1r ciclo Ayuda con ejercicio

[solucionando]

En este ejercicio entiendo que tengo que dividir en tres zonas, dentro de la primera esfera, entre esta y la capa esférica y en el exterior de esta y que tanto en la capa interior como en la exterior al conectar las dos esferas a tierra el potencial será 0 y por tanto el valor de las cargas también será 0. Pero ¿Cómo calculo la carga en la zona entre las dos esferas?

[Al2000]

Re: Ayuda con ejercicio

Te equivocas al decir que las esferas conductoras deben tener carga cero. Por el contrario, su carga debe ser distinta de cero para anular el potencial que produce la capa no conductora cargada. Básicamente, debes resolver un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, que son las cargas en la esfera interior y la exterior.

El potencial que produce una capa esférica de radio $R$ y carga $Q$ es constante en su interior y similar al de una carga puntual en el exterior:

$$V_{(r)} = \left \{\begin{matrix} \dst \frac 1 {4 \pi \epsilon_0} \frac Q R\,,& 0 \leqslant r \leqslant R \\ \\ \dst \frac 1 {4 \pi \epsilon_0} \frac Q r\,,& R \leqslant r < \infty \end{matrix}\right .<br />$$

Tienes que usar la expresión anterior para plantear las dos ecuaciones:

--> Potencial_esfera_interna_en_R + potencial_capa_en_R + potencial_esfera_externa_en_R = 0

--> Potencial_esfera_interna_en_2R + potencial_capa_en_2R + potencial_esfera_externa_en_2R = 0

Para hallar el potencial de la capa no conductora en $r = R$, divídela en capas esféricas de radio $x$ y grosor $dx$ e integra la expresión del potencial interior:

$$V_{\text {capa}(R)} = \frac 1 {4 \pi \epsilon_0} \int_{R}^{2 R}\!\! \frac {dq}{x} = \frac 1 {4 \pi \epsilon_0} \int_{R}^{2 R}\!\! \frac {\rho_{(x)}\,dv}{x} = \frac 1 {4 \pi \epsilon_0} \int_{R}^{2 R}\!\! \frac {\rho_{(x)}\,(4 \pi x^2\,dx)}{x}$$

El potencial de la capa no conductora en $r = 2 R$ es similar al de una carga puntual y sólo necesitas saber la carga total de la capa:

$$Q_\text {capa} = \int_{R}^{2 R}\!\! \rho \, dv = \int_{R}^{2 R}\!\! \rho_{(x)} \cdot 4 \pi x^2\, dx$$

Saludos,

Al

[cuga]

Re: Ayuda con ejercicio

Te equivocas al decir que las esferas conductoras deben tener carga cero. Por el contrario, su carga debe ser distinta de cero para anular el potencial que produce la capa no conductora cargada. Básicamente, debes resolver un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, que son las cargas en la esfera interior y la exterior.

El potencial que produce una capa esférica de radio $R$ y carga $Q$ es constante en su interior y similar al de una carga puntual en el exterior:

$$V_{(r)} = \left \{\begin{matrix} \dst \frac 1 {4 \pi \epsilon_0} \frac Q R\,,& 0 \leqslant r \leqslant R \\ \\ \dst \frac 1 {4 \pi \epsilon_0} \frac Q r\,,& R \leqslant r < \infty \end{matrix}\right .<br />$$

Tienes que usar la expresión anterior para plantear las dos ecuaciones:

--> Potencial_esfera_interna_en_R + potencial_capa_en_R + potencial_esfera_externa_en_R = 0

--> Potencial_esfera_interna_en_2R + potencial_capa_en_2R + potencial_esfera_externa_en_2R = 0

Para hallar el potencial de la capa no conductora en $r = R$, divídela en capas esféricas de radio $x$ y grosor $dx$ e integra la expresión del potencial interior:

$$V_{\text {capa}(R)} = \frac 1 {4 \pi \epsilon_0} \int_{R}^{2 R}\!\! \frac {dq}{x} = \frac 1 {4 \pi \epsilon_0} \int_{R}^{2 R}\!\! \frac {\rho_{(x)}\,dv}{x} = \frac 1 {4 \pi \epsilon_0} \int_{R}^{2 R}\!\! \frac {\rho_{(x)}\,(4 \pi x^2\,dx)}{x}$$

El potencial de la capa no conductora en $r = 2 R$ es similar al de una carga puntual y sólo necesitas saber la carga total de la capa:

$$Q_\text {capa} = \int_{R}^{2 R}\!\! \rho \, dv = \int_{R}^{2 R}\!\! \rho_{(x)} \cdot 4 \pi x^2\, dx$$

Saludos,

Al

Hola me podrías explicar un poco más como realizar este ejercicio, la verdad es que estoy muy perdido en este tema de antemano te agradezco por el tiempo prestado.

Un saludo

[Al2000]

Re: Ayuda con ejercicio

Te pongo unas notas adicionales con la esperanza de que veas como va el asunto. Llamaré $Q_i$ y $Q_e$ las cargas de las esferas interna y externa, respectivamente. Por estar conectadas a tierra, los potenciales tanto de la esfera interna como la externa serán cero. Para determinar el potencial de cada esfera se puede utilizar el principio de superposición y considerar que el potencial de cada esfera es el que corresponde a la suma de los potenciales que producirían por separado cada una de las distribuciones de carga. Tendrás dos ecuaciones con dos incógnitas.

--> Potencial_esfera_interna_en_R + potencial_capa_en_R + potencial_esfera_externa_en_R = 0

----> Contribución debida a la carga de la esfera interna (en r = R): $\dst V = \frac 1 {4 \pi \epsilon_0} \frac {Q_i} R$

----> Contribución debida a la carga de la capa no conductora (en r = R): $\dst V = \frac 1 {4 \pi \epsilon_0} \int_{R}^{2 R}\!\! \frac {dq}{x} = \frac 1 {4 \pi \epsilon_0} \int_{R}^{2 R}\!\! \frac {\rho_{(x)}\,dv}{x} = \frac 1 {4 \pi \epsilon_0} \int_{R}^{2 R}\!\! \frac {\rho_{(x)}\,(4 \pi x^2\,dx)}{x}$

----> Contribución debida a la carga de la esfera externa (en r = R): $\dst V = \frac 1 {4 \pi \epsilon_0} \frac {Q_e} R$


--> Potencial_esfera_interna_en_2R + potencial_capa_en_2R + potencial_esfera_externa_en_2R = 0

----> Contribución debida a la carga de la esfera interna (en r = 2R): $\dst V = \frac 1 {4 \pi \epsilon_0} \frac {Q_i} {2 R}$

----> Contribución debida a la carga de la capa no conductora (en r = 2R): $\dst V = \frac 1 {4 \pi \epsilon_0} \frac {Q_\text {capa}} {2 R} = \frac 1 {4 \pi \epsilon_0} \frac {\dst \int_{R}^{2 R}\!\! \rho_{(x)} \, (4 \pi x^2\, dx)} {2 R}$

----> Contribución debida a la carga de la esfera externa (en r = 2R): $\dst V = \frac 1 {4 \pi \epsilon_0} \frac {Q_e} {2 R}$

Saludos,

Al