Secundaria Determinación de potencial vector

[FireRaptor]

Hola. No me considero muy experto en este tema. La cosa es:

Una partícula de carga e y masa m se encuentra inmersa en un campo magnético constante (ud puede escoger el eje z en dirección del campo): a) encuentre el potencial vector correspondiente.

Quisiera saber con esos datos como podría determinar el potencial vector, sin importar coordenadas. Gracias.

[oscarmuinhos]

Re: Determinación de potencial vector

$\vec{B} = \nabla \times \vec{A}$

Y como $\vec{B} = B.\vec{k}$, al desarollar el rotacional tendrás:

$\dst \frac{\partial A_z}{\partial y} - \frac{\partial A_y}{\partial z}=0$

$\dst \frac{\partial A_x}{\partial z} - \frac{\partial A_z}{\partial x}=0$

$\dst \frac{\partial A_y}{\partial x} - \frac{\partial A_x}{\partial y}=B$

[FireRaptor]

Re: Determinación de potencial vector

Ok, y disculpa la pregunta. Pero, de qué forma se puede resolver este sistema?. No tengo muy fresca esa teoría.

[arivasm]

Re: Determinación de potencial vector

Lo primero es que del mismo modo que el potencial escalar no es único (podemos sumarle una constante arbitraria), el potencial vector tampoco lo es (podemos sumarle el gradiente de una función escalar arbitraria). En consecuencia, no habrá una sola respuesta, sino que habrá que hacer alguna elección. Si el enunciado es como has indicado, lo más sencillo es optar por *cualquier* $\vec A$ que satisfaga las ecuaciones que ha puesto Óscar. Por ejemplo, $\vec A=(0,Bx,0)$, pero nada impide meterse en otras danzas más complicadas; por ejemplo $(az,Bx,ax)$ (donde a es una constante). De todas maneras, lo correcto será optar por una respuesta cualquiera (obviamente tomando una sencilla, como la primera) y responder que $\vec A=(0,Bx,0)+\vec\nabla f$, siendo f(x,y,z) una función escalar arbitraria.

[oscarmuinhos]

Re: Determinación de potencial vector

Ok, y disculpa la pregunta. Pero, de qué forma se puede resolver este sistema?. No tengo muy fresca esa teoría.

Ya ha contestado perfectamente arisvam dándote una forma de llegar a alguna de las muchas soluciones.
Solo añadir que aún sin saber nada de ecuaciones diferenciales en derivadas parciales, son bastantes cosas las que se pueden sacar de las tres ecuaciones en derivadas parciales que resultan de aplicar el rotacional a un potencial vector A desconocido del que tiene que resultar un campo uniforme de dirección $\vec{k}$

En principio podríamos tener que $A_x =A_x(x, y, z)$; $A_y =A_y(x,y,z)$ y $A_z=A_z(x,y,z)$

Ahora bien,$\dst \frac{\partial A_y }{\partial x} - \frac{\partial A_x}{\partial y}= B$

[FONT=palatino linotype](Aquí reedito corrigiendo de acuerdo a la observación que arisvam hace en el siguiente post. Gracias arisvam y disculpas a FireRaptor y a quién haya podido leer los errores cometidos)[/FONT]

siendo B uniforme, implica necesariamente que una de las posibilidades es que$A_y$ solo puede ser solo sea función de $x$: $A_y =A_y(x)$ y que $A_x$ solo puede ser sea función de $y$. Si en cada una de estas componentes del potencial vector $\vec{A}$ estuviesen presentes las otras variables [FONT=Comic Sans MS]como coeficientes[/FONT], estas no podrían desaparecer con la operación de derivación y aparecerían en la expresión de B y este no podría ser uniforme.
Por otra parte, la dependencia respecto de $x$ de la componente $A_y$, ($A_y =A_y(x)$) tendrá que ser tal que la variable $x$ desaparezca en la derivación. Con lo cual tendrá que ser de la forma $A_y = A_y(x) = C_1.x$

Otro tanto cabe decir de la componente $A_x$ ($A_x = A_x(y)$) del potencial vector: tendrá que ser de la forma $A_x= C_2.y.$

Solo queda discutir como puede ser la componente $A_z$ del potencial vector $\vec{A}$

Si tomamos ahora la ecuación: $\dst \frac{\partial A_z}{\partial y} - \frac{\partial A_y}{\partial z}= 0$ y tenemos en cuenta que $A_y=A_y(x)$ resultará que
$\dst \frac{\partial A_z}{\partial y} = \frac{\partial A_y}{\partial z} = 0$ de lo cual resulta que $A_z$ solo podrá ser función de $x$ y de $z$, es decir$A_z =A_z(x,z)$

Asimismo, si tomamos la ecuación: $\dst \frac{\partial A_z}{\partial x} - \frac{\partial A_x}{\partial z}= 0$ y tenemos en cuenta que $A_x = A_x(y)$, se obtendrá que:

$\dst \frac{\partial A_z}{\partial x} = \frac{\partial A_x}{\partial z}= 0$, de lo cual resultará que $A_z$ solo podrá ser función de $y$ y de $z$, es decir $A_z=A_z(y,z)$.

Juntando finalmente estas últimas conclusiones, se obtiene que $A_z=A_z(z)$, o sea que valdrá cualquier función de $z$.

O sea que finalmente,

$\vec{A} = C_1.y .\vec{i} + C_2.x .\vec{j} +f(z).\vec{k}$ o $\vec{A} = (C_1.y, C_2.x, f(z))$

Solo queda determinar las constantes $C_1$ y $C_2$ para que la aplicación del rotacional al potencial vector $\vec{A}$ nos dé el campo magnético $\vec{B}$

Son muchas las soluciones que resultan de aquí. Una de ellas te la explicó arisvam para $C_1 = 0$ y $C_2=B$. Otra pudiera ser: $\dst C_1 =\frac{B}{2}$ y $\dst C_2 = -\frac{B}{2 }$

[arivasm]

Re: Determinación de potencial vector

$\dst \frac{\partial A_y }{\partial x} - \frac{\partial A_x}{\partial y}= B$ siendo B uniforme, implica necesariamente que $A_y$ solo puede ser función de x: $A_y =A_y(x)$ y que $A_x$solo puede ser función de y.

No exactamente. De hecho, puse un ejemplo que no se corresponde con lo que has puesto, me refiero a $\vec A=(az,Bx,ax)$, en la que no es cierto que $A_x$ sólo sea función de y, y que satisface las ecuaciones: $\dst \frac{\partial A_z}{\partial y} - \frac{\partial A_y}{\partial z}=0-0=0$, $\dst \frac{\partial A_x}{\partial z} - \frac{\partial A_z}{\partial x}=a-a=0$, $\dst \frac{\partial A_y}{\partial x} - \frac{\partial A_x}{\partial y}=B-0=B$

[oscarmuinhos]

Re: Determinación de potencial vector

Muy cierto. Sobra el necesariamente, porque no es necesariamente. Yo estaba pensando en que si $A_y$ tiene la variable $x$ no puede tener unos coeficientes con la variables $y$ o $z$ y lo mismo razoné para $A_x$ y luego generalicé sin más reflexión. Se queda en todo caso que es una de las posibilidades ¿Por que una de las posibilidades si que es, no me estoy equivocando de nuevo?. Gracias arisvam. Reeditaré para corregir. Y, por favor, revísalo de nuevo, por si hubiera algún error más. Quien se encuentre con estas cosas en el foro con la intención de aprender siempre agradecerá que no le induzcan a caer en los mismos errores que caímos otros. Gracias de nuevo, arisvam.

[arivasm]

Re: Determinación de potencial vector

Se queda en todo caso que es una de las posibilidades ¿Por que una de las posibilidades si que es, no me estoy equivocando de nuevo?. Gracias arisvam. Reeditaré para corregir. Y, por favor, revísalo de nuevo, por si hubiera algún error más.

No, no te equivocas. De todos modos, yo insisto en que de la misma manera que para el problema en que haya que obtener el potencial escalar de un campo lo que se hace es encontrar una respuesta válida cualquiera y añadirle la coletilla "+cte", yo aquí encontraría la más sencilla posible y le añadiría la coletilla "$+\vec\nabla f$, y entiendo que la más sencilla es $(0,Bx,0)$ o bien $(-By,0,0)$

[oscarmuinhos]

Re: Determinación de potencial vector

Si que tienes razón que sería lo más práctico porque además en este caso era muy fácil encontrar alguna de esas soluciones más sencillas