Otras carreras Polo complejo conjugado

[LauraLopez]

Hola, como veran en lo demas hilos vengo haciendo un ejercicio que consta de varios incisos, aca tengo muchas dudas con el inciso correspondiente a polos complejos , el ejercicio seria:

Calcullar y graficar las respuestas temporal (impulsiva) y frecuencial en modulo y fase de : (varios incisos)

A) Polo simple
B) Polo doble
.
.
.
D) Un par de polos simples complejos conjugados en $\dst p = -a \pm j b$

Este inciso D es en el que estoy interesada de resolver en este hilo.

No logro hacer el primer paso que seria obtener la funcion de transferencia, por ejemplo en los demas incisos cuando era el caso de un polo simple era facil ver que la funcion de transferencia sera : $\dst H(s) = \frac{K}{s }$ pero en este caso de polos complejos conjugados como sera la funcion de transferencia?

Alguna ayuda?

gracias

[Rodri]

Re: Polo complejo conjugado

$H(s)=\frac{K}{(s+a+jb)(s+a-jb) }=\frac{K}{(s+a)^{2}+b^{2} }$

Esto es álgebra bastante elemental para una estudiante de ingeniería ¿no crees que esto eres capaz de obtenerlo tú sola con tus conocimientos de matemáticas? Yo creo que sí.

La respuesta temporal es un poco más largo de obtener. Hay que descomponer primero H(s) en suma de dos fracciones de orden uno, cada una con uno de los polos:

$H(s)=\frac{K}{(s+a+jb)(s+a-jb) }=\frac{K_{1}}{ s+a+jb}+\frac{K_{2}}{s+a-jb}$

Los coeficientes $K_{1}$ y$K_{2}$ se calculan de esta forma:

$\frac{K_{1}}{ s+a+jb}+\frac{K_{2}}{s+a-jb}=\frac{K_{1}(s+a-jb)+K_{2}(s+a+jb)}{(s+a+jb)(s+a-jb) }$

Identificando ahora el numerador de esta fracción con $K$ obtenemos dos ecuaciones

Término en s: $K_{1}+K_{2}=0$

Término independiente: $K_{1}(a-jb)+K_{2}(a+jb)=K$

Resolviendo las dos ecuaciones obtenemos $K_{1}=-j\frac{K}{ 2b}$ y $K_{2}=j\frac{K}{ 2b}$

Por lo tanto tenemos que

$H(s)=\frac{K}{j2b(s+a+jb)}-\frac{K}{ j2b(s+a-jb)}$

Y podemos aplicar la transformación inversa de Laplace a cada sumando:

$h(t)=\frac{K}{ j2b}exp[-(a+jb)t] - \frac{K}{ j2b}exp[-(a-jb)t] =$
$=-\frac{K}{j2b}[exp(jbt)-exp(-jbt)]exp(-at)=-\frac{K}{b}\sin(bt)exp(-at)$

En realidad, aunque lo he obviado para no recargar la notación, hay que multiplicar por la función escalón esta función para dar la respuesta definitiva (como siempre):

$h(t)=-u(t)\frac{K}{b}\sin(bt)exp(-at)$

Ahora intenta graficar a ver qué te sale. Es una senoide amortiguada con envolvente exponencialmente decreciente...

[LauraLopez]

Re: Polo complejo conjugado

Rodri, como siempre mil gracias por tu ayuda! Con respecto a la funcion de transferencia tenes toda la razon la podria haber obtenido yo, me ahogue en un vaso de agua yo sola....

Como dice el ejercicio me pide las graficas del modulo y fase de la respuesta en frecuencia y la grafica de la respuesta temporal.

Entonces segun me decis el modulo seria:

$\dst\left\vert{} H(jw)\right\vert{}= \frac{k}{{(jw+a)}^{2 } + b^2 }$

y la fase seria (lo que hice aca es desarrollar el denominador):

$\dst \phi = - {tan}^{-1 }\left( \frac{wa}{a^2 + b^2 - w^2 } \right)$

Finalmente como me indicaste la respuesta temporal es :

$\dst h(t) = - \frac{k}{b } \sin (bt) {e}^{-at } u(t)$

La grafica de la respuesta temporal creo que seria asi :

http://i.imgur.com/IdIrrd4.jpg

Como veras no indique valores en los ejes, sino que solo es una grafica aproximada "a ojo" esta bien? o la misma deberia ser mas exacta?

Con respeto a la fase la formula que indico es correcta? de ser asi como se hace esa grafica? me resulta muy complicado imaginar como seria la misma

Por ultimo con la grafica del modulo debo haber las graficas de Bode.....en este caso tengo polos complejos conjugados no sabria como graficar.... segun mi teoria a la hora de graficar con Bode para polos complejos conjugados la funcion de transferencia tiene un denominador de la forma : $\dst {\left( s^2 + 2 \gamma w_n s + {w_n}^{2 }}\right)^{r }$ y no veo como llegar este ejercicio a esa forma...

Saludos!

[Rodri]

Re: Polo complejo conjugado

A mí la fase del denominador me sale

$\phi(jw)=\tan^{-1}(\frac{-2aw}{ a^{2}+b^{2}-w^{2}})$

Y la fase de H(jw) es entonces $Fase(K)-\phi(jw)$,

donde Fase(K)=0 si K>0 o 180º si K<0

La gráfica de Bode del módulo de H(jw), empezará como una línea horizontal para w=0 y al llegar a w=b empezará a caer con 40 dB/dec.

La gráfica corregida se empezará a desviar de la línea horizontal (la no corregida) al acercarnos a w=b, en donde presentará un máximo (un pico de resonancia). Ese pico será más o menos acentuado (más o menos dB respecto al valor en w=0) dependiendo de la relación a/b. Cuanto mayor sea esta relación, menos acentuado será ese máximo. Esto quiere decir que cuanto mayor sea la relación a/b más amortiguada es la respuesta. Fíjate que el amortiguamiento de la respuesta se puede ver también en la respuesta al impulso h(t). Cuanto más rápido se atenúe la amplitud de la oscilación más amortiguamiento tenemos y por tanto el pico de |H(jw)| en w=b es menos acentuado. En realidad el pico o máximo en la resonancia amortiguada no es exactamente en w=b sino en un valor cercano. Para calcular cuál es este valor exactamente calcula el valor de w² que hace mínimo el módulo del denominador (que es función de w²) ¿Te atreves?

La gráfica que has hecho de h(t) es cualitativamente correcta. Tecleando en google "oscilación amortiguada" te aparecen las formas de la respuesta. También en el artículo de wikipedia sobre el oscilador armónico amortiguado.

Una curiosidad, Laura: ¿sigues algún texto base en la asignatura? ¿Cuál?

Un saludo
Rodri

[LauraLopez]

Re: Polo complejo conjugado

A ver vamos de a poco, con respecto a la fase tenias razon en mi formula me confundi, sin embargo en tu formula difiero en el signo.

Tenemos :

$\dst H(jw) = \frac{k}{{(jw +a)}^{2 } + b^2 }= \frac{k}{(a^2 + b^2 - w^2) + j2aw}$

Tomando K>0 la fase del numerador seria cero y por ende la fase total seria:

$\dst H(jw) = - {tan}^{ -1} \left(\frac{2aw}{a^2 + b^2 - w^2 } \right)$

Esa seria la formula coincidis? de ser asi como se hace esa grafica? sigo sin saber hacerla....

Luego con respecto a graficar el modulo ( Bode) sigo sin comprender como se hace me podes explicar como hacerlo?

No se como adaptar lo que explica mi libro a este ejercicio te doy un ejemplo:

Si la funcion de transferencia fuera esta : $\dst H(s) = \frac{1}{{\left( s^2 + \frac{3}{2 }s + 900\right)}^{ 3} }$ tengo que el denominador es de la forma: $\dst s^2 + a_1s +a_0$ entonces la frecuencia natural es $\dst w_0= \sqrt{a_0}$ y la proporcion de amortiguacion viene dada por : $\dst \gamma = \frac{a_1}{2\sqrt{a_0} }$

Entonces en el ejercicio este que te pongo como ejemplo tendria que la frecuencia de corte es $\dst w_0 = 30$ y la pendiente luego del corte es -40r=-40(3)=-120 db/DEC

Entonces debo calcular el valor inicial que viene dado por: $\dst 20r log {w_0}^{2 } = 177 dB$ que en realidad es negativo por estar en el denominador.

O sea que la grafica no corregida seria una recta horizontal que comienza en -177 dB hasta llegar a la frecuencia de corte w_0 donde luego empieza a decaer con una pendiente de -120 dB/dec

Esta es la forma en la que debo resolver el ejercicio porque es la que plantea mi libro pero no logro resolverlo asi para el caso del ejercicio que estamos tratando, en nuestro caso tenemos:

$\dst H(s)= \frac{k}{s^2 + 2as + a^2 + b^2 }$

La frecuecia de corte aca seria entonces $\dst w_0 = \sqrt{a^2 + b^2}$ ???? no estoy segura y me cuesta continuar.....

Obviamente primero tengo que lograr tener dibujada el bode no corregido para luego intentar comprender como realizar la grafica corregida de bode

Con respecto a lo que me pides que calcule de w y de resonancia no te comprendi bien a que te referis y creo que una vez que tenga resuelto el ejercicio podre completar haciendo lo que me pedis

Por ultimo en la materia si seguimos un libro especifico que es: Electric Circuit Analysis de David E. Johnson