1r ciclo Energía en circuito RC

[JaJaBin]

Un circuito RC común, con $R = 2 M\Omega$ y $C = 0,5 \mu F$, se cierra a t = 0 con el capacitor cargado.
Prediga cuanto tiempo demora en disminuir a la mitad la energía eléctrica almacenada.

Me ayudan con esto?

[oscarmuinhos]

Re: Energía en circuito RC

Empiezas por hallar la ecuación para el régimen transitorio de la descarga del condensador a través de la resistencia

con la malla de la imagen adjunta es evidente que la caída de tensión en la resistencia más la caída de tensión en el condensador ha de ser cero, con lo cual:



$V_R + V_C = 0$ o sea, $iR + \frac{q}{C}= 0$

De la integración de esta ecuación se obtiene la ecuación de la descarga del condensador:

$\dst \frac{dq}{dt}.R = -\frac{q}{C}$

Separando variables e integrando:
$\dst \int \frac{dq}{q } =- \int \frac{1}{RC}dt$. De donde, después de integrar: $\dst ln \frac{q}{q_0} = -\frac{1}{RC}t$ (1)

o $\dst q = q_0.{e}^{- \frac{1}{RC} t }$ (2)

solo queda determinar la carga q final cuando la energía almacenada se ha reducido a la mitad:

Teniendo en cuenta que: $\dst U = \frac{1}{2 } \frac{q^2}{C }$

Tendrás: $\dst \frac{1}{2 } \frac{q^2}{C }= \frac{1}{2}\frac{1}{2}\frac{Q_0^2}{C }$ (3)

Despejas de aquí la q final y la substituyes en (2) o en (1) y...resuelto?

[JaJaBin]

Re: Energía en circuito RC

La energía es $U=\dfrac{Q^2}{2C }$, donde $q=Q_0e^{\frac{-t}{RC}}$

$U=\dfrac{{Q_0}^2e^{\frac{-2t}{RC}}}{2C }$

asique $U=U_0 e^{\frac{-2t}{RC}}$

puede ser de aquí?

[oscarmuinhos]

Re: Energía en circuito RC

Efectivamente que puedes hacerlo también a partir de esa nueva ecuación de la energía.

Yo te sugería hacerlo a partir de la ecuación (3) que te ponía en el post anterior obteniendo para la carga final (cuando la energía se reduce a la mitad):

$\dst q =\frac{Q_0}{\sqrt{2}}$ y llevando este resultado a la ecuación (2):

$\dst \frac{Q_0}{\sqrt{2}}= Q_0{e}^{-\frac{t}{RC} }$

de donde cancelando términos y hallando logaritmos:

$\dst -ln \sqrt{2} = - \frac{t}{RC}$ y $t = RC.ln \sqrt{2}$


Naturalmente, a partir de la ecuación de la energía que escribes tú llegas al mismo resultado:

$\dst U=U_0e^{\frac{-2t}{RC }}$.

Cuando la energía se reduce a la mitad:
$\dst \frac{U_0}{2 }=U_0e^{\frac{-2t}{RC }}$.

Cancelando términos y hallando logaritmos:
$\dst -ln 2 = - \frac{2t}{RC }$ con lo que $\dst RC. \frac{ln 2}{2} = t$ o $\dst RC.ln \sqrt{2} = t$