Otras carreras Hola necesito ayuda con un problema de campo eléctrico

[mamatus]

Un cilindro de radio R y altura L, alineado con el eje z tiene una densidad volumetrica de carga no uniforme $]\rho(z) =\rho 0 + \beta z$ respecto a un origen en el centro del cilindro. encuentre el campo eléctrico en el centro del cilindro.

La verdad es que estoy mu confundido y muchas gracias por la ayuda

[Al2000]

Re: Hola necesito ayuda con un problema de campo eléctrico

Mi sugerencia es que dividas el cilindro en anillos y resuelvas el problema con una integral doble.

Mas detalles: Calcula, o busca en la bibliografía, cuánto vale el campo eléctrico en el eje de un anillo. Obtendrás/conseguirás que un anillo de radio $a$ y carga $Q$ produce en su eje, a la distancia $z$ de su centro, un campo de magnitud

$$E = \frac Q {4 \pi \epsilon_0} \frac z {(z^2 + a^2)^{3/2}}$$

donde el signo positivo o negativo indican la dirección +Z o -Z (es decir, en la expresión anterior omití el vector unitario). Divide ahora el cilindro en anillos de radio $r$ (que será variable en el rango $0 \leqslant r \leqslant R$), en la posición $z$ (que será variable entre $-L/2 \leqslant z \leqslant L/2$), área de sección transversal $dr\,dz$ y con carga $dq = \rho\, dv = (\rho_0 + \beta z)(2 \pi r\, dr\,dz)$ e integra (1) a todo el volumen del cilindro:

$$E = \int_{-L/2}^{L/2} \int_{0}^{R}\!\! \frac {dq} {4 \pi \epsilon_0} \frac {-z} {(z^2 + r^2)^{3/2}}$$

Nota el cambio de signo en la coordenada $z$, lo cual corresponde a que si el anillo que estás considerando se encuentra en la posición $z$, entonces el origen está en $-z$ respecto al anillo. En otras palabras, si el problema fuese mas general y pidiese el campo en la posición $z_0$ en lugar del origen, entonces la integral sería

$$E = \int_{-L/2}^{L/2} \int_{0}^{R}\!\! \frac {dq} {4 \pi \epsilon_0} \frac {z_0 - z} {[(z_0 - z)^2 + r^2]^{3/2}}$$

Bueno, espero te sirva. Saludos,

Al

PD. Puedes cambiar el orden de integración si te apetece, en verdad no se en que orden resulta mas simple. Tal como está escrita, la integral suma los anillos para obtener discos y luego suma los discos para formar el cilindro. Si inviertes el orden de integración sumarías los anillos para formar una cáscara cilíndrica y luego sumarías estas cáscaras cilíndricas para formar el cilindro. Es posible que una de las dos formas sea mas fácil, pero no se cual.