1r ciclo Aplicación de ecuaciones de Maxwell

[gdonoso94]

Hola, realizando un ejercicio de ecuaciones de Maxwell he llegado a un resultado distinto al que me da el libro, el ejercicio en cuestión es el siguiente:

Se tiene una esfera conductora, maciza, de radio $R_1$ y otra también conductora, de radio $R_2$, hueca, de espesor despreciable y concéntrica con la primera, siendo $R_1<R_2$. La esfera interior está cargada con una carga $Q_0$ y la exterior descargada. En un instante determinado, el medio que hay entre ellas, de $\varepsilon=cte$ y $\mu=cte$, se hace conductor con conductividad $\sigma$. Calcular la expresión de los vectores $\vec{B},\vec{H},\vec{E},\vec{D}$ y $\vec{J}$ en función del tiempo y para todo el espacio.

Bien, para resolverlo he empezado aplicando:

$$\dst \vec{\nabla} \times \vec{E}=-\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}$$

Como el campo es radial en todos los puntos, $\vec{E}=E(r)\frac{\vec{r}}{r}$, entonces el rotacional es igual a 0 y por tanto el campo $\vec{B}=0$ en t=0 y t=$\infty$, y por consiguiente $\vec{H}=0$.

Hasta aquí creo que es correcto mi procedimiento. A continuación hallo el vector desplazamiento. Como $\vec{D}=\varepsilon\vec{E}$, aplico la ley de Gauss:

$$\dst\oint_S \vec{D}\dd\vec{S}=Q_{enc}$$

De aquí obtengo que el campo $\dst\vec{D}=\frac{Q}{4\pi}\frac{\vec{r}}{r^3}$, por tanto:

$\dst\vec{E}=\frac{Q}{4\pi\varepsilon}\frac{\vec{r}}{r^3}$

Y ya no sigo porque este resultado no es correcto. ¿Dónde está mi error? La solución que me da el libro es:

$\dst\vec{E}(\vec{r},t)=E_0e^{-\sigma t/\varepsilon}\frac{\vec{r}}{r}$

Gracias y un saludo.

[ZYpp]

Re: Aplicación de ecuaciones de Maxwell

Un inciso, en la ecuación de Maxwell con el desplazamiento eléctrico sólo entra en juego la densidad de carga libre, no la total.

Respecto al problema, tus razonamientos sobre la simetría están bien hechos (ACTUALIZO, leer abajo). Una vez hechos, yo lo abordaría así:

$$\nabla \times \vec H = \vec 0 = \vec J_f + \frac{\partial \vec D}{\partial t} \Rightarrow \frac{\partial \vec D}{\partial t} + \sigma \vec E = \frac{\partial \vec D}{\partial t} + \frac{\sigma}{\epsilon} \vec D = \vec 0$$

Suponiendo ahora que la solución del desplazamiento eléctrico es de la forma (en módulo, pues la dirección y sentido ya la sabemos): $D = Ae^{rt}$ e introduciéndolo en la ecuación, queda:

$$\left( r + \frac{\sigma}{\epsilon}\right) Ae^{rt} = 0 \Rightarrow r = -\frac{\sigma}{\epsilon}$$

Con lo que, sabiendo que en el instante inicial ($t=0$) la exponencial vale 1, el valor de la constante $A$ es el valor del desplazamiento eléctrico en el instante inicial y la expresión queda finalmente como

$$\vec D \left( \vec r, t \right) = D_0 e^{-\sigma t / \epsilon} \hat u_r$$

Saludos.

Bueno, resumiendo: Que se te olvidó tener en cuenta que hay dependencia del tiempo en función de la densidad volumétrica de corriente, [TEX]\vec J[/EX]. Se me olvidó decirlo en el post porque lo consideré evidente al ver la demostración, pero nunca está de más recordarlo por si acaso alguien se pierde.

ACTUALIZACIÓN IMPORTANTE:

En realidad la demostración de que la inducción magnética y el campo magnético son nulos no me gusta, y de hecho no es válida. Me paré a pensarlo un poco mejor (por las prisas no me había dado cuenta) y del rotacional del campo eléctrico sólo extraes que el campo magnético no es dependiente del tiempo. Simbólicamente:

$$\nabla \times \vec E = \vec 0 = -\frac{\partial \vec B}{\partial t} \Rightarrow \vec B = \vec B \left( \vec r \right)$$

.

Sin embargo, lo que sí sabemos es que, debido a la simetría, no hay ninguna dirección preferente por la cual las cargas eléctricas pasen de la esfera interior a la exterior. Existirá pues también simetría radial en la densidad volumétrica de corriente:

$$\vec J = \vec J \left( \vec r \right)$$

Por lo que, sabiendo que tanto el desplazamiento eléctrico como la densidad volumétrica de corriente tienen simetría radial, ahora sí podemos afirmar que el rotacional del campo magnético es nulo en base a la ley de Ampère. El resto de la demostración sigue como está escrito arriba.

[gdonoso94]

Re: Aplicación de ecuaciones de Maxwell

Sin embargo, lo que sí sabemos es que, debido a la simetría, no hay ninguna dirección preferente por la cual las cargas eléctricas pasen de la esfera interior a la exterior. Existirá pues también simetría radial en la densidad volumétrica de corriente:

$$\vec J = \vec J \left( \vec r \right)$$

Por lo que, sabiendo que tanto el desplazamiento eléctrico como la densidad volumétrica de corriente tienen simetría radial, ahora sí podemos afirmar que el rotacional del campo magnético es nulo en base a la ley de Ampère. El resto de la demostración sigue como está escrito arriba.

Yo el rotacional lo he hecho a capón con el determinante... Como no depende de los ángulos haces el determinante de toda la vida:

$\dst \vec{\nabla}\times\vec{E}=<br /> \frac{1}{r^2\sin{\theta}}\begin{vmatrix}<br /> \hat r &r\hat {\theta} &r\sin{\theta}\hat{\varphi}\\<br /> \frac{\partial}{\partial r} & \frac{\partial}{\partial \theta} & \frac{\partial}{\partial \phi} \\<br /> E_r & 0& 0<br /> \end{vmatrix}<br /> =\frac{1}{r^2\sin{\theta}}\left(\frac{\partial E_r}{\partial \varphi} r\hat {\theta}-\frac{\partial E_r}{\partial \theta}r\sin{\theta}\hat{\varphi}\right)$

Lo que es igual a 0. ¿No queda así comprobado?

Gracias

[ZYpp]

Re: Aplicación de ecuaciones de Maxwell

Yo el rotacional lo he hecho a capón con el determinante... Como no depende de los ángulos haces el determinante de toda la vida:

$\dst \vec{\nabla}\times\vec{E}=<br /> \frac{1}{r^2\sin{\theta}}\begin{vmatrix}<br /> \hat r &r\hat {\theta} &r\sin{\theta}\hat{\varphi}\\<br /> \frac{\partial}{\partial r} & \frac{\partial}{\partial \theta} & \frac{\partial}{\partial \phi} \\<br /> E_r & 0& 0<br /> \end{vmatrix}<br /> =\frac{1}{r^2\sin{\theta}}\left(\frac{\partial E_r}{\partial \varphi} r\hat {\theta}-\frac{\partial E_r}{\partial \theta}r\sin{\theta}\hat{\varphi}\right)$

Lo que es igual a 0. ¿No queda así comprobado?

Gracias

Sí, sí. Perfecto. Pero la condición de irrotacionalidad del campo eléctrico sólo te proporciona información sobre la dependencia temporal (explícita o implícita) de la inducción magnética, en base a la Ley de Faraday. Pero eso no significa que la inducción magnética sea nula y mucho menos que sea irrotacional, condición necesaria para igualar al vector nulo la Ley de Ampère.

[gdonoso94]

Re: Aplicación de ecuaciones de Maxwell

Gracias por la respuesta, pero sigo sin entenderlo, no encuentro un ejemplo en el que la dirección del vector J no sea la misma que la del vector D. En el caso de que no sea la misma, ¿qué sucedería?

ACTUALIZO:

Otra duda:

Suponiendo ahora que la solución del desplazamiento eléctrico es de la forma (en módulo, pues la dirección y sentido ya la sabemos): e introduciéndolo en la ecuación, queda:



Con lo que, sabiendo que en el instante inicial () la exponencial vale 1, el valor de la constante es el valor del desplazamiento eléctrico en el instante inicial y la expresión queda finalmente como

¿Por qué supones que la solución del desplazamiento eléctrico es de esa forma?

Saludos!

[ZYpp]

Re: Aplicación de ecuaciones de Maxwell

Gracias por la respuesta, pero sigo sin entenderlo, no encuentro un ejemplo en el que la dirección del vector J no sea la misma que la del vector D. En el caso de que no sea la misma, ¿qué sucedería?

Me refería a la manera en que demuestras que la inducción magnética es nula, en base al rotacional del campo eléctrico. Lo de la densidad volumétrica de corriente es un añadido.
La idea es que si $\nabla \times \vec E = \vec 0$ no puedes deducir que $\vec B = \vec 0$, sino que la inducción magnética es independiente del tiempo y sólo depende del radio. Esto es importante porque en la ley de Ampére aparece un término de campo magnético, [TEX]\nabla \times \vec H [\TEX] que ha de demostrarse que es nulo para poder resolver el problema. No sé si me he explicado.

¿Por qué supones que la solución del desplazamiento eléctrico es de esa forma?

Saludos![/COLOR]

Es una "técnica" para resolver ecuaciones diferenciales de este tipo. En general, todas las ecuaciones diferenciales lineales (independientemente del orden de la derivada mayor) cumplen que la solución general es de esa forma, con algún que otro matiz. Lo verás cuando estudies ecuaciones diferenciales, que será este año, imagino.

[gdonoso94]

Re: Aplicación de ecuaciones de Maxwell

La idea es que si $\nabla \times \vec E = \vec 0$ no puedes deducir que $\vec B = \vec 0$, sino que la inducción magnética es independiente del tiempo y sólo depende del radio. Esto es importante porque en la ley de Ampére aparece un término de campo magnético, $\nabla \times \vec H$ que ha de demostrarse que es nulo para poder resolver el problema. No sé si me he explicado.

Vale, esto me ha quedado claro, ahora no entiendo la demostración que haces para afirmar que $\nabla \times\vec{H}=0$. ¿Podrías intentar explicármela de alguna otra forma?

Mil gracias.