar al mismo resultado por ambos metodos!!!

Mil gracias por la ayuda y paciencia Breogan

[Breogan]

Re: Ejercicio de convolucion

Hola:

Congratulation !!!!!!!!!!!

Suerte