1r ciclo Poynting complejo

[leo_ro]

No entiendo por qué el poynting complejo tiene al vector $H$ como conjugado, es decir:

$P = Re \{ E \times {H}^{*} \}$

Yo lo planteo y llego hasta la siguiente expresión:

Sea un campo eléctrico y magnético que varían armónicamente, por lo que es conveniente representarlos de forma compleja polar:

$\vec{E}= {E}_{0} {e}^{j \omega t}$ y $\vec{H}= {H}_{0} {e}^{j \omega t}$

En donde ${E}_{0}$ es un complejo que depede de la posición. ${E}_{0}= {E}_{r}+ j {E}_{i}$

Así que:

$\vec{E}= ({E}_{r}+ j {E}_{i}) {e}^{j \omega t}= {E}_{r} cos (\omega t) + j {E}_{r}sen (\omega t) + j{E}_{i} cos (\omega t) - {E}_{i} sen (\omega t)$

La parte real de $\vec{E}$ es entonces:

$Re \{\vec{E}\} = {E}_{r} cos (\omega t) - {E}_{i} sen (\omega t)$

De la misma manera podemos operar con $\vec{H}$ y llegar a:

$Re \{\vec{H}\} = {H}_{r} cos (\omega t) - {H}_{i} sen (\omega t)$

Como sabemos el vector de poynting está dado por:

$\vec{P}= \vec{E} \times \vec{H}$

Así que con las expresiones encontradas:

$\vec{P}= {E}_{r}{H}_{r} {cos}^{2} (\omega t) + {E}_{i}{H}_{i}{sen}^{2}(\omega t) = \frac{1}{2 }({E}_{r}{H}_{r}+ {E}_{i}{H}_{i} ) sen (2 \omega t)$

Hasta ahí llego y no sé porque se llega al vector $H$ conjugado en el poynting complejo.

[hennin]

Re: Poynting complejo

Recuerda que la notación compleja es para simplificar la notación en el caso de óptica electromagnética. Se sobreentiende que cuando se escribe en forma polar se toma la parte real. Pero luego para trabajar tendrás que ser coherente con esto y por ello se conjuga el vector H. Y en efecto, se puede trabajar siempre desde el principio con senos y cosenos sin problema como has hecho.

Saludos.

[leo_ro]

Re: Poynting complejo

Ahora bien lo que diferencia a la parte real de la imaginaria es un desfasaje de $\frac {\pi}{2}$ por la relación de euler. Nada impide que a una función armónica la escribamos como seno o coseno. Tu te refieres a que conjugas a un vector de manera de que al hacer el producto nos quede la parte real solamente?

[hennin]

Re: Poynting complejo

En efecto, se conjuga porque si no lo harías obtendrías resultados absurdos en el vector de poynting.

[leo_ro]

Re: Poynting complejo

Para vectores que varían de la forma:

${E} = {E}_{0} cos (\omega t + {\theta }_{e})$

${H} = {H}_{0} cos (\omega t + {\theta }_{h})$

$P = {E}_{0}{H}_{0} cos (\omega t + {\theta }_{e}) cos (\omega t + {\theta }_{h}) = \frac{1}{ 2}{E}_{0}{H}_{0 } cos ({\theta }_{e}-{\theta }_{h}) cos (\omega t )$

Ahora si expreso a las cantidades variables de $E$ y $H$ de forma compleja:

${E} = {E}_{0} {e}^{j {\theta }_{e} } {e}^{j\omega t}$

${H} = {H}_{0} {e}^{j {\theta }_{h} } {e}^{j\omega t}$

Así que el poynting me quedaría:

$P= {E}_{0}{H}_{0} {e}^{j {\theta }_{e} +{\theta }_{h} } {e}^{j 2 \omega t}$

$Re \{P\} = {E}_{0}{H}_{0} \cos ({\theta }_{e} +{\theta }_{h}) \cos ( 2 \omega t)$

La única diferencia es que en el segundo factor ${\theta }_{h}$ queda posivito. Entonces si hago el conjugado de $H$.

${E} = {E}_{0} {e}^{j {\theta }_{e} } {e}^{j\omega t}$

${H} = {H}_{0} {e}^{-j {\theta }_{h} } {e}^{-j\omega t}$

$P= {E}_{0}{H}_{0} {e}^{j {\theta }_{e} -{\theta }_{h} } {e}^{j \omega t} {e}^{- j \omega t}$

Pero en dicho caso el factor de la variación temporal ${e}^{- j \omega t}$ se elimina, por lo que el poynting queda

$Re \{P\} = {E}_{0}{H}_{0} \cos ({\theta }_{e} -{\theta }_{h})$

Que porsupuesto no es correcto.