1r ciclo Densidad superficial de corriente K

[gdonoso94]

Hola a todos, me he encontrado un problema muy básico pero que me cuesta bastante ver y no consigo afrontarlo... Lo copio literalmente (para que no haya problemas con la traducción):

A current I flows down a wire of radius a.

(a) If it is uniformly distributed over the surface, what is the surface current density K?

(b) If it is distributed in such a way that the volume density is inversely proportional to the distance from de axis, what is J?

No sé como cogerlo por ningún lado (y eso que es de los fáciles)... ¿Alguien puede iluminarme?

Muchas gracias!

[arivasm]

Re: Densidad superficial de corriente K

La intensidad de corriente se define como el flujo de la densidad de corriente, $I=\dst\int_S \vec J\cdot\dd\vec S$, donde $\dst\vec J=\frac{\dd n}{\dd V}q\vec v$, es decir, el producto de la densidad de portadores, por su carga y por su velocidad media. El apartado b) lleva casi directamente al manejo de esta cuestión: aunque no se nos dice nada de qué le sucede a la velocidad media de los portadores, la definición de $\vec J$ será exactamente la misma, salvo que ahora nos indican la dependencia de la densidad de portadores con la distancia al eje del conductor (aunque, por supuesto, la dependencia con dicha distancia para la velocidad media deberá cumplir ciertos requisitos, para que la integral no diverja debido a la densidad infinita de portadores en el eje).

Si suponemos que la velocidad media de los portadores es uniforme entonces el problema puede enfocarse de este modo: Sea $\alpha$ el coeficiente de proporcionalidad entre densidad de corriente y distancia al eje, $r$; es decir, $\dst \frac{\dd n}{\dd V}=\frac{\alpha}{r}$. Al llevar esto a la expresión de la intensidad de corriente encontrarás una expresión que relaciona $\alpha$ con I (yo encuentro $I=2\pi\alpha q v a$). Con ésta podemos substituir $\alpha$ en la expresión para J y ponerla en función de la intensidad. Yo encuentro, $\dst \vec J=\frac{I}{2\pi a r}\,\frac{\vec v}{v}=\frac{I}{2\pi a r}\,\vec u_v$, donde $\vec u_v$ es un vector unitario según la velocidad media de los portadores (es decir, paralelo al eje del conductor).

El caso en que la corriente es superficial exige de un tratamiento diferente y es por ello que se habla de una densidad de corriente superficial, K, en lugar de la densidad de corriente volúmica J. El tratamiento es entonces diferente, pues la intensidad toma la forma $I=\oint \vec K\cdot\dd l\vec n$, donde ahora la integral se hace a lo largo de una curva cerrada trazada sobre la superficie y que rodee al conductor (por ejemplo, en este ejercicio prodría ser una circunferencia) y los $\dd l$ se toman sobre la superficie y sobre dicha curva, y los vectores unitarios $\vec n$ se toman sobre la superficie y perpendiculares a la curva elegida. En el caso de este ejercicio es muy fácil ver que $I=2\pi a K$ y entonces $\dst K=\frac{I}{2\pi a}$

Puedes ver sobre las definiciones anteriores en este enlace: http://bacterio.uc3m.es/docencia/pro...pler-Mosca.pdf

[gdonoso94]

Re: Densidad superficial de corriente K

Como siempre, magnífica explicación.

Muchísimas gracias Arivasm.

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Actualizo con una duda nueva... La definición de corriente es:

$\dst I=\frac{dn}{dV}q\vec{u_n}\vec{v}S$

Donde S es la superficie. Ahora bien, ¿por qué aparece $2\pi a$ en lugar de $\pi a^2$? No consigo verlo del todo...

[arivasm]

Re: Densidad superficial de corriente K

El ejercicio plantea que la densidad de portadores es inversamente proporcional a la distancia al eje. Si lo expresamos como $\dst \frac{\dd n}{\dd V}=\frac{\alpha}{r}$, el vector densidad de corriente será $\dst\vec J=\frac{\alpha}{r}q\vec v$. Usando coordenadas cilíndricas e integrando respecto de la coordenada angular (pues en el cálculo del flujo de J la única coordenada de la que depende J es r) tenemos que $\dd\vec S=2\pi r\,\dd r\, \vec n$ (el elemento de superficie sería $r\dd\varphi\dd r$).

Por tanto, el flujo de la densidad de corriente (intensidad) será $\dst I=\int \vec J\cdot\dd\vec S=\int_0^a \frac{\alpha}{r}q v\, 2\pi r\dd r=2\pi\alpha q v a$. De aquí tenemos que $\dst \alpha = \frac{I}{2\pi q v a}$ y al substituir en la expresión para J resulta $\dst \vec J=\frac{I}{2\pi q v a r}q\vec v=\frac{I}{2\pi a r}\vec n$

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Actualizo: como ves, la clave de tu pregunta es la definición de la intensidad. Al ser el flujo de J debes usar una integral. En definitiva, la definición que pones no es correcta si J no es uniforme.