1r ciclo Distribución de carga sobre placas conductoras

[Pepealej]

¿Cómo resuelvo el siguiente ejercicio? Gracias

Tres láminas metálicas, paralelas, de área S y espesor e, están separadas una distancia d
($\sqrt{S} >> e, d$) y están cargadas con densidades superficiales de carga $\sigma_1$, $\sigma_2$ y $\sigma_3$. Calcular la
distribución de carga en las superficies de cada lámina:
a) Si las tres láminas están aisladas.
b) Si se conectan eléctricamente las láminas de los extremos.

[Al2000]

Re: Distribución de carga sobre placas conductoras

Para la parte a) tienes seis incógnitas, las seis densidades en cada una de las superficies. Las seis ecuaciones son:

- La suma de las densidades en las caras de una lámina es igual a la densidad dada (3 ecuaciones): $\dst \sigma_{1i} + \sigma_{1d} = \sigma_1, \ldots$

- Las densidades en caras enfrentadas son iguales en magnitud y de signo opuesto (teorema de Gauss, 2 ecuaciones): $\dst \sigma_{1d} = -\sigma_{2i}, \ldots$

- El campo eléctrico en el interior de una cualquiera de las láminas es nulo (1 ecuación de 3 posibles): $\dst \frac {\sigma_{1i} + \sigma_{1d} + \sigma_{2i} - \sigma_{2d} - \sigma_{3i} - \sigma_{3d}}{2 \epsilon_0} = 0$

Fíjate que esta última ecuación, escrita para la lámina 2, se reduce a $\dst \sigma_{1i} = \sigma_{3d}$ y es la misma que se obtiene para las láminas 1 y 3. También debo decir que es posible llegar al resultado razonando la cuestión y si resolver ningún sistema de ecuaciones, pero resultaría mas engorroso explicarlo aquí.

La parte b) está mal formulada o tiene trampa, como prefieras considerarlo. Así como está escrita pudiera entenderse que el autor afirma que es posible colocar una carga $\sigma_1$ en la lámina 1 y una carga $\sigma_3$ en la lámina 3, pero eso no puede hacerse si ambas láminas están conectadas. A mi modo de ver, el inciso b) debería reescribirse "si después de cargadas se conectan eléctricamente las láminas de los extremos". Como quiera que se haga, las láminas 1 y 3 ahora forman un sólo cuerpo conductor y ya las densidades $\sigma_1$ y $\sigma_2$ no pueden ser tratadas por separado:

- La suma de las densidades en las caras de ambas láminas es igual a la suma de las densidades dadas (1 ecuación): $\dst \sigma_{1i} + \sigma_{1d} + \sigma_{3i} + \sigma_{3d} = \sigma_1 + \sigma_3$

Eso te deja con una ecuación menos. La ecuación faltante se obtiene del echo de que por estar conectadas, la diferencia de potencial entre las láminas exteriores y la central deben ser iguales: $\dst \frac {\sigma_{1d}}{\epsilon_0} d_{12} = \frac {\sigma_{3i}}{\epsilon_0} d_{23}$.

He distinguido entre dos separaciones para señalar que tienen un efecto en la distribución de carga, pero en tu caso son iguales y la ecuación se reduce a $\sigma_{1d} = \sigma_{3i}$.

Bueno, te dejo eso para que te diviertas.

Saludos,

Al