1r ciclo Ecuación de continuidad con distribución discreta de cargas.

[Mento88]

Hola a tod@s ,
tengo una duda sobre como demostrar que una distribución de cargas puntuales satisface la ecuación de continuidad de forma rigurosa, mi principal problema se encuentra en el punto de estar seguro de como realizar correctamente la derivada de la delta de dirac considerando que dicha derivada no se encuentra dentro de una integral, impidiéndome usar las herramientas que conozco sobre calculo con distribuciones .

La conocida ecuación de continuidad es:
$\frac{\partial }{\partial t } \rho(\vec{r};t) + \vec{\nabla} \vec{j}(\vec{r};t)=0$

Con la siguiente definición de cargas puntuales:
$\rho(\vec{r};t) = \sum_{\alpha} q_{\alpha} \delta(\vec{r}-\vec{r}_{\alpha}(t))$
$\vec{j}(\vec{r};t) = \sum_{\alpha} q_{\alpha} \vec{v}_{\alpha}(t)\delta(\vec{r}-\vec{r}_{\alpha}(t))$

Muchas gracias por la ayuda !

[Noquintopino]

Re: Ecuación de continuidad con distribución discreta de cargas.

Estoy adiestrándome en este foro y no sé bien como va esto de contestar....
Mi nivel de Física se ha quedado en primero de carrera (aunque ahora, desde una situación de parado, estoy tratando de retomar aquella afición)....pero recuerdo haber empezado el curso con una disertación del profesor explicando que los métodos diferenciales e integrales solo pueden utilizarse en medios continuos porque tales métodos presuponen o necesitan de la continuidad de las variables, para después continuar explicando que, a pesar de la materia ser discontinua, se podían aplicar tales métodos por ser la distancia entre las partículas mucho menores que las distancias macroscópicas de la experiencia cotidiana...Pero si ya se da por supuesto que se trata de un sistema de partículas discreto, no puedes aplicar el método diferencial.

Pero...puedes aplicar simplemente el principio de conservación de la carga, que de eso va la ecuación de la continuidad

suerte

[Mento88]

Re: Ecuación de continuidad con distribución discreta de cargas.

gracias por la respuesta,
estoy totalmente de acuerdo contigo,
pero tengo el problema de que mi duda aparece con el apartado A.1. del primer capitulo del libro photons & atoms Introduction to quantum electrodynamics de Cohen-Tannoudji et. al. donde dice explicitamente que dichas definiciones de densidad de carga y de corriente satisfacen la ecuación de continuidad.
la verdad es que aplicando el principio de conservación de la carga se simplifica todo al tener:
$Q=\int d^{3}r \rho(r,t)$
integral q resulta trivial considerando la densidad como suma de deltas, pero entonces no se hace uso de la definición de corriente.

[oscarmuinhos]

Re: Ecuación de continuidad con distribución discreta de cargas.

Completando lo que ha explicado Noquintopino,

La conservación de la carga se cumple en cualquier situación

En lugar de una densidad de cargas que varía continuamente tendrías n=número de cargas por unidad de volumen y en lugar de una integración tendrías un sumatorio de cargas.