1r ciclo Duda teórica con ecuacion de Poisson y cargas puntuales.

[A4AR]

Hola

Paso comentarles una duda que tengo sobre la ecuación de Poisson. Ante todo aclaro que voy a tratar dicho problema en el caso unidimensional para simplificarlo.

La ecuación de Poisson (en el caso unidimensional) es:

$\frac{\mathrm{{d}^{ 2}} V}{\mathrm{d{x}^{ 2}} }=-\frac{\rho(x)}{ \varepsilon}$ Donde V es el potencial, $\rho$ es la densidad de carga y $\varepsilon$ es la permitividad dieléctrica.

Ahora bien, supongamos que un sistema solo consta de una carga puntual (no importa el valor) en x=0. En, por ejemplo, x=1, $\rho=0$. Teniendo en cuenta la ecuación de Poisson antes mencionada y el hecho de que:

$E=-\frac{\mathrm{d}V }{\mathrm{d}x }$ Donde E es el campo eléctrico.

Obtengo como resultado que en x=1, la derivada segunda del potencial es 0 y que la derivada del campo electrico en ese punto es cero, lo cual implica que el campo electrico no varía en dicho punto.

El problema es que este resultado se contradice con el hecho de que si yo aplico la formula para el calculo de campos eléctricos para cargas puntuales:

$E=\kappa\frac{q}{ {r}^{ 2}}$ Donde q es el valor de la carga puntual y r es la distancia entre la carga puntual y el punto donde se esta calculando el campo.

Dicha ecuación es la que se obtiene a partir de la ley de Columb. De esta última ecuación, claramente se observa que en un sistema donde solo hay una carga puntual (de cualquier valor distinto de cero) en x=0, la derivada del campo eléctrico en x=1 es distinta de cero.

Mi duda es saber que error teórico estoy cometiendo en la explicación, motivo por el cual llego a la contradicción.

Saludos.

[Al2000]

Re: Duda teórica con ecuacion de Poisson y cargas puntuales.

Básicamente estás aplicando mal la divergencia y el laplaciano. Mira en este enlace la forma de los operadores en coordenadas cilíndricas y esféricas. Al hacer las cuentas tienes que ser coherente. Si vas a usar el sistema de coordenadas cartesianas, entonces debes escribir el campo y el potencial como $\dst \boldsymbol E_{(x,y,z)} = \frac q {4 \pi \epsilon_0} \frac {x\, \boldsymbol i + y\, \boldsymbol j + z\, \boldsymbol k}{(x^2+y^2+z^2)^{3/2}}\,,\,\, V_{(x,y,z)} = \frac q {4 \pi \epsilon_0} \frac 1 {\sqrt {x^2+y^2+z^2}}$. En cambio, si escribes el campo y el potencial en coordenadas esféricas deberás usar $\dst \nabla ^2 V_{(r)} = \frac 1 {r^2} \frac d {dr} \left (r^2 \frac {dV_{(r)}}{dr} \right)\,,\,\, \nabla \cdot \boldsymbol E_{(r)} = \frac 1 {r^2} \frac d {dr}\left(r^2 E_{(r)}\right)$.

Saludos,

Al

[A4AR]

Re: Duda teórica con ecuacion de Poisson y cargas puntuales.

Hola, ante todo gracias por la respuesta.

Estoy aplicando coordenadas cartesianas con Y=0 y Z=0 para todo X (aclare al principio del post que estoy empleando el caso unidimensional). Cuando escribi la expresion del campo electrico usando "r" aclare que me referia a la distancia entre el punto donde estaria la carga en el ejemplo (X0=0) y el punto donde estoy midiendo el campo (X1=1). Es decir esa r no es una coordenada esferica, sino que es r=X1-X0=X1, por lo que la expresion del campo seria: $E(X1)=\kappa\frac{q}{ {X1}^{ 2}}$. Dicha expresion es igual a la que escribiste en tu post para el caso de coordenadas cartesianas si se toma Y=0 y Z=0 para todo X.

De todas formas sigo obteniendo la contradicción de que la expresión de Poisson me dice que en X1=1 no hay variacion de campo electrico (derivada de campo electrico) porque no hay densidad de carga en dicho punto, sin embargo la expresión del campo que se obtiene a partir del la ley de Columb me dice que si hay variación de campo electrico en dicho punto.

Saludos.

[Al2000]

Re: Duda teórica con ecuacion de Poisson y cargas puntuales.

Ten cuidado con como manejas los conceptos. No puedes decir que vas a analizar el campo de una carga puntual y considerar un caso unidimensional siendo que por su propia naturaleza la carga puntual produce campo según todas las direcciones del espacio por igual. Pareces querer reducir el problema a una sola dimensión, pero no puedes aplicar el teorema de Gauss en esas circunstancias; el concepto de flujo, el teorema de Gauss, la ecuación de Poisson y la divergencia del campo eléctrico no tienen ningún significado.

El caso unidimensional corresponde al plano infinito, pues en ese caso el campo producido sólo varía en una dirección del espacio. También tienes que tener cuidado con confundir el concepto de divergencia con una simple derivada. En efecto, la divergencia del campo eléctrico de una carga puntual es cero en cualquier punto del espacio a su alrededor, y sin embargo eso no significa que la intensidad del campo no varíe radialmente, sino mas bien que el flujo a través de cualquier pequeña superficie alrededor del punto es cero.

Saludos,

Al

[A4AR]

Re: Duda teórica con ecuacion de Poisson y cargas puntuales.

Hola

Nuevamente gracias por responder. Paso a explicarte de donde surgió mi duda para hacer un poco mas clara la cuestión. La realidad es que me tope con el problema de la ecuación de Poisson en el caso "unidimensional" estudiando el problema de la región de vaciamiento en una juntura p-n (física de semiconductores). En toda la bilbiografía que consulté (los libros de Sze, Taur-Ning y Groove) aplican para estudiar el campo electrico en la región de vaciamiento, la ecuación de Poisson en el caso unidimensional. Puede que sea asi (no me queda claro del todo) ya que estarían tomando dicha región de vaciamiento como 2 planos infinitos de carga, uno con carga positiva y otro con carga negativa (como en el capacitor de caras paralelas) , pero con una distancia igual a cero entre dichos planos y teniendo en cuenta el espesor de esos planos.Esto creo que de algún modo explicaria porque usan la ecuación de Poisson de forma unidimensional y porque el resultado de dicho análisis da un campo que varia en las regiones con carga y que es cero fuera de estas. La verdad que no estoy seguro si es asi, ya que los libros no aclaran nada, siemplemente usan la ecuación de Poisson de forma unidimensional. El tema es que yo extrapole dicha ecuación de Poisson unidimensional al caso de una carga puntual y me encontre con la contradicción. De todas formas sigo sin entender bien porque en el caso de la región de vaciamiento de una juntura p-n se puede aplicar la ecuación de Poisson de forma unidimensional. No se si dicha consulta debería ir aca o en otra parte del foro.

Saludos.

[Al2000]

Re: Duda teórica con ecuacion de Poisson y cargas puntuales.

Si están aplicando la ecuación de Poisson en forma unidimensional, será porque están considerando que la junta tiene un espesor muy pequeño comparado con sus otras dimensiones (ancho, alto, diámetro...). Bajo esas condiciones, el campo y el potencial eléctricos en puntos no muy cercanos al borde será esencialmente el mismo de un plano infinito, con un potencial que sólo varía con la distancia al plano de la junta y un campo asociado que será esencialmente uniforme. Yo me imagino que sería igualmente posible diseñar una junta de simetría cilíndrica o esférica... entonces el tratamiento del problema vendrá determinado esencialmente por la geometría de la distribución de carga.

Saludos,

Al

[A4AR]

Re: Duda teórica con ecuacion de Poisson y cargas puntuales.

Hola

Es un tanto complicado explicar con palabras como definen la geometria del problema y la forma del campo y el potencial, lo ideal seria poder subir algunas imagenes. Ahora ando con poco tiempo para subirlas. El fin de semana si tengo tiempo las subo. De todas formas creo que ya estoy empezando a entender. El tema de emplear la ecuación de Poisson en forma unidimensional pasa mas que nada por aspectos particulares del problema. Gracias por las respuestas.

Saludos.