1r ciclo Campo y potencial entre dos placas.

[gdonoso94]

Hola, haciendo ejercicios de electromagnetismo me he topado con uno que no consigo resolver, es más, no sé ni cómo empezarlo. Dice así:

En el espacio comprendido entre dos planos conductores indefinidos, conectados a tierra, situados en x=0 y x=3a, existe una carga distribuida uniformemente sobre un estrato de espesor a, que ocupa la región $a\leqslant x\leqslant 2a$. Calcular el campo y el potencial en los distintos puntos del espacio.

¿Alguien podría echarme una mano, al menos, para empezar el ejercicio?

Saludos!

[leo_ro]

Re: Campo y potencial entre dos placas.

Tal cual como está planteado yo diría utilizar la ecuación de poisson.

$\dst \frac{{\partial}^{2}V }{{\partial x}^{2} }+\frac{{\partial}^{2}V }{{\partial y}^{2} }+\frac{{\partial}^{2}V }{{\partial z}^{2} }=- \frac{\rho}{ \varepsilon}$

Como está distribuida la carga de manera que $\dst d \rho = \frac{dq}{dx }=cte$ por lo que $\dst \rho = {\int}^{2a}_{a} \frac{dq}{ dx} dx$

$\dst \frac{{\partial}^{2}V }{{\partial x}^{2} } = - \frac{\rho}{ \varepsilon}$

Al menos lo que entiendo yo del ejercicio es que la densidad de carga es lineal.

Y el campo eléctrico es:

$\vec{E}=-\nabla V$

También puedes primeramente calcular el campo vectorial y luego el campo escalar.

$\nabla \vec{E}=\frac{\rho}{ \varepsilon}$

$\dst \vec{E}= - \frac{\partial V}{\partial x}\hat{\imath} +\frac{\partial V }{\partial y}\hat{\jmath}+\frac{\partial V}{\partial z}\hat{k}$

[gdonoso94]

Re: Campo y potencial entre dos placas.

No, la carga es volumétrica... Es como un espacio entre dos placas infinitas y la carga está distribuida uniformemente y volumétricamente entre ambas... No sé si me explico...

[Breogan]

Re: Campo y potencial entre dos placas.

Hola:

Para hallar el campo electrico creo que lo mas fácil es aplicar la ley de Gauss en su forma integral:

$\dst \int \vec E . d\vec S = \frac q {\varepsilon_0}$

Tenes que seleccionar una superficie que por simetría te permita simplificar el calculo, en este caso me parece que lo conveniente es tomar un cilindro. En el caso de que ambas caras cilíndricas estén en el espacio entre la placa cargada y las placas conectadas a tierra solo tenes flujo en dichas caras (por condiciones de simetría) y es fácil calcular el campo (te queda en función de la densidad de carga volumetrica).

Para las otras regiones creo que es lo mismo.

s.e.u.o.

Suerte

[gdonoso94]

Re: Campo y potencial entre dos placas.

Gracias por la respuesta Breogan. Eso aplico, ¿pero el sentido del campo cómo lo indico? ¿Desde el punto $\dst x=\frac{3}{2}a$ hacia la izquierda es sentido $-\vec{u_x}$ y hacia el otro lado es positivo? Entonces la carga encerrada no sería toda la misma, ¿no? ¿Tomo el cero en el mismo punto x que he mencionado antes? Imagino que me estoy complicando la vida, pero no consigo entenderlo... Muchas gracias por tu ayuda.

[Breogan]

Re: Campo y potencial entre dos placas.

Hola:

Siempre el tema de los signos complica, no te hagas problema y vamos por partes.

Tomemos el centro de nuestro centro de coordenadas en el medio de la placa cargada, y la densidad de carga volumetrica tendrá el signo de la carga neta.

Tomemos el caso mas sencillo, que es el que indique en mi post anterior. El cilindro tiene dos tapas circulares (una en cada espacio entre placas).
Por simetría se puede decir que en las tapas frontales y posterior del cilindro el campo es perpendicular a estas y de valor constante y las superficies serán:

Lado derecho:

$\dst \vec S_D=S . \hat i = \int_{S_D} d \vec S_D = \int_{S_D} dS . \hat i$

y el campo sera:

$\dst \vec E_D= E . \hat i$

ya que si la carga encerrada por la superficie es positiva resulta que E es positivo y $\vec E_D$ apunta hacia la derecha, y viceversa si la carga encerrada es negativa.

En el lado izquierdo el análisis es similar y da:

Lado izquierdo:

$\dst \vec S_I=- S . \hat i = - \int_{S_I} d \vec S_I = - \int_{S_I} dS . \hat i$

y el campo sera:

$\dst \vec E_I= - E . \hat i$

por simetría también podemos decir que el campo eléctrico es siempre paralelo a la superficie lateral (S_L) del cilindro y el flujo por esta sera nulo, por lo cual al final escribimos:

$\dst \int \vec E . d \vec S = \int_{S_I} \vec E_I . d \vec S_I + \int_{S_L} \vec E_L . d \vec S_L + \int_{S_D} \vec E_D . d \vec S_D$

$\dst \int \vec E . d \vec S = \int_{S_I} E \hat i . dS \hat i+ 0 + \int_{S_D} (-E \hat i) . (- dS \hat i)= 2 E S$

y la carga encerrada por el cilindro sera:

$\dst q = \rho S a$

por lo cual:

$\dst 2 E S= \frac q {\varepsilon_0}$

y queda:

$\dst E= \frac {\rho a}{2 \ \varepsilon_0}$

y se ve que los signos son coherentes.

Creo que es así, con un dibujo (que no hice ja!!!) se entiende mejor.

s.e.u.o.

Suerte

[gdonoso94]

Re: Campo y potencial entre dos placas.

A esa parte también llegué yo con tu ayuda del mensaje anterior. Ahora, para considerar el campo que se crea dentro de la densidad de carga, ¿cómo lo harías?

Mil gracias!

[Al2000]

Re: Campo y potencial entre dos placas.

Tal vez te serviría leer este mensaje.

Saludos,

Al

[Breogan]

Re: Campo y potencial entre dos placas.

Hola:

El secreto para el resto de las regiones solo consiste en elegir una ubicación estratégica para cada una de las dos caras del cilindro, tene en cuenta que en dos regiones (el espacio entre cada placa metálica y la placa cargada) ya conoces el valor y dirección del campo eléctrico.

Lee el hilo que te recomendó Al, y si te queda alguna duda no dudes en preguntar.

Suerte.

[gdonoso94]

Re: Campo y potencial entre dos placas.

Mil gracias, luego echaré un ojo a ese post Al.

Un saludo!

[Al2000]

Re: Campo y potencial entre dos placas.

Anoche me tenía amargado este ejercicio que no me dejaba dormir, pues no me cuadraban las cuentas al "mover" la región cargada en el espacio entre los planos conductores. De modo que he pasado un buen rato de esta mañana echándole coco a un caso asimétrico y finalmente obtuve lo que creo es la respuesta correcta. Las gráficas siguientes muestran como serían el potencial y el campo en el caso de que se tratase de una banda de ancho $a$ y densidad $\rho$, ubicada entre $x=2a$ y $x=3a$ y encerrada entre sendos planos conductores conectados a tierra en $x=0$ y $x=4a$:



Como puede verse en la gráfica, el campo no es cero en el plano medio de la banda cargada sino que el cero se desplaza hacia el plano conductor mas alejado.

Bueno, resumiendo la cosa, creo que tu ejercicio debes resolverlo usando la ecuación de Poisson (unidimensional en este caso), pues el plano cargado inducirá una carga superficial en los planos conductores y hay que tomar en cuenta eso. Dada la simetría del problema, el campo dependerá solamente de $x$, debe ser constante fuera de la capa de carga y variar linealmente en el interior de la capa; el potencial variará linealmente fuera de la capa y cuadráticamente en el interior. El problema consiste en empalmar dos rectas con una parábola:

$$V_1(x) = A_1 x + A_2, \quad 0 \leqslant x \leqslant a$$

$$V_2(x) = B_1 x^2 + B_2 x + B_3, \quad a \leqslant x \leqslant 2a$$

$$V_3(x) = C_1 x + C_2, \quad 2a \leqslant x \leqslant 3a$$

con las condiciones de contorno y continuidad

$$V_1(0) = 0,\,\,\, V_3(3a) = 0$$

$$V_1(a) = V_2(a),\,\,\, V_2(2a) = V_3(2a)$$

$$\left . \frac {d V_1}{dx} \right |_a = \left . \frac {d V_2}{dx} \right |_a,\,\,\, \left . \frac {d V_2}{dx} \right |_{2a} = \left . \frac {d V_3}{dx} \right |_{2a}$$

$$\frac {d^2 V_B}{dx^2} = - \frac \rho {\epsilon_0}$$

Saludos,

Al

[Breogan]

Re: Campo y potencial entre dos placas.

Hola:

Gracias Al, muy bueno. No lo había tenido en cuenta, y apenas pueda me pondré a repasarlo; aunque en este caso para tranquilidad de gdonoso94 el problema es completamente simétrico.

En el espacio comprendido entre dos planos conductores indefinidos, conectados a tierra, situados en x=0 y x=3a, existe una carga distribuida uniformemente sobre un estrato de espesor a, que ocupa la región . Calcular el campo y el potencial en los distintos puntos del espacio.

Suerte

[gdonoso94]

Re: Campo y potencial entre dos placas.

Muchas gracias Al, no se me había ocurrido pensar en el caso asimétrico, le echaré un ojo en cuanto pueda. Lo que no llego a entender es por qué varía cuadráticamente dentro de la carga.

[Breogan]

Re: Campo y potencial entre dos placas.

Hola:

Dentro de la carga el potencial electrostático varia cuadraticamente porque el campo lo hace linealmente, y en el espacio entre placas lo hace linealmente pues el campo eléctrico es constante:

$\dst \vec \nabla V =- \vec E \quad \Rightarrow \quad \frac{\mathrm{d} V}{\mathrm{d} x} = - E \quad \Rightarrow \quad V = - \int E \ dx$

s.e.u.o.

Suerte

[gdonoso94]

Re: Campo y potencial entre dos placas.

Ups, no había caído :P.

Gracias!