Otras carreras Potencial en un tubo cargado

[chrishaig]

Hola! Tengo que resolver el siguiente problema:

Lo que pensé yo es que el punto pedido es el de mayor potencial. Entonces lo que hice fue calcular el campo electrico usando Gauss:

$0<\rho<R: E=0$

$R<\rho<\infty:E=\frac{\sigma R}\rho$

Con $V(\infty)=0$:
$V(\rho)=-\int\limits_\infty^\rho E dl$
Pero entonces para $\rho>R$, tengo $V(\rho)=\sigma R \ln(\infty/\rho)=\infty$, por lo tanto no sé qué está mal ni cómo hacerlo de otra forma. Podría calcular el campo eléctrico sin usar Gauss, pero la integral parece muy complicada. Este ejercicio es de un examen y (si la intergal es tan difícil como parece) no se supone que lo haga así.
Alguna ayuda?
Gracias!

[oscarmuinhos]

Re: Potencial en un tubo cargado

Hola
El teorema de Gauss exige que la superficie sea cerrada y ....por lo tanto, al darte una longitud L, no se puede aplicar de esa forma tan sencilla que haces salvo empezar con la suposición de que L>>>R

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Creo que podrías empezar demostrando que el potencial máximo se encuentra en el centro de gravedad del cilindro (no estoy muy seguro de ello, pero creo que sí) y calcular el potencial únicamente en ese punto, que ya te da una integración más fácil.

[chrishaig]

Re: Potencial en un tubo cargado

Si pudiera demostrar que ese punto está en el centro del cilindro, entonces podría calcular el campo eléctrico sólo para el eje z (eje del cilindro), y la integral es mucho más sencilla. Pero cómo demuestro eso??

[oscarmuinhos]

Re: Potencial en un tubo cargado

Si tienes dos anillos iguales con igual carga situados en un plano perpendicular, por ejemplo, al eje x, uno centrado en $x_1=L$ y otro centrado en $x_2=-L$...

Es fácil calcular el potencial debido a uno de los anillos en un punto cualquiera del eje x. Tomas un punto cualquiera del eje x, por ejemplo x=a. Determinas el potencial debido a uno de los anillos, determinas el potencial debido al otro anillo para ese mismo punto, sumas y tienes el potencial debido a esos dos anillos separados una distancia 2L en ese punto del eje x (x=a). Derivas ese potencial respecto a la variable $a$ e igualando a cero puedes obtener donde se encuentra ese punto de potencial máximo.
Razonando a continuación que un cilindro es un conjunto de infinitos anillos iguales, simétricamente distribuidos respecto al centro del anillo, estaría demostrado donde se encuentra el punto de máximo potencial de ese cilindro.


Nota: previamente habría que razonar (aunque fuese cualitativamente) que el máximo potencial de ese par de anillos iguales ha de estar en algún punto de su eje común

Creo que este razonamiento puede ser válido, ¿no crees?