1r ciclo Posible fallo en la derivación de la ecuación de difusión de corrientes (Maxwell)

[fisicah]

Hola, buenas noches

Si decimos en un cable que (1):

$Rot(H)=J+D_t$
$D_t\approx 0$

Y por otro lado, (2)
$Rot(E)=-\mu H_t$
$Rot(Rot(E))=Grad(Div(E))-Lapl(E)=-\mu Rot(H_t)$

Y por otro lado (3) (aquí creo que hay un fallo):
$Div(E)=0$

Y por otro lado (4)
$E=\dfrac{J}{\sigma}$

(2) Queda la ecuación de difusión de corrientes:
$Lapl(J) = \mu \sigma J_t$

Y mi pregunta es... ¿No sería en (3) $Div(E)=\dfrac{\rho}{\varepsilon}$, y por tanto quedaría la ecuación de difusión:

$\dfrac{\varepsilon}{\sigma}\nabla^2(\dfrac{\partial \rho}{\partial t})=\nabla \rho +\dfrac{1}{c^2}\dfrac{\partial^2 \rho}{\partial t^2}$

???

¡¡¡Mil gracias!!! Es que o la $\rho$ que sale en la divergencia de E es la densidad de carga ESTATICA, y se estima que no habrá, o no lo entiendo, porque densidad de carga siempre hay salvo en el vacío y similares...

[Julián]

Re: Posible fallo en la derivación de la ecuación de difusión de corrientes (Maxwell)

Por lo que sé la ecuación de difusión es para distribución variable de una cantidad con respecto al tiempo. Y relaciona las derivadas espaciales y temporales de la magnitud. Existen dos causas del campo eléctrico, una causa escalar y otra vectorial.

$\dst \nabla. \vec{E} = \frac{\rho}{ \varepsilon}$ y $\nabla \times \vec{E}= - \mu \hat{\vec{H}}$

Sabemos que $\dst \nabla. \vec{J}=-\frac{\partial \rho}{\partial t}$

$\dst \nabla . \vec{E}= -\frac{1}{\sigma }\frac{\partial \rho}{\partial t}$

Como la neutralidad eléctrica debe mantenerse, al menos en forma macroscópica en un conductor , es imposible que varíe la densidad de carga superficial. por lo que $\dst \frac{\partial \rho}{\partial t} =0$ y por lo tanto $\dst \nabla . \vec{E}=0$.

$\dst \iint \vec{J}.\hat{n}dA = \iiint \nabla. \vec{J} dV=0$

El flujo es igual a cero ya que la densidad de corriente entrante es igual a la densidad de corriente saliente. Y como $\dst \nabla. \vec{J} dV=-\frac{\partial \rho}{\partial t}$

y si $\dst \iiint \nabla. \vec{J} dV=0 \Rightarrow -\frac{\partial \rho}{\partial t}=0$

Lo que sí me genera duda, es si hacemos un análisis punto a punto. Por ejemplo si aplicamos una diferencia de potencial a un conductor mediante una batería. En el conductor habrá un campo eléctrico.

$\dst \nabla V=-\vec{E}$

y cuya causa son las cargas eléctricas

$\dst {\nabla}^{2}V= \frac{\rho}{\varepsilon }$

¿Y cómo se mantiene el campo en el interior y a lo largo del conductor? Pues por la densidad de corriente.

$\vec{J}= \sigma \vec{E}$

¿Y la densidad de corriente de donde sale? Si no hay $\vec{H}$ externo que la genere sino un potencial aplicado por una batería, la cual por una oxidación re-dox produce $\rho \neq 0$ en sus polos. Entonces no queda más que la densidad de corriente en el interior del conductor se establece por una variación de cargas eléctricas en el interior del conductor.

$\dst \nabla.\vec{J}= \frac{\partial \rho}{\partial t} \wedge \nexists \vec{{H}_{ext}} \Rightarrow \frac{\partial \rho}{\partial t} \neq 0$

Y ahí sería factible que la ecuación de difusión sea tal cual tu la expresas. Es más hasta me parece interesante, tendría que verla mejor. Me interesa saber lo que piensa alguien más del foro.

PD: por cierto la densidad de carga diferente de cero no sería en el conductor, este se mantiene siempre electricamente neutro. Sino que se establecerían densidades de cargas en varios lugares de este. La carga neta total sigue siendo cero.

[fisicah]

Re: Posible fallo en la derivación de la ecuación de difusión de corrientes (Maxwell)

Muchas gracias, julián!!!!

Creo haberme enterado bien de tu explicación y de la idea final que has lanzado, pero hay una aparente contradicción que no logro resolver.

En primer lugar afirmas que:
$\dst \iiint \nabla. \vec{J} dV=0$
Y en principio, aunque no me gusta suponer cosas, veo que tiene todo el sentido del mundo pensándolo normalmente.

De ahí vía Ley de Gauss aplicado a un cilindro y Ley de Ohm, y coincido contigo, deduces que:
$\dst \nabla . \vec{E}=0$

PERO identificando con la ley de Gauss general para el electromagnetismo (1ª Ecuación de Maxwell)
$\dfrac{\rho}{\varepsilon}=0$

PERO si $\rho=0 \rightarrow \rho.\vec{v}=\vec{J}=0 \rightarrow$ no habría ni corriente, ni nada de nada, así que o la primera hipótesis no encaja (aunque para mí tiene sentido) o hay algo importante que no acabo de entender (que es lo más probable)

Gracias, Julián!!!

[Julián]

Re: Posible fallo en la derivación de la ecuación de difusión de corrientes (Maxwell)

es que $\rho$ que es la densidad de carga sobre volumen, no es lo mismo que $\frac{\partial \rho}{\partial t}$ que es la variación de la densidad de carga sobre volumen.

$\dst {\iint}_{s} \vec{J}d\vec{S}={\iiint}_{V} - \frac{\partial \rho}{\partial t}dV$ es la forma integral de $\dst \nabla.\vec{J}=- \frac{\partial \rho}{\partial t}$

Es decir que el flujo de la densidad de corriente en una superficie cerrada es igual al negativo de la variación de la densidad de carga volumentrica en el volumen encerrado por la superficie. Es negativo porque si el flujo de J es entrante entonces aumenta la densidad de carga y viceversa. Si tomamos una sección cubica dentro del conductor, la densidad de corriente que atraviesa una de las caras tiene que ser igual a la densidad de corriente que sale en la cara opuesta, sino se estaría acumulando una densidad de carga en razón del tiempo en ese sección cúbica. Que es lo que establece la ley de corriente de kirchoff. Pero esta ley es aplicado a magnitudes como V , I , R que son magnitudes macroscópicas. A nivel microscópico donde se utilizan magnitudes vectoriales punto a punto como $\vec{E}$, $\sigma$, $\vec{J}$ sería lo que pasa.

Mira estos artículos que los suministró una vez Chugs.
http://www.sbfisica.org.br/rbef/pdf/v27_577.pdf

http://journal.lapen.org.mx/sep09/22..._280_Welti.pdf


La expresión $\nabla.\vec{E}=\frac{\rho}{\varepsilon }$ diferencial en su forma integral (en donde se ve más la aplicación física) es:

$\dst {\iint}_{s} \vec{E} d\vec{S} = {\iiint}_{V} \frac{\rho}{\varepsilon }dV$

Es decir, que el flujo del campo eléctrico en una superficie cerrada es igual a la densidad de carga superficial en el volumen que encierra esa superficie. Es por esto que digo la segundo hipótesis porque si al circuito lo analisas macroscópicamente, es decir, usando V,I, R. Entonces ahí si se dice que no hay densidades de cargas acumuladas en regiones. Pero al analizarlo físicamente, eso cae por su peso. Porque en tanto la $\vec{J}$ como $\vec{E}$ tienen como causa $\rho$ porque estamos considerando un caso en donde no hay un campo magnético externo que genere $\vec{E}$ ni $\vec{J}$. Y acá está lo interesanto porque la ecuación final que pusiste podría expresar como se establece la densidad de carga en un conductor, teniendo en cuenta tanto el espacio como el tiempo, nunca antes lo he visto.

A y aclaro, que el modelo macroscópico de la teoría de circuitos que usa las magnitudes V, I, R no es que esté mal sino que funciona para lo que se necesita, para la práctica. Una análisis de los campos eléctricos, magnéticos, y densidades de corriente sería muy engorroso. porque interesa más saber que al aplicar una tensión en una cierta resistencia circulará I, en vez de saber como se establecen los campos y las cargas ¿para que?

[fisicah]

Re: Posible fallo en la derivación de la ecuación de difusión de corrientes (Maxwell)

Ah, vale, comprendo!!! Entonces esa suposición de la ley de kirchoff de las corrientes, conlleva suponer que la carga está uniformemente distribuida en todo el espacio donde haya carga, y que tal densidad de carga no varía en el tiempo (aunque lleven velocidad (y parece contradictorio, pero no lo es)). La contradicción que genera decir que el flujo de J a través de una superficie cerrrada, es que implica que la divergencia del campo eléctrico es también 0 (por la ley de Ohm), cuando en realidad sí hay densidad de carga. Pero a lo mejor ese "acople" no es lo suficientemente fuerte como para tener repercusiones a nivel de potenciales y corrientes, etc. Chachi, gracias!!!

Y gracias también por los enlaces!!! La ecuación de difusión esa que obtuve, lo hice, ya lo viste, a partir de las ecuaciones de maxwell, sale fácil si uno simplifica sólo el término de la variación temporal de desplazamiento eléctrico (al suponer buen conductor).

[visitante20160513]

Re: Posible fallo en la derivación de la ecuación de difusión de corrientes (Maxwell)

Tengo un libro donde hace un desarrollo parecido, pero anota que la densidad espacial de carga en el interior de un conductor es nula incluso cuando está atravesado por corrientes de muy alta frecuencia. Ya no recuerdo bien todo el desarrollo que hacía pero la conclusión era, si no recuerdo mal, que el término que depende de la densidad de carga en el interior del conductor se anula en todos los casos y por lo tanto la ecuación de difusión no es la que has deducido tu sino la otra, la buena. Admitiendo que haya cargas en un momento dado en el seno del conductor éstas se distribuirán muy rápidamente a su superficie de forma que la densidad de carga en el seno del conductor debe considerarse nula para todas las aplicaciones. La verdad es que no recuerdo donde tengo ese libro, hace tiempo (muchos años) que no lo uso, pero era muy bueno y bastante riguroso. Se llamaba Electromagnetismo Aplicado, aunque no recuerdo ni la editorial ni el autor aunque sí recuerdo que el autor era un ingeniero. Si acaso lo busco y releo las páginas donde venía ese desarrollo y ya te comento, si lo encuentro, me parece que lo estoy viendo en la estantería desde donde estoy sentado, pero ahora estoy cansado y me voy a ir a dormir, si acaso mañana le echo un vistazo. Tenía incluso varias páginas dedicadas al electromagnetismo y la relatividad. Sí, es un buen libro.

Lo puedes encontrar aquí:

http://books.google.es/books/about/E...AJ&redir_esc=y

Aunque quizás te convenga leer algo sobre lo que da en llamarse habitualmente ecuación de difusión, porque en física hay muchos fenómenos que pueden describirse con dicha ecuación. Tiene una relación muy fuerte con la ecuación de continuidad. Desde luego que ambas se aplican en electromagnetismo, pero ambas tienen muchas más aplicaciones que las que se muestran en este hilo.

http://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%..._difusi%C3%B3n

Posiblemente son dos de las ecuaciones más importantes de la física. Tanto por su importancia como por la cantidad de aplicaciones que presentan.

Salu2

[Julián]

Re: Posible fallo en la derivación de la ecuación de difusión de corrientes (Maxwell)

Sin duda siempre he visto que esta discusión es muy variada, me gustaría ver la bibliografía que tu dices. ¿Es posible que exista $\vec{J}$ sin un campo eléctrico?. Si es posible por ejemplo en un superconductor. Si a este la aplicamos un campo magnético variable por un momento se inducirá una corriente que circulará por siempre (por lo menos hasta que dura la propiedad de superconductor) ya que $\sigma = \infty$. Pero en un conductor de cobre no es posible, para que se mantenga una corriente o es necesario un campo magnético variable o un campo eléctrico. En este caso, como estamos considerando una corriente continua en donde no existe un campo magnético variable, externo entonces necesariamente el campo eléctrico debe existir.

Un campo eléctrico dentro y a lo largo del conductor. Las causas de $\vec{E}$ son $-\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}$ y $\rho$. Por ejemplo si un conductor se dobla, las cargas vienen con una velocidad de arrastre (promedio) $\vec{v}=\frac{\rho}{\vec{J} }$ y seguirían esa dirección saliendo del conductor a menos que exista una fuerza que cambie su dirección, cuya causa sea un diferencial densidad de carga. Es por esto que los circuitos impresos siempre se dice que se traten de evitar los ángulos rectos en las pistas porque ahí se acumula carga y es evidente porque el cambio de dirección es más pronunciado. Dichos efectos se aprecian en frecuencia por la reactancia capacitiva que aparece. No estoy diciendo que se rompa la neutralidad eléctrica porque las cargas que aparentemente están acumuladas en una región son neutralizadas por las cargas de conducción que pasan aledañas a las anteriores. De la misma manera como en los metáles los electrones de conducción escapan del núcleo quedando iones fijos no neutralizados microscópicamente pero sí macroscópicamente.
Aunque dicho análisis rosaría lo absurdo en un metal en cuanto a la complejidad. Pero no! en los semiconductores. La corriente de difusión tiene la siguiente expresión:

$\dst {\vec{J}}_{d}= D \nabla \rho$ en donde $D$ es una propiedad del material. Para lagunas o huecos es:

$\dst {\vec{J}}_{dp}= -{D}_{p} \nabla {\rho}_{p}$ y para electrones $\dst {\vec{J}}_{de}= {D}_{e} \nabla {\rho}_{e}$

Aunque en los metales se da solamente la corriente de arrastre $\vec{J}=\sigma \vec{E}$. Y ahí entra cual sería la causa de $\vec{E}$