Secundaria Electrostatics - Charges

[luiseduardo]

Original Problem:

"The ball 1 can be charged to a certain charge Q by a generator. After that, through contact with the ball 2, the first ball can transfer to second ball part of its charge. After the first contact, the ball 2 has a charge q. Before the contact, the ball 2 was neutral. What charge the ball 2 can acquire repeating the process repeatedly."

Google Translate to spanish:
La bola 1 se puede cargar a una cierta carga Q por un generador. Después de eso, a través del contacto con la bola 2, la primera bola se puede transferir a la segunda parte la bola de su carga. Después de la primera toma de contacto, la bola 2 tiene una carga q. Antes del contacto, la bola 2 era neutral. ¿Qué carga la bola 2 se puede adquirir de repetir el proceso varias veces.



The answer is qQ/Q-q

[arivasm]

Re: Electrostatics - Charges

En cada contacto entre las bolas se cumplen dos cosas:
1º La carga total no cambia.
2º Las bolas están en equilibrio eléctrico, de manera que están al mismo potencial.

Esto último significa que tras cada contacto $\dst \frac{Q_1}{R_1}=\frac{Q_2}{R_2}$.

Añado (gracias Al!): con los datos del enunciado $\dst \frac{Q_1}{C_1}=\frac{Q_2}{C_2}$, donde las capacidades se obtienen con los datos acerca del primer contacto.

En principio podría parecer que deberíamos tener en cuenta la condición 1ª. Sin embargo, es fácil ver que como antes de cada contacto la bola 1 siempre tiene la misma carga, Q, y que la transferencia de cargas terminará cuando las bolas no varíen sus cargas eléctricas, en el equilibrio final se cumplirá que $Q_2=Q$ y que

$$\dst Q_2=Q\frac{R_2}{R_1}$$

Añado (por la razón anterior): $\dst \dst Q_2=Q\frac{C_2}{C_1}$. No haré más cambios en el resto del desarrollo, basta con substituir las R por C y, como dije, usar finalmente el dato acerca del contacto inicial.

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De todos modos, si quieres, puedes enfocarlo de otra manera más complicada y mucho menos elegante: usemos un subíndice adicional para marcar la carga de la bola 2 después de cada contacto. De esa manera, tenemos que la 1ª condición es

$$Q_{2,n-1}+Q=Q_{2,n}+Q_{1,n}$$

donde aquí $Q_{1,n}$ es una variable auxiliar que usamos para indicar la carga que tendría la bola 1 si no fuese modificada por el generador. Como

$$\frac{Q_{2,n}}{R_2}=\frac{Q_{1,n}}{R_1}$$

puedes despejar $Q_{1,n}$ en (3) y substituir en (2). De esa manera tendrás una relación de recurrencia que proporciona la sucesión de valores para las $Q_{2,n}$. Teniendo en cuenta que $Q_{2,1}=0$ el resultado del problema será el que corresponda al límite $n\to\infty$ de esa sucesión.

Para obtener esto último debes aplicar la relación de recurrencia y obtener el término general de la sucesión, lo que no deja de ser engorroso. Si no me equivoco, la sucesión es de la forma

$$Q_{2,n}=\left(\frac{R_2}{R_1+R_2}\right)^n Q_{2,0}+Q\sum_{k=1}^n\left(\frac{R_2}{R_1+R_2}\right)^k$$

de manera que el límite para $n\to\infty$ del primer sumando es nulo (lo que significa, como era de esperar, que la carga inicial de la bola 2 no importa). Por su parte, el segundo sumando es Q por la suma de una progresión geométrica decreciente y de razón $\dst \frac{R_2}{R_1+R_2}$, cuyo límite es $R_1/R_2$.

En consecuencia

$$\lim_{n\to\infty}Q_{2,n}=Q\frac{R_1}{R_2}$$

Como ves, llegamos al mismo resultado de antes, pero matando una mosca de un cañonazo. Como siempre, el sentido físico es el mejor atajo

[Al2000]

Re: Electrostatics - Charges

Aunque estás en lo correcto, no has llegado a la respuesta en función de los datos originales $q$ y $Q$. El problema puede enfocarse estableciendo la igualdad de los potenciales en el primer contacto y luego de múltiples contactos:

$$\frac q {C_2} = \frac {Q-q}{C_1}$$

(hay una diferencia de potencial y por lo tanto hay transferencia de carga)

$$\frac {q'}{C_2} = \frac Q {C_1}$$

(los potenciales se han igualado y ya no hay transferencia de carga).

Dividiendo miembro a miembro para eliminar las capacidades, se obtiene que $\dst q' = \frac {q Q}{Q-q}$

Saludos,

$\mathcal A \ell$

[arivasm]

Re: Electrostatics - Charges

Gracias, Al. Una muestra más de que debería fijarme más en los enunciados... ¡Ay los años!

[luiseduardo]

Re: Electrostatics - Charges

Gracias Al and arivasm !!